Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Wyrażenia algebraiczne 1

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: Dwornik


Spis treści

Wyrażenia algebraiczne

[Red:

Przykład: W klasie Ia jest k uczniów, a w klasie Ib m uczniów. Ilu uczniów razem jest w obu klasach pierwszych?

  1. Dużo różnorodnych przykładów z użyciem symboli literowych w celu przekonania, że warto czasami liczyć "na literach", a wstawiać konkretne wartości liczbowe dopiero na końcu. Przykład: Wymiary opisane literkami, pola czy objętości na podstawie rysunku wymiarowanego literkami, zagadki typu: pomyśl liczbę…
  2. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych
    • Proste przykłady pod względem rachunkowym, nie wymagające określania dziedziny wyrażenia
  • zagadka lub zadanie
  • wymiarowanie
  • używanie symboli w obwodach, polach figur, objętości
  • liczby trójkątne, kwadratowe, wzory z zapałek
  • zapisz kontekst wieku (uproszczenie wyrażenia)

różne konteksty:cena, waga, prędkość, średnia?, liczba uścisków dłoni]

Rownania kwaity.jpg Rownania frezje.jpg Rownania roza.jpg Rownania storczyk.jpg
Kwiaciarnia Mamy Kasi. Frezje - 1,50 zł. Róże - 2 zł. Storczyki - 5,50 zł.
Mama Kasi pracuje w kwiaciarni. W poniedziałek rano pan Zenek zamówił u niej dużą wiązankę kwiatów. Do wykonania bukietu mama Kasi wzięła pewną ilość róż, frezji i kilka storczyków. Niech r oznacza liczbę róż, s ilość storczyków, a f frezji. Zapisz ile kwiatów jest w bukiecie kupionym przez pana Zenka? Każda róża kosztowała 2 zł, storczyki były po 5,50zł, a frezje po 1,50 zł. Ile kosztowały kwiaty do tego bukietu?
Rownania bukiet1.jpg
Pan Zenek kupił r róż, f frezji, s storczyków.

Koszt bukietu: r•2 + f•1,50 + s•5,50 złotych

Po południu do kwiaciarni przyszedł pan Tomek. On również poprosił o duży bukiet. Do tej wiązanki mama Kasi wzięła dwa razy więcej róż, o dwa storczyki mniej i o jedną frezję więcej niż do bukietu dla pana Zenka. Ile róż, storczyków, a ile frezji było w bukiecie kupionym przez pana Tomka? Ile kosztowały kwiaty do tego bukietu?
Rownania bukiet2.jpg
Pan Tomek kupił 2•r róż, s - 2 storczyków, f+1 frezji.

Koszt bukietu: ..........


Zadanie 1 Niech a oznacza długość czerwonego odcinka, a b długość odcinka niebieskiego. Używając symboli a, b, +,-,·, oraz odpowiednich liczb, zapisz długości pozostałych odcinków zamieszczonych na rysunku. Sumy odcinkow.svg

Zadanie 2 Pole kwadratu o boku a to a2, korzystając z symboli: a, b, a2, b2, =, -, ·, nawiasów, zapisz pola pozostałych zacieniowanych figur.

Sume pola.svg
Przy opisywaniu wielu zależności, związków matematycznych stosujemy wzory, np. wzory na obliczanie pola figur, obliczanie objętości, podatek ... We wzorach tych używane są liczby, litery, nawiasy i znaki działań. Stosowanie liter pomaga w opisywaniu i uogólnianiu wielu zagadnień praktycznych w takich dziedzinach jak matematyka, fizyka, chemia, mechanika, programowanie komputerowe, rachunkowość, finanse itd. Najczęściej więc, w takich przypadkach stosowane są wyrażenia algebraiczne.
Zapamiętaj

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia zapisane za pomocą liczb, liter, znaków działań: +, -, ·, :, potęgi, pierwiastka, nawiasów.

Wyrażeniami algebraicznymi są na przykład wyrażenia: 2 − 3 3\cdot x 2\cdot a\cdot b

y + 7 a2 + b 5\cdot (x-2) (x + y):2

Uwaga: Znak dzielenia możemy zastąpić kreską ułamkową np. (x + y):2 możemy zapisać \begin{matrix}\frac{x + y}{2}\end{matrix}. Znak mnożenia możemy często pominąć np. 3\cdot a\cdot b możemy zapisać jako 3ab, ale znaku \cdot musimy użyć, gdy bezpośrednio po symbolach literowych lub nawiasach w zapisie pojawiają się liczby, przez które mnożymy, np. x\cdot 6,   (3-n)\cdot 21

Zadanie 1 Zapisz liczbę o 3 większą od liczby k.

Zadanie 2 Zapisz liczbę 5 razy większą od liczby k.

Zadanie 3 Marcin zbiera znaczki. Ma n znaczków polskich i m znaczków zagranicznych. Ile znaczków ma Marcin?

Zadanie 4 Zapisz sumę liczb a i b.

Zadanie 5 Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisz obwody zacieniowanych figur z zadania 2.

Zadanie 6 Niech x oznacza długość boku, a h wysokość pewnego rombu. Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisz obwód i pole tego rombu.

Zadanie 7 Bartek ma t lat. Jego brat Olek jest o trzy lata starszy, a siostra Ewa o 5 lat młodsza. Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisz wiek Olka i jego siostry Ewy. Tata Bartka jest trzy razy starszy od Olka, a mama siedem razy starsza od Ewy. Zapisz wiek rodziców Bartka. Cztery razy starszy od Bartka jest jego wujek Adam, a dziadek Stefan ma w sumie tyle lat, co wujek Adam i tata Bartka. Ile lat ma wujek Adam, a ile dziadek Stefan?

Zadanie 8 W dowolnym czworokącie z jednego wierzchołka można poprowadzić tylko jedną przekątną, w pięciokącie dwie (dlaczego? - uzasadnij). Ile przekątnych można poprowadzić z jednego wierzchołka w dowolnym n - kącie? Ile przekątnych ma wielokąt o n bokach?

Zadanie 9 Wiadomo, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi 180°. Ile wynosi suma kątów wewnętrznych w czworokącie, w pięciokącie, w sześciokącie,...,a w n - kącie? Oblicz sumę katów wewnętrznych w wielokącie o 102 bokach.

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Zapamiętaj

Wstawiając w miejsce liter występujących w wyrażeniu algebraicznym konkretne liczby i wykonując wskazane działania otrzymamy wartość liczbową danego wyrażenia algebraicznego.


Uwaga: Wartość liczbowa danego wyrażenia algebraicznego będzie inna, gdy w miejsce zmiennych - liter, wstawimy inne liczby.

Przykład: Wartość liczbowa wyrażenia 5 − 2x dla x = 3 wynosi 5 - 2 \cdot 3 = -1 dla x = − 4 wynosi 5 - 2 \cdot (-4) = 13

Wartość liczbowa wyrażenia x2 − 5y + 4 dla x = 2 i y = − 3 wynosi 2^2 - 5 \cdot (-3) + 4 = 23 dla x = − 1 i y = 2 wynosi (-1)^2 - 5 \cdot 2 + 4 = -5.

Zadanie 10 Oblicz wartość liczbową wyrażenia 2x + 3, gdy x = 2, x = 10, x = − 5, x = 0,7

Oblicz wartość liczbową wyrażenia a2 − 3a + 5 dla a = 2. − 5t2 + 2t − 4 dla t = − 3. a2b2 dla a = 20, b = 10. 3a + 4b − 2 dla a = − 3, b = 5. a(a + 2) − b dla a = 7, b = − 13. x(3 − x) + 5y dla x = − 4, y = − 7. 3k − 4n2 dla \begin{matrix}k=\frac{1}{2}\end{matrix} i \begin{matrix}n=\frac{3}{4}\end{matrix}.

Zadanie 11 Podstaw do danego wyrażenia w miejsce n pięć wybranych liczb naturalnych i sprawdź, czy za każdym razem prawdziwe jest dla nich poniższe zdanie a) Liczba n3n jest podzielna przez 6. b) liczby postaci n3 + 17n są podzielne przez 6 c) \begin{matrix}\frac{n(n+1)}{2}\end{matrix} jest sumą pierwszych n liczb naturalnych (począwszy od 1).

Kolejność działań

Kolejność działań w wyrażeniach algebraicznych jest dokładnie taka sama jak w wyrażeniach arytmetycznych z liczbami. Tak więc po wstawieniu w wyrażenie algebraiczne liczb i zamienieniu go na liczbowe wyrażenie arytmetyczne postępujemy, jak do tej pory. Przypomnienie

Rola nawiasów

W zasadzie kolejnością wykonywania działań rządzą nawiasy. Praktycznie nie pisze się wszystkich nawiasów. Nawet krótkie wyrażenie algebraiczne musiałoby mieć wiele nawiasów. Na przykład w wyrażeniu (((a + b) + c) + d) + e

nawiasy są zupełnie niepotrzebne, bo dodawanie jest łączne.


Działania O kolejności działań decydują następujące priorytety. Priorytet działań (bez nawiasów) I. W pierwszej kolejności wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie. II. W drugiej kolejności mnożenie i dzielenie. III. W trzeciej kolejności dodawanie i odejmowanie.

[Red: kolejność działań niedokończona. Trzeba ją dokończyć ]

Poszukiwanie regularności

W tej części będziemy liczyli kamyki i patyczki. Wbrew pozorom będzie to spory kawałek bardzo ważnej matematyki. Zobaczysz też, jak wiele można wyrazić w języku algebry w niezwykle klarowny i skondensowany sposób.

Przykład

Z ilu patyczków składa się kolejna figura?

Alg(1) reg 00.svg

Narysowane są figury ułożone z patyczków. Widać pewną regularność, pewną zasadę w tworzeniu kolejnych figur. Z łatwością moglibyście/mogłybyście ułożyć następny szósty i siódmy i ósmy kształt. I tak dalej, bez końca. a1 oznacza liczbę patyczków potrzebnych do ułożenia pierwszego kształtu. a2 liczbę patyczków w drugiej figurze... