Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Wyrażenia algebraiczne 3

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

[Red:

  1. Jednomiany: uporządkowane i nieuporzadkowane.
  2. Suma algebraiczna jednomianów.
  3. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych.
  4. Mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian.
  5. Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian.
  6. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.
  7. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych.
  8. Zapisywanie treści zadań za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Uwaga. Ostatnie podpunkty mogą być znane niektórym absolwentom SP, ale…]

Spis treści

Suma i różnica wyrażeń algebraicznych

Wyrażenie algebraiczne typu

a + bcd + ef, w którym jest dodawanie i odejmowanie zmiennych można zamienić na sumę wyrażeń algebraicznych

a + bcd + ef = a + b + ( − c) + ( − d) + e + ( − f)

Tak więc gdy mówimy o uogólnionej sumie wyrażeń algebraicznych, to mówimy o sumach i różnicach wyrażeń algebraicznych. W miejsce a, b, c, d, e, f można wstawiać nie tylko liczby, ale także dowolne wyrażenia algebraiczne. W tym module najczęściej w miejsce zminnych będziemy wstawiać jednomiany, czasem całe wielomiany.

Ważne

Na ciąg dodawań i odejmowań wyrażeń algebraicznych można zawsze patrzeć jak na sumę wyrażeń algebraicznych. Alg(3) 00.svg

Odejmowanie nie jest przemienne. Wiadomo, że ab = ba nie jest tożsamością. Wystarczy w miejsce a i w miejsce b wstawić dowolne dwie różne liczby. Na przykład 5-2 \not= 2-5, ale możemy różnicę zapisać tak ab = a + ( − b) = ( − b) + a = − b + a. Na liczbach wygląda to na przykład tak 5 − 2 = − 2 + 5.

Przykład

101 − 57 + 23 − 1 + 67 − 23 = (101 − 1) + (67 − 57) + (23 − 23) = 100 + 10 + 0 = 110

Z czasem takie rachunki robi się całkiem automatycznie, nie zdając sobie nawet sprawy, że odejmowanie zamienia się na dodawanie liczby przeciwnej, że korzysta się z przemienności i łączności dodawania. Z wypisanych 8 praw rachunku na liczbach zapisanych algebraicznie w "Wyrażeniach algebraicznych (2)" wykorzystaliśmy 2, 4 i 5.


Przykład Porządkowanie wyrażeń algebraicznych.

Poniżej pokazany jest przykład wyrażenia algebraicznego, który, jest zapisany chaotycznie. To wyrażenia należy doprowadzić do najprostszej postaci:

− 3x2 + 2x − 2 − 7x3 + 1 + 2x2 − 5x + 2x3 = − 7x3 + 2x3 − 3x2 + 2x2 + 2x − 5x − 2 + 1 = − 4x3x2 − 3x − 1

Korzystaliśmy z zastępowania odejmowania dodawaniem wyrażeń przeciwnych, przemienności dodawania, a kiedy redukowaliśmy jednomiany podobne, korzystaliśmy z łączności dodawania. Wszystko to możecie robić bez powoływania się na te prawa za każdym razem, ale musicie pamiętać, że z takich praw korzystacie. Zwróćcie też uwagę, o ile prościej jest obliczać wartości wielomianu zapisanego w końcowej postaci niż w początkowej.

Ćwiczenie

Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:

a) 10 − 2x + 3x2 − 2x3 + ( − 7) + 7x2 + 2 + 9x3 − 1

b) − 5 + 2uu + 1 − 4u3 − 2u + 5u4 + 5u − 6u3 + 2

Rozdzielność mnożenia względem dodawania - uogólnienia

Zajmijmy się jeszcze raz prawem rozdzielności mnożenie względem dodawania. W języku algebry brzmi ono tak (8. prawo z poprzedniego modułu): Dla dowolnych liczb a, b i c a(b + c) = ab + ac

Można jednak to prawo rozciągnąć na trzy składniki

a(b + c + d) = ab + ac + ad

A tak na prawdę można to prawo rozciągnąć na dowolną liczbę składników.

Dla matematyka

Wyprowadzenie a(b + c + d) = a((b + c) + d) = a(b + c) + ad = ab + ac + ad Tak więc z prawa rozdzielczości mnożenia względem dodawania dla dwóch składników, dzięki prawu łączności, możemy wyprowadzić prawo dla trzech składników, a postępując tak dalej można to prawo udowodnić dla dowolnej liczby składników.

