Help: Pomoc:Wzory matematyczne

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Wzory matematyczne

Streszczenie 
Ten tekst wyjaśnia jak wstawiać nawet bardzo złożone wzory matematyczne przy pomocy wbudowanej w oprogramowanie możliwości stosowania składni języka LateX.

Spis treści


Wstęp

Proste wzory można zawsze przedstawić w formacie: R=U/I, ale sami widzicie, jak to wygląda. Na siłę można jeszcze stosować składnię:

    U
R= ---
    I

Jak widać nie warto. Kolejnym obejściem problemu mogłoby być przesłanie wzoru jako obrazka, który wykonać można w dowolnym programie zewnętrznym. Wadą tego rozwiązania jest jednak to, że wzory w obrazkach, nawet ładnie wyglądające na ekranie komputera, będą bardzo trudne do przeniesienia do druku.

Z tych względów zachęcamy do przyuczenia się do stosowania składni LateXu - jest ona dość powszechnie stosowana przez zawodowych matematyków i fizyków przy pisaniu prac naukowych. Większość programów służących do profesjonalnego składania tekstu do druku radzi sobie ze składnią LateXu.

Co to jest LaTeX

Jest to zestaw makr na system składania tekstów TeX. Jego najmocniejszą stroną jest to, że bez odrywania palców od klawiatury można złożyć naprawdę skomplikowane wzory, np.

\iiint{}U_{H}=\frac{IB}{hnq}\not=R_{H}\cdot\frac{IB}{h^{e\cos}} h ^\sin _7 \not=\sum_{n=\infty}^k{A\over{({b\over z}+q)}W}v\Omega \pi

Jedynym ograniczeniem przy tworzeniu wzorów jest Wasza wyobraźnia.

Trudne złego początki

Aby wstawić jakikolwiek wzór należy zapisać:

<math>wzór</math>

Uwaga: przy bardziej 'skomplikowanych' wzorach (sumy ze wskaźnikami, pierwiastki, ułamki) nasze wzory od razu wyglądają 'profesjonalnie', wyraźnie odróżniając się od zwykłego tekstu wielkością. Proste wzory wyglądają jednak nieciekawie, wzór c=a+b będzie wyglądał tak: c = a + b. Aby temu zaradzić wystarczy zamiast <math> c=a+b </math> napisać <math> c=a+b\, </math> czyli dodać \, na koniec wzoru. Wówczas nasz wzór będzie wyglądał tak : c=a+b\,

Tak więc zabierzmy się za ten nieszczęsny wzór z prawa Ohma

Są na to 2 sposoby:

  1. R=\frac {U}{I}
  2. R={U \over I}

Wybór sposobu należy do was.

Co da w wyniku: R=\frac{U}{I}

Można też wyśrodkować wzór:

R=\frac{U}{I}

<center><math>R=\frac{U}{I}</math></center>

Indeksy górne i dolne

Indeksy banalnie proste:

  • indeks dolny liczba_{indeks} {\ liczba}_{{indeks\_dolny}}.

Uwaga: w tekście lepiej wykorzystać liczba<sub>indeks</sub>.

  • indeks górny liczba^{indeks} liczbaindeks_gorny.

Uwaga: w tekście lepiej wykorzystać liczba<sup>indeks</sup>.

  • jednoczesne indeksy liczba_{idx_dolny}^{idx_gorny} x_n^2


Uwaga: nie ma znaczenia kolejność indeksowania.

Indeksy skomplikowane (grupowanie)

Jeśli waszym zamiarem było złożenie: a2cosφ, a wyszło a2cosφ lub

"Parser nie umiał rozpoznać (błąd składni): a^2 ^\cos ^\phi"

To znak, że powinniśmy użyć grupowania: { }

Najprościej mówiąc: "klamerka otwierająca" to co ma być na jednej wysokości "klamerka zamykająca". Takie grupowania można zagnieżdżać niemal w nieskończoność. Lecz w takich nawiasach łatwo się zgubić.

tak więc: a^{x \cos \varphi}_1 da: a^{x \cos \varphi}_1
7^{x_1^2 \cos \varphi} da: 7^{x_1^2 \cos \varphi}
x^{x^{x^{x^{1}_{2}}_{x^{3}_{4}}}_{x^{x^{5}_{6}}_{x^{7}_{8}}}}_{x^{x^{x^{9}_{10}} _{x^{11}_{12}}}_{x^{x^{13}_{14}}_{x^{15}_{16}}}}

da:
 x^{x^{x^{x^{1}_{2}}_{x^{3}_{4}}}_{x^{x^{5}_{6}}_{x^{7}_{8}}}}_{x^{x^{x^{9}_{10}} _{x^{11}_{12}}}_{x^{x^{13}_{14}}_{x^{15}_{16}}}}

I tak dalej w nieskończoność. Dla mało domyślnych ;-): oczywiście, można pominąć któryś z indeksów

Indeksy skomplikowane (góra-dół-góra)

Jeżeli potrzebny jest zapis typu x^{a\ c}_{\ b\ d}, to niemożliwe jest osiągnięcie tego za pomocą kodu postaci: x^{a}_{b}^{c}_{d}, należy użyć znaków niewidocznych w nawiasie grupującym, czyli np. sekwencji specjalnej "\ ". W ten sposób wzór x^{a\ c}_{\ b\ d} zapiszemy jako: x^{a\ c}_{\ b\ d}. H=k*E^m

Znaki specjalne (zabronione)

Jak (być może) zauważyliście niektóre znaki mimo iż zostały wstawione do tekstu, nie są wyświetlane po złożeniu. Są to tzw. znaki specjalne, a należą do nich:

{ otwiera grupę, aby wstawić wpisz \{

} zamyka grupę, użyj \}

^ indeks górny, \^{}

_ indeks dolny, \_{}

\ zaczyna symbole specjalne i instrukcje, podaj: \backslash

% komentarz, \%;

~ spacja niedzieląca, \~{}

&, $, # należy poprzedzić \

[spacja] podaj: \[spacja] (w trybie matematycznym spacje są ignorowane)

Nawiasy

W prostych przypadkach nawiasy wystarczy po prostu wpisać. Jednak przy otaczaniu nawiasami wysokich elementów (np. ułamków) może to wyglądać nieelegancko. Należy wtedy użyć poleceń \left i \right w następujący sposób:

( \frac {a}{b} ) ( \frac {a}{b} )

\left( \frac {a}{b} \right) \left( \frac {a}{b} \right)

Można stosować oczywiście także nawiasy "[" i "{", pamiętając jednak o tym że nawias "{" jest znakiem specjalnym i musi być poprzedzony przez "\" jeśli ma być wyświetlony. Każdej komendzie \left musi odpowiadać \right. Jeżeli chcesz wstawić tylko jeden nawias powinieneś użyć komendy \left. lub \right. (z kropką) w miejscu brakującego nawiasu:

n = \left \{ \frac{a}{b} \right. n = \left \{ \frac{a}{b} \right.

Symbole matematyczne

I tu dochodzimy do największego skarbu LaTeX-a - symboli matematycznych. Z oczywistych względów podamy tylko kilka:

Litery greckie

α \alpha Α \Alpha β \beta {\varphi} \varphi φ \phi π \pi Jak widać wstawienie symbolu wykonuje się poprzez poprzedzenie ich nazwy odwróconym ukośnikiem. Uwaga: w LaTeX-u rozróżniane są wielkie i małe litery.

Można też bezpośrednio w tekście (bez math) używać tzw. encji, np. α (&alpha;)

Symbole funkcji

W LATEXu litery, standardowo oznaczające zmienne, składane są kursywą. Ciąg liter najczęściej oznacza po prostu iloczyn: abx\;. Aby nazwy funkcji i operatorów odróżniały się od nazw zmiennych, zapisuje się się je pismem prostym. LATEX ma wbudowany słownik takich symboli – nazw funkcji. Wystarczy wpisać właściwy symbol (poprzedzony znakiem \), by uzyskać odpowiednią nazwę. W przypadku funkcji niestandardowych (np. używanego w Polsce oznaczenia tg na funkcję "tangens", różnego od przyjętego w świecie anglojęzycznym i znanego LATEXowi symbolu tan) można wewnątrz wzoru użyć zapisu \operatorname{}, oznaczającego wyróżniony ciąg liter jako nazwę funkcji. Niektóre symbole rozwijają się w złożone struktury – tak np. działa symbol \pmod, wykorzystywany w zapisie kongruencji lub \sqrt, symbol pierwiastka.

obiektzapiswygląd
funkcje standardowe (dobrze)\sin t + \ln y \sgn zsint + lnysgnz
\sin t + \ln y \sgn z\;
funkcje standardowe (źle)sin t + ln y sgn zsint + lnysgnz
sin t + ln y sgn z\;
funkcje niestandardowe (dobrze)\operatorname{tg}x\operatorname{tg}x
funkcje niestandardowe (źle)\tg x 
kongruencjeW(x)\equiv 0 \pmod pW(x)\equiv 0 \pmod p
x\equiv 0 \pmod{k+1}x\equiv 0 \pmod{k+1}
pierwiastki\sqrt x+2\sqrt x+2
\sqrt{x+2}\sqrt{x+2}
\sqrt[3]{x+2}\sqrt[3]{x+2}
\sqrt[a+3]{x+2}\sqrt[a+3]{x+2}

Ja dodaję, Ty odejmujesz, nie wyjdzie 7 ... (relacje)

Aby wstawić znak =, wiadomo co zrobić, ale wstawienie \not = nie jest takie proste na pierwszy rzut oka. Ale nie martwcie się, wszystkie symbole przekreślone uzyskuje się poprzez poprzedzenie \not. A więc zabawmy się \not = \not + \not a \not < \not .

Przed chwilą próbowałem skreślić: '=, +, a, .' Nie wszystkie dały zadowalający efekt wizualny, lecz wszystkie zostały przekreślone.
W taki sam sposób uzyskujemy przekreślenie wymienionych niżej symboli:

\leq \leq
\geq \geq
\approx \approx
\ni \ni
\in \in
˜ \sim
\simeq \simeq
\subset \subset
\subseteq \subseteq
\supset \supset
\supseteq \supseteq

\infty \infty
\cdot \cdot
\times \times
\star \star
\circ \circ
\bullet \bullet
\cap \cap
\cup \cup
\vee \vee
\wedge \wedge
\pm \pm
\mp \mp
\oplus \oplus

\dots \dots -- kropki przy wyliczeniach
\cdots \cdots -- kropki przy sumie, różnicy...

\Leftarrow \Leftarrow
\leftarrow \leftarrow
\Rightarrow \Rightarrow
\rightarrow \rightarrow
\Leftrightarrow \Leftrightarrow
\leftrightarrow \leftrightarrow


W tekście można to samo osiągnąć przy pomocy encji.

Nie straszna nam matematyka, nawet ta zaawansowana (pierwiastki, sumy...)

Pogrubienie \mathbf{A} \mathbf{A}

Pierwiastki kwadratowe wstawiamy w następujący sposób: c=\sqrt{a^2 + b^2} c=\sqrt{a^2 + b^2}

Natomiast te o innych stopniach: a=\sqrt[3]{1/2} \sqrt[3]{1/2}

Suma \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{i=1}^n

Iloczyn \prod\limits_{i=1}^n \prod\limits_{i=1}^n

Całka \int\limits^a_b \, dx \int\limits^a_b \, dx \iint\limits_D \, dx\,dy\iint\limits_D \, dx\,dy (podwójna całka)

Implikacja p\Rightarrow q p\Rightarrow q

Kwantyfikatory \forall x\exists y \forall x\exists y

Liczby zespolone \underline{Z} \underline{Z} = R + j\cdot X

Ułamki, wektory, macierze i inne tablice

obiekt zapis wygląd
ułamek{3 \over 7}{3 \over 7}
\frac{3}{7}\frac{3}{7}
ułamek "pomniejszony" \begin{matrix}\frac{3}{7}\end{matrix} \begin{matrix}\frac{3}{7}\end{matrix}
ułamek bez znaku dzielenia {3 \atop 7}{3 \atop 7}
ułamek łańcuchowy \frac{1}{2+\frac{3}{4+\frac{5}{6+\cdots}}} \frac{1}{2+\frac{3}{4+\frac{5}{6+\cdots}}}
\cfrac{1}{2+\cfrac{3}{4+\cfrac{5}{6+\cdots}}} \cfrac{1}{2+\cfrac{3}{4+\cfrac{5}{6+\cdots}}}
wektor \vec{v} \vec{v}
symbol Newtona{n \choose k}{n \choose k}
układ dwóch równań \left \{ {{y=2 \cdot x} \atop {x=2}} \right.\left \{ {{y=2 \cdot x} \atop {x=2}} \right.
macierze, wyznaczniki \begin{matrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{matrix} \begin{matrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{matrix}
\begin{vmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{vmatrix}
\begin{Vmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{Vmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{Bmatrix}
\begin{pmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x+1 & y^* \\ z & v - 1 \end{pmatrix}

Uwaga:

wiersze macierzy oddzielamy podwojonym ukośnikiem \\
elementy w wierszu znakiem ampersand &.


Oznaczenia zbiorów liczbowych

\mathbb{BT} \mathbb{BT}

Czcionką tą można tylko złożyć tekst pisany wielkimi literami, a i liczby wyglądają nieciekawie...

Granica ciągu

\lim_{n \to \infty} a_n

\lim_{n \to \infty} a_n

\liminf_{n\to\infty} n\ \|n\alpha\| \ \|n\beta\| = 0.

\liminf_{n\to\infty} n\ \|n\alpha\| \ \|n\beta\| = 0.

Symbole kolorów karcianych

Przydatne do artykułów np. o brydżu :-)
\spadesuit albo \spadesuit
\heartsuit \heartsuit
\diamondsuit \diamondsuit
\clubsuit \clubsuit

Można też Encje HTML:
♠ (&spades;)
♥ (&hearts;)
♦ (&diams;)
♣ (&clubs;)
Ale większość przeglądarek nie ma odpowiednich fontów.

Fikuśne czcionki

Czasem zachodzi potrzeba użycia jakiejś innej czcionki (a czasem chcemy, aby była inna... ;-)) (y + 1 jest tekstem dodatkowym aby sobie całość porównać)

y + 1ABab12 y + 1 \mathrm{ABab12}

y + 1 \mathcal{ABab12} y + 1 \mathcal{ABab12}

y + 1 \mathfrak{ABab12} y + 1 \mathfrak{ABab12}

y + 1 \mathbb{ABab12} y + 1 \mathbb{ABab12}

Więcej

Rozbudowana pomoc z bardzo wieloma przykładami (w języku angielskim) znajduje się tutaj: [1] i tutaj [2]

Dodatkowe informacje można znaleźć również tutaj:

W zasobach internetu można znaleźć więcej informacji, np. pod następującymi adresami:

Tekst pochodzi z Wikipedii: [3]. Autorzy: [4].