Matematyka: Wyrażenia algebraiczne 3
Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki
[Red:
- Suma algebraiczna jednomianów (dlaczego suma „chwyta” przypadki z odejmowaniem)
- Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
- Mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian
- Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian
- Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias (to będzie nowe dla prawie wszystkich po SP)
- Suma algebraiczna jednomianów (dlaczego suma „chwyta” przypadki z odejmowaniem)
Uwaga. Ostatnie podpunkty mogą być znane niektórym absolwentom SP, ale…]
Spis treści |
Suma i różnica wyrażeń algebraicznych
Wyrażenie algebraiczne typu
a + b − c − d + e − f, w którym jest dodawanie i odejmowanie zmiennych można zamienić na sumę wyrażeń algebraicznych
a + b − c − d + e − f = a + b + ( − c) + ( − d) + e + ( − f)
Tak więc gdy mówimy o uogólnionej sumie wyrażeń algebraicznych, to mówimy o sumach i różnicach wyrażeń algebraicznych.
W miejsce a, b, c, d, e, f można wstawiać nie tylko liczby, ale także dowolne wyrażenia algebraiczne. W tym module najczęściej w miejsce zminnych będziemy wstawiać jednomiany, czasem całe wielomiany.
Na ciąg dodawań i odejmowań wyrażeń algebraicznych można zawsze patrzeć jak na sumę wyrażeń algebraicznych.
Odejmowanie nie jest przemienne. Wiadomo, że a − b = b − a nie jest tożsamością. Wystarczy w miejsce a i w miejsce b wstawić dowolne dwie różne liczby. Na przykład 
, ale możemy różnicę zapisać tak a − b = a + ( − b) = ( − b) + a = − b + a. Na liczbach wygląda to na przykład tak 5 − 2 = − 2 + 5.
Przykład
101 − 57 + 23 − 1 + 67 − 23 = (101 − 1) + (67 − 57) + (23 − 23) = 100 + 10 + 0 = 110
Z czasem takie rachunki robi się całkiem automatycznie, nie zdając sobie nawet sprawy, że odejmowanie zamienia się na dodawanie liczby przeciwnej, że korzysta się z przemienności i łączności dodawania. Z wypisanych 8 praw rachunku na liczbach zapisanych algebraicznie w "Wyrażeniach algebraicznych (2)" wykorzystaliśmy 2, 4 i 5.
Przykład. Porządkowanie wielomianu jednej zmiennej
Poniżej pokazany jest przykład wielomianu jednej zmiennej, który, mówiąc delikatnie, jest dość chaotycznie zapisany. Nie chciałoby się nikomu takiego wielomianu przepisywać, bo można zapisać go wiele prościej.
− 3x2 + 2x − 2 − 7x3 + 1 + 2x2 − 5x + 2x3 = − 7x3 + 2x3 − 3x2 + 2x2 + 2x − 5x − 2 + 1 = − 4x3 − x2 − 3x − 1
Korzystaliśmy z zastępowania odejmowania dodawaniem wyrażeń przeciwnych, przemienności dodawania, a kiedy redukowaliśmy jednomiany podobne, korzystaliśmy z łączności dodawania. Wszystko to możecie robić bez powoływania się na te prawa za każdym razem, ale musicie pamiętać, że z takich praw korzystacie. Zwróćcie też uwagę, o ile prościej jest obliczać wartości wielomianu zapisanego w końcowej postaci niż w początkowej.
Ćwiczenie
Uporządkuj.
a) 10 − 2x + 3x2 − 2x3 + ( − 7) + 7x2 + 2 + 9x3 − 1
b) − 5 + 2uu + 1 − 4u3 − 2u + 5u4 + 5u − 6u3 + 2
Rozdzielność mnożenia względem dodawania - uogólnienia
Zajmijmy się jeszcze raz prawem rozdzielności mnożenie względem dodawania. W języku algebry brzmi ono tak (8. prawo z poprzedniego modułu):
Dla dowolnych liczb a, b i c
a(b + c) = ab + ac
Można jednak to prawo rozciągnąć na trzy składniki
a(b + c + d) = ab + ac + ad
A tak na prawdę można to prawo rozciągnąć na dowolną liczbę składników.
Wyprowadzenie
a(b + c + d) = a((b + c) + d) = a(b + c) + ad = ab + ac + ad
Tak więc z prawa rozdzielczości mnożenia względem dodawania dla dwóch składników, dzięki prawu łączności, możemy wyprowadzić prawo dla trzech składników, a postępując tak dalej można to prawo udowodnić dla dowolnej liczby składników.
A co z odejmowaniem? Wiemy, że dla dowolnych liczb a, b i c mamy
a(b − c) = ab − ac
(Wyprowadziliśmy to prawo z prawa 8 i nazwaliśmy to prawo 8a.)
Jak to uogólnić na więcej zmiennych połączonych znakami plusa i minusa, na przykład, jak wymnożyć taką uogólnioną sumę b − c + d − f przez a?
a(b − c + d − f) = ab − ac + ad − af
Wyprowadzenie
a(b − c + d − f) = a(b + ( − c) + d + ( − f)) = ab + a( − c) + ad + a( − f) = ab + a( − 1)c + ad + a( − 1)f = ab + ( − 1)ac + ad + ( − 1)af = ab − ac + ad − af
Tak mnoży się "sumę" algebraiczną przez wyrażenie algebraiczne.
Mnożenie sumy algebraicznej przez -1
Jest to szczególny przypadek mnożenia przez zmienną, w którą wstawiono liczbę -1. Poprzednie wzory muszą więc być prawdziwe w tym szczególnym przypadku.
I w przypadku "dłuższej" sumy algebraicznej.
( − 1)(b − c + d − e) = ( − 1)b − ( − 1)c + ( − 1)d − ( − 1)e = − b − ( − c) + ( − d) − ( − e) = − b + c − d + e}}
Przeciwna suma algebraiczna
Postawienie znaku minus przed całą uogólnioną sumą algebraiczną jest tym samym co pomnożenie tej uogólnionej sumy algebraicznej przez -1. A więc jest to prawie ten sam wzór, który napisaliśmy na końcu ostatniego akapitu.
− (b − c + d − e) = − b + c − d + e
Ten sam wzór trochę bardziej wizualnie.
Mnożenie wielomianu przez jednomian
Przykład
Pierwsze dwa przykłady zrobimy bardzo dokładnie. Dobrzy by jednak było, gdybyście środkowe partie obliczeń mogli robić w pamięci. Tak więc ustalanie znaku i wartości współczynników przy powstających jednomianach uogólnionej sumy oraz porządek zmiennych powinny być robione w pamięci. Przy pierwszych obliczeniach może to zajmować nieco więcej miejsca.
Przykład
Tym razem współczynnik jednomianu, przez który mnożymy jest ujemny.
W praktyce mnożenia te wykonuje się "w jednej linijce" sprowadzając je do prostej regułki.
Reguła mnożenia wielomianu przez jednomian.
Uporządkuj jednomian, przez który mnożysz, i uporządkuj wielomian, który mnożysz.
Iloczyn będzie wielomianem o tej samej liczbie składników co wielomian, który mnożysz. Każdy składnik wyniku jest iloczynem jednomianu, przez który mnożysz, i składnika wielomianu, który też jest jednomianem.
Przy liczeniu każdego składnika wyniku postępujesz jak przy porządkowaniu iloczynu jednomianów - najpierw liczysz współczynnik liczbowy uważając na jego znak, a potem zapisujesz w kolejności alfabetycznej zmienne w odpowiednich potęgach.
(Znak współczynnika ustala się zgodnie z regułą plus razy minus to minus, a plus razy plus i minus razy minus to plus.)
[Red: {{{1}}}]
Zadanie 1
Wykonaj mnożenie.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Zadanie 2
Zapisz bez użycia nawiasów.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Zadanie 3
Wymnóż, uporządkuj i zapisz wynik bez użycia nawiasów.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Oblicz wyłączając wspólny czynnik przed nawias
5 · 17 + 5 · 13
23 · 18 - 23 · 15
16 · 35 - 14 · 35
Czynnością odwrotną do mnożenia uogólnionej sumy algebraicznej przez zmienną jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.
Na przykład:
wyrażenie 3x + 3 jest sumą jednomianów 3x i 3, których wspólnym czynnikiem jest liczba 3. Zauważ, że 
. Wyrażenie 3x + 3 możemy zapisać jako iloczyn:
Sprawdź, że wzór ten czytany z prawej do lewej strony jest mnożeniem wielomianu przez jednomian!
W wyrażeniu: 24ab − 15a
wspólnym czynnikiem jednomianów tworzących to wyrażenie jest 3a, możemy więc napisać:
Sprawdź ten wzór, czytając go z prawej strony do lewej.
Zadanie 4
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Zadanie 5
Zamień sumy na iloczyny wyłączając wspólny czynnik przed nawias.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Zadanie 6
Wiedząc że 3a − 2b = 4, oblicz
a) 
b) 
Kiedy wyłączanie wspólnego czynnika można uznać za zakończone? Na przykład wyciągnięcie wspólnego czynnika poniżej
125a2b − 25ab2 = 25a(5ab − b2)
można uznać za niedokończone. Wyrażenie w nawiasie ma dalej wspólny czynnik b i możemy kontynuować
Tę odpowiedź moglibyśmy uzyskać wcześniej, gdybyśmy od razu zauważyli, że wspólnym czynnikiem jest 25ab.
Wyłączanie czynnika liczbowego, gdy w wielomianie współczynniki są ułamkami jest dość niejednoznaczne. Na przykład:
ale także
i również
Czym należy się więc kierować w przypadku ułamkowych współczynników? Głównie tym, w który iloczyn łatwiej będzie wstawiać liczby i robić obliczenia. Tak więc dla naszej wygody najlepsza mogłaby być pierwsza formuła, a na teście raczej oczekiwana by była ta druga.
