Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Wyrażenia algebraiczne 2

Matematyka: Wyrażenia algebraiczne 2

Komentarze Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Skocz do: nawigacji, wyszukiwanie

Modułem opiekuje się: Dwornik

[Red:

równość wyrażeń algebraicznych

sprawdzanie równości algebraicznych dla paru konkretyzacji i na tym budowanie pojęcia równości (równoważności) lub nie-równości (nierównoważności) wyrażeń algebraicznych.

dowody geometryczne. Przykład: $(a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d$ .

odróżnienie znaku równości jako tożsamości i jako znaku zapytania, dla jakich wartości równość zachodzi.(To musi być powtórzone, być może, w paru miejscach. Uwaga $= \not= =$ .)
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia z jedną zmienną i z wieloma zmiennymi
Jednomian wielu zmiennych i jednaj zmiennej
porządkowanie jednomianów
określanie współczynnika liczbowego jednomianu,
mnożenie jednomianów przez jednomian,
jednomiany przeciwne,
jednomiany podobne.

przekształcanie wyrażeń algebraicznych, to znajdywanie wyrażeń równych, choć inaczej zapisanych.]

Równoważność wyrażeń algebraicznych

Zacznijmy od przykładów wyrażeń, które są równoważne mimo że są różnymi napisami.

Przykład

Dla dowolnej liczby x

$x + x = 2 x$
To zdanie oznacza, że wyrażenia $x + x$ i $2 x$ są równoważne. Gdyby oba wyrażenia "włożyć" i ukryć w dwóch cybernetycznych maszynkach, to działanie obu maszynek byłoby identyczne. Nie moglibyśmy ich odróżnić, bo po włożeniu do nich równych liczb na "wejściu" otrzymywalibyśmy te same liczby "na wyjściu".

Przykład

Dla dowolnych liczb a, b i c

$2 a - 2 c + b + 5 c - 2 b = 2 a - b + 3 c$

Napis po lewej i napis po prawej stronie równości w widoczny sposób się różni, ale znowu oba wyrażenia są równoważne. Metafora maszynki dobrze to obrazuje.

Zapamiętaj

Dwa wyrażenia algebraiczne są równoważne, jeśli zależą od tych samych zmiennych i jeśli po wstawieniu w obu wyrażeniach tej samej liczby w zmienne o tej samej nazwie oba wyrażenia przyjmują tę samą wartość liczbową. Równoważność dwóch wyrażeń algebraicznych oznaczamy zwykłym znakiem równości. Mówimy też wtedy, że ta równość jest tożsamością.

Czy wobec tego musimy sprawdzić wszystkie możliwe liczby dla wszystkich zmiennych w obu wyrażeniach, aby stwierdzić, że są one równoważne? Oczywiście, nie. Nie starczyłoby życia. W powyższych przykładach wiedzieliśmy, że wyrażenia są równoważne, bo znamy arytmetyczne własności liczb. W podstawówce zaczęliście już mówić o tych arytmetycznych własnościach liczb w języku algebry z użyciem zmiennych, w których miejsce można wstawiać najróżniejsze liczby. W gimnazjum zobaczycie, jakie korzyści przynosi użycie tego algebraicznego języka.

Prawa algebry

Zacznijmy od prostej uwagi.

Ważne

$-a \ \$ wcale nie oznacza liczby ujemnej. Minus postawiony przed liczbą oznacza liczbę przeciwną.

Przecież w miejsce a można podstawić liczbę -5 i wtedy $- ( - 5) = 5$ .

Poniżej zebraliśmy 8 własności liczb i działań na nich, które wyraziliśmy w języku algebry. W tym momencie stają się one prawem algebry. Każde prawo zilustrowane jest pewną interpretacją geometryczną.

Uwaga. Wszystkie prawa dotyczą dowolnych liczb (w tym także ujemnych), a więc są to tożsamości. Ilustracje geometryczne 4-8 dotyczą tylko liczb dodatnich.