A co z odejmowaniem? Wiemy, że dla dowolnych liczb a, b i c mamy a(bc) = abac

(Wyprowadziliśmy to prawo z prawa 8 i nazwaliśmy to prawo 8a.) Jak to uogólnić na więcej zmiennych połączonych znakami plusa i minusa, na przykład, jak wymnożyć taką uogólnioną sumę bc + df przez a?

a(bc + df) = abac + adaf

Dla matematyka

Wyprowadzenie a(bc + df) = a(b + ( − c) + d + ( − f)) = ab + a( − c) + ad + a( − f) = ab + a( − 1)c + ad + a( − 1)f = ab + ( − 1)ac + ad + ( − 1)af = abac + adaf

Ważne

Alg(3) 01.svg Tak mnoży się "sumę" algebraiczną przez wyrażenie algebraiczne.

Mnożenie sumy algebraicznej przez -1

Jest to szczególny przypadek mnożenia przez zmienną, w którą wstawiono liczbę -1. Poprzednie wzory muszą więc być prawdziwe w tym szczególnym przypadku.

(-1)\cdot (a+b)=(-1)\cdot a+(-1)\cdot b=-a-b

(-1)\cdot(a-b)=(-1)(a+(-1)b)=(-1)a+(-1)(-1)b=-a+b

I w przypadku "dłuższej" sumy algebraicznej.

( − 1)(bc + de) = ( − 1)b − ( − 1)c + ( − 1)d − ( − 1)e = − b − ( − c) + ( − d) − ( − e) = − b + cd + e}}

Alg(3) 02.svg

Przeciwna suma algebraiczna

Ważne

Postawienie znaku minus przed całą uogólnioną sumą algebraiczną jest tym samym co pomnożenie tej uogólnionej sumy algebraicznej przez -1. A więc jest to prawie ten sam wzór, który napisaliśmy na końcu ostatniego akapitu. − (bc + de) = − b + cd + e

Ten sam wzór trochę bardziej wizualnie.

Alg(3) 02a.svg

Mnożenie wielomianu przez jednomian

Przykład

Pierwsze dwa przykłady zrobimy bardzo dokładnie. Dobrzy by jednak było, gdybyście środkowe partie obliczeń mogli robić w pamięci. Tak więc ustalanie znaku i wartości współczynników przy powstających jednomianach uogólnionej sumy oraz porządek zmiennych powinny być robione w pamięci. Przy pierwszych obliczeniach może to zajmować nieco więcej miejsca.

7ab^2(-2a^2bc+3abc^3-10c^2d+2a-3b+5)=\,

7ab^2(-2a^2bc+3abc^3+(-10c^2d)+2a+(-3b)+5)=\,

=(7ab^2)\cdot (-2a^2bc)+(7ab^2)\cdot (3abc^3)+(7ab^2)\cdot (-10c^2d)+(7ab^2)\cdot (2a)-(7ab^2)\cdot  (3b)+(7ab^2)\cdot 5)=

14a^3b^3c+21a^2b^3c^3-70ab^2c^2d+14a^2b^2-21ab^3+35ab^2 \,

Przykład

Tym razem współczynnik jednomianu, przez który mnożymy jest ujemny.

-2x^2z \cdot (2xy+(-3xy^2)+5z^3+(-3xyz)+2x+(-3))=

-2x^2z \cdot (2xy-3xy^2+5z^3-3xyz+2x-3)=

=(-2x^2z)\cdot (2xy)+(-2x^2z)\cdot (-3xy^2) +(-2x^2z)\cdot (5z^3) +(-2x^2z)\cdot (-3xyz)+(-2x^2z)\cdot (2x) + (-2x^2z)\cdot (-3)=

=-4x^3yz+6x^3y^2z-10x^2z^4 +6x^3yz^2-4x^3z +6x^2z\,

W praktyce mnożenia te wykonuje się "w jednej linijce" sprowadzając je do prostej regułki.

Zapamiętaj

Reguła mnożenia wielomianu przez jednomian. Uporządkuj jednomian, przez który mnożysz, i uporządkuj wielomian, który mnożysz. Iloczyn będzie wielomianem o tej samej liczbie składników co wielomian, który mnożysz. Każdy składnik wyniku jest iloczynem jednomianu, przez który mnożysz, i składnika wielomianu, który też jest jednomianem. Przy liczeniu każdego składnika wyniku postępujesz jak przy porządkowaniu iloczynu jednomianów - najpierw liczysz współczynnik liczbowy uważając na jego znak, a potem zapisujesz w kolejności alfabetycznej zmienne w odpowiednich potęgach. (Znak współczynnika ustala się zgodnie z regułą plus razy minus to minus, a plus razy plus i minus razy minus to plus.)


[Red: {{{1}}}]

Karta pracy

Zadanie 1 Wykonaj mnożenie. a) 2 ( 7 + x)\, b) 6 (x - 4 )\, c) -4 ( a + 5 )\, d) -5 ( 3 - a)\, e) -3 ( 2x - 4 )\, f) -7 ( -3a + 2 )\, g) 0,2 ( 2x - 3b )\, h) 4a ( x + y - 2 )\, i) -5b ( 2a -3b + 5c )\, j) 3x ( 5 - 2x - 3y)\, Zadanie 2 Zapisz bez użycia nawiasów. a) - ( x + 4 )\, b) - ( -2a + 5b )\, c) - ( 2x - 3y )\, d) - ( -a - 3b )\, e) - (- ( x + 2y)\, f) - ( -2a -3b + c)\, Zadanie 3 Wymnóż, uporządkuj i zapisz wynik bez użycia nawiasów. a) 2 ( x -1 ) -3\, b) a ( 2 + b ) - ab\, c) 3 ( x + 2 ) + 2 ( 5 + x )\, d) 4 ( x - 3 ) - 2 ( x - 7 )\, e) -2 ( a + 5 ) - ( 3 - a )\, f) - ( 5 - 2t )- 2t ( 3 - t)\, g) ab ( 2 + 2a - 3b ) + b ( -1 + 2a - ab)\,

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Oblicz wyłączając wspólny czynnik przed nawias 5 · 17 + 5 · 13 23 · 18 - 23 · 15 16 · 35 - 14 · 35

Czynnością odwrotną do mnożenia uogólnionej sumy algebraicznej przez zmienną jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.

Na przykład: wyrażenie 3x + 3 jest sumą jednomianów 3x i 3, których wspólnym czynnikiem jest liczba 3. Zauważ, że 3=3\cdot1. Wyrażenie 3x + 3 możemy zapisać jako iloczyn:

3x+3 = 3\cdot (x+ 1 )

Sprawdź, że wzór ten czytany z prawej do lewej strony jest mnożeniem wielomianu przez jednomian!

W wyrażeniu: 24ab − 15a wspólnym czynnikiem jednomianów tworzących to wyrażenie jest 3a, możemy więc napisać: 24ab-15a=3a\cdot 8b-3a\cdot 5= 3a\cdot (8b-5)

Sprawdź ten wzór, czytając go z prawej strony do lewej.

Karta pracy

Zadanie 4 Wyłącz wspólny czynnik przed nawias. a) 2a+4\, b) 36x-12\, c) 12b-3\, d) 27 - 3c\, e) -12a+ 15b\, f) 35xy-14y\, Zadanie 5 Zamień sumy na iloczyny wyłączając wspólny czynnik przed nawias. a) 3x+6y\, b) 10a-15b\, c) -24x-18y\, d) a^2+a\, e) 3x^2-2x\, f) 32a-4b+8c\, g) 12x^2+2x-4\, h) 8a^3-4a^2+2a\, i) 5(2+x)+10(2+x)\, j) (3-a)x+(3-a)y\, Zadanie 6 Wiedząc że 3a − 2b = 4, oblicz a) 9a-6b\, b) -15a+10b-7\,

Kiedy wyłączanie wspólnego czynnika można uznać za zakończone? Na przykład wyciągnięcie wspólnego czynnika poniżej

125a2b − 25ab2 = 25a(5abb2)

można uznać za niedokończone. Wyrażenie w nawiasie ma dalej wspólny czynnik b i możemy kontynuować

...=25a\cdot b\cdot (5a-b)=25ab(5a-b)

Tę odpowiedź moglibyśmy uzyskać wcześniej, gdybyśmy od razu zauważyli, że wspólnym czynnikiem jest 25ab.

Wyłączanie czynnika liczbowego, gdy w wielomianie współczynniki są ułamkami jest dość niejednoznaczne. Na przykład: 1,2a+0,3b=0,1\cdot (12a+3b) ale także 1,2a+0,3b=0,3\cdot (4a+1b) i również 1,2a+0,3b=1,2\cdot (a+0,25b)

Czym należy się więc kierować w przypadku ułamkowych współczynników? Głównie tym, w który iloczyn łatwiej będzie wstawiać liczby i robić obliczenia. Tak więc dla naszej wygody najlepsza mogłaby być pierwsza formuła, a na teście raczej oczekiwana by była ta druga.