1. Mnożenie liczby przez -1 daje liczbę przeciwną do niej.

2. Odejmowanie można zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej.

3. Dzielenie przez liczbę różną od zera można zastąpić mnożeniem przez jej odwrotność.

4. Prawo przemienności dodawania

5. Prawo łączności dodawania

6. Prawo przemienności mnożenia

7. Prawo łączności mnożenia

8. Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

Przypomnijcie sobie, od której klasy wykorzystywaliście te prawa, nie nazywając ich być może, tak jak tutaj.

Przykłady i komentarze do 1-8

ad 1. $(-1)\cdot(-1)=1$

ad 2. $5 - ( - 3) = 5 + 3 = 8$

ad 3. $\frac{3}{5}:\frac{4}{3}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{4}$

$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{4}$

$\frac{7}{20}=7\cdot \frac{1}{20}$

ad 4. $2 + 3 = 3 + 2 = 5$

ad 5. $34 + 99 + 1 = 34 + (99 + 1) = 34 + 100 = 134$

4 i 5 razem oznaczają, że przy dodawaniu wielu składników nie potrzeba nawiasów, a składniki można dowolnie przestawiać i dowolnie grupować.

ad 6. $7\cdot 8=8\cdot 7=56$

Geometryczny opis pokazuje, że z wzoru na pole prostokąta: "podstawa razy wysokość" można korzystać na dwa sposoby w zależności od tego, na którym boku postawi się ten prostokąt.

ad 7. $21\cdot 3\frac{1}{3}\cdot 3=21\cdot (3\frac{1}{3}\cdot 3)=21 \cdot 10=210$

Interpretacja geometryczna: Prostopadłościan ustawiono na różnych ścianach, a wzór "pole podstawy razy wysokość" w dwóch przypadkach daje tę samą objętość.

6 i 7 razem oznaczają, że iloczyn wielu czynników nie zależy od kolejności czynników , w dodatku czynniki można dowolnie grupować.

ad 8. $7\cdot 52=7\cdot (50+2)=7\cdot 50 +7\cdot 2=350+14=364$

Ale poniżej wzór jest czytany z prawa na lewo i
$1575\cdot 976+1575\cdot 24=1575(976+24)=1575\cdot 1000=1575000$

oznacza wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias.

Co można robić z tak zapisanymi prawami oprócz wstawiania w miejsce zmiennych liczb?

Można zamienić miejscami strony równości.

Jeśli w którymś z praw wszędzie zmienimy nazwę jednej zmiennej, tak żeby nowa nazwa nie kolidowała z nazwami innych zmiennych, to będzie to dalej to samo prawo. Na przykład prawo przemienności dodawania może być równie dobrze wypowiedziane na dwa sposoby:
Sposób pierwszy: Dla dowolnej liczby a i b
$a + b = b + a$
Sposób drugi: Dla dowolnej liczby a i c
$a + c = c + a$
Tak więc, gdy zobaczycie prawo, że dla dowolnych liczb x i y
$x + y = y + x$
to jest to to samo prawo przemienności dodawania, które zapisaliśmy zmiennymi nazwanymi a i b.

W miejsce każdej zmiennej można wstawić wyrażenie algebraiczne.
Na przykład z prawa przemienności dodawania wynika, że $x 2 + x 5 = x 5 + x 2$

No ale nikt nie będzie sobie zaśmiecał pamięci i zapamiętywał tego ostatniego wzoru lecz będzie pamiętał o przemienności w jak najprostszej postaci, czyli $a + b = b + a$ .

Przykład

Poniżej "narysowane" jest pewne prawo. Jakie to prawo w języku algebry?

Czy warto to prawo zapamiętać? Pewnie tak, ale zaraz pokażemy, że wynika ono z tych ośmiu poprzednio zapisanych. Uważnie patrzcie na cyferki przy znakach równości. Odnoszą się one do prawa, z którego korzystamy.
$(a+b)\cdot (c+d)=^8(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d=^6 c\cdot (a+b)+d\cdot (a+b)=^8 (ca+cb)+(da+db)=^5 ca+cb+da+db=^6 ac+bc+ad+bd$

Karta pracy

Ćwiczenie
Poniżej inne prawo, które warto zapamiętać, ale które wynika z 1-8.
Przy każdej równości dopiszcie cyferkę prawa, które było wykorzystane.
$a\cdot (b-c)=a\cdot (b+(-c))=ab+a(-c)=ab+a((-1)c)=ab+a\cdot(-1)c=ab+(-1)ac=ab+(-ac)=ab-ac$
A więc dołączymy je do "naszych" praw z numerem 8a.
8a. $a (b - c) = a b - a c$

Jak nazwalibyście to prawo?
Ćwiczenie
Rachunki typu
$\frac{1}{7}+\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$
$7007:7 = (7000 + 7):7 = 7000:7 + 7:7 = 1000 + 1 = 1001$

są uogólnione prawem algebry
$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$ , gdzie $c\not= 0$
Pokaż, że prawa strona da się wyprowadzić z lewej strony tożsamości za pomocą praw 1-8 w czterech ruchach.
Ćwiczenie
a) Spróbuj nazwać to prawo
$(a - c) - (b - c) = a - b$

Zastosuj na przykładzie
$357 - 257 =$

b) Spróbuj nazwać to prawo
$(a + c) - (b + c) = a - b$

Zastosuj na przykładzie
$399 - 299 =$

Ćwiczenie
Spróbuj nazwać to prawo
$\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}$
Ćwiczenie
Przeczytaj uważnie.
$\frac{a}{c\cdot e}+\frac{b}{d\cdot e}=\frac{a\cdot d}{c\cdot e\cdot d}+\frac{b\cdot c}{d\cdot e\cdot c }=\frac{ad+bc}{cde}$
Zastosuj do
$\frac{3}{2\cdot 5}+\frac{7}{2\cdot 3}=$
Jak nazywa się proces opisany przez to prawo?
Ćwiczenie
$\frac{a}{c}\cdot (bc)=a\cdot b$
Oto przykład rachunku $16\cdot 25=4\cdot 100=400$ , który wykorzystuje to prawo.
Jak opisać słowami to prawo?

Jednomiany

Zapamiętaj

Jednomiany to takie wyrażenia algebraiczne, które są liczbą lub iloczynem pewnej liczby i czynników literowych.

Jednomianami są na przykład wyrażenia:

$2 a$

$- 3 b$

$3 x 2$

$3 a b 3$

$x y$

$y$

Ważne

Iloczyn jednomianów jest jednomianem.

Przykład

Iloczyn jednomianu $2 x 2 y$ i jednomianu $- 5 y 3 z$ to $(2x^2y)\cdot (-5y^3z)$ . Można go zapisać w bardziej uporządkowany sposób $- 10 x 2 y 4 z$ .

Wyrażenia postaci

$a + b$ i $a b - 2$

to suma i różnica jednomianów.

Jednomian $d\cdot (-5)zdxc$ oraz jednomian $- 5 c d 2 x z$ to są jednomiany równoważne, tylko inaczej zapisane. Wyrażenie $- 5 c d 2 x z$ jest jednomianem uporządkowanym.
Aby porównywać jednomiany, wykonywać na nich działania, dobrze jest je najpierw uporządkować.

Zapamiętaj

Porządkujemy jednomiany zapisując najpierw liczbę nazywaną współczynnikiem liczbowym jednomianu, a następnie w kolejności alfabetycznej litery będące jego czynnikami.
Iloczyny takich samych czynników literowych zapisujemy w postaci jednej potęgi.
Współczynnik liczbowy to iloczyn wszystkich czynników liczbowych danego jednomianu.

Przykład
Porządkując jednomian $y\cdot (-2)y x\cdot 5x a y$ otrzymujemy $- 10 a x 2 y 3$ .
Jednomian $z\cdot (-3)y x\cdot (-2)x$ po uporządkowaniu ma postać $6 x 2 y z$ .
Zadanie
Określ współczynnik liczbowy jednomianu

a) a·5bx

b) a²·(-2)b·3

c) ab³x

d) 4·a³·(-2)

e) -ad·3x
Zadanie 10
Uporządkuj jednomian.

a) $6a\cdot(-2)a$

b) $3b\cdot 2a$

c) $7ba\cdot (-4)b$

d) $12 m a m a$

e) $x\cdot x\cdot a\cdot 2$

f) $3y\cdot(5)x\cdot y\cdot y$

g) $tata\cdot 3$

h) $dama\cdot 5$

i) $(-7)dab\cdot (-3)bad$

Zapamiętaj

Mówimy, że jednomian będący tylko liczbą różną od zera jest stopnia zerowego.
Jednomian, w którym występuje jedna litera, jest jednomianem jednej zmiennej, w którym występują dwie różne litery - jednomianem dwóch zmiennych, trzy różne litery - jednomianem trzech zmiennych itd.

Przykład Jednomian $6 a$ jest jednomianem jednej zmiennej $a$ stopnia pierwszego.
$- 3 x 2$ jest jednomianem stopnia drugiego jednej zmiennej x.

$1,2 x 2 y$ jest jednomianem stopnia trzeciego dwu zmiennych x i y.

Jednomiany podobne

Zapamiętaj

Jednomiany podobne to takie jednomiany, które po uporządkowaniu różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym, natomiast litery - zmienne są te same i w tej samej potędze.

Przykład Jednomianami podobnymi są jednomiany
2 i 5,
$2 a$ i $( - 10 a)$ ,

$3 x 2 y$ i $\frac{1}{2}x^2y$ .

Jednomiany $2 a$ i $2 a b$ nie są jednomianami podobnymi.
Również jednomiany $3 x$ i $3 x 2$ nie są podobne.

Zadanie 11
Wskaż jednomiany podobne.

$2 a 2$

$- 3 a x$

$2 a b$

$10 a 2$

$12 a b$

$100 x a$

$5 a a$

$7 b a$

$a^2x\cdot 2$

$ax\cdot 0,5$

Zadanie
Dopisz jednomian podobny do danego

a) 7x³y →

b) 2a²bc →

c) 4c²d →

d) 6a³b² →

Ważne

Jednomiany podobne można dodawać i odejmować wykonując jedynie odpowiednie działanie na współczynnikach liczbowych tych jednomianów i otrzymując jednomian do nich podobny lub zero. Takie działania nazywamy wówczas redukcją wyrazów podobnych.

Przykład zamiast $2 x + 3 x$ możemy napisać $5 x$
$3 a b - a b = 2 a b$
$- 4 a x 2 + 10 a x 2 = - 6 a x 2$
$- 2 x y + 2 x y = 0$

Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych prowadzi do jednomianów równoważnych, a więc takich, które daję te same wyniki po wstawieniu tych samych liczb w miejscu zmiennych. Po redukcji wyrazów podobnych wstawianie liczb jest mniej pracochłonne.

Zadanie 12
Uprość zapis wyrażenia algebraicznego wykonując redukcję wyrazów podobnych.
a) $t + t + t + t$

b) $a + b - a + b$

c) $2 x - y + x - y$

d) $7 m + 2 k - 3 k + 3 m$

e) $2 a b - 7 x 2 + 5 x + 2 x 2 - 5 a b$

f) $3 x y + 2 y - x y + 2$

g) $- y + 2 y 2 - 3 a x + y + a x$

h) $2 a b c + 7 a b - 2 c + a b c + c$

Wielomiany

Zapamiętaj

Dodając do siebie jednomiany, które nie są podobne otrzymujemy wielomian.

Na przykład wielomianem jest następujące wyrażenie

$3 x + y$

Jest to wielomian dwóch zmiennych x i y.

Wielomian $2 x 2 + ( - 5 x) + ( - 3)$ jest równoważny wielomianowi $2 x 2 - 5 x - 3$ . Zapisujemy to po prostu równością
$2 x 2 + ( - 5 x) + ( - 3) = 2 x 2 - 5 x - 3$

Wielomian $4 x y + ( - 7 x) + ( - 5 x 3)$ jest równoważny wielomianowi $4 x y - 7 x - 5 x 3$ i zapisujemy to zwykłym znakiem równości $4 x y + ( - 7 x) + ( - 5 x 3) = 4 x y - 7 x - 5 x 3$ , pamiętając, że jest to tożsamość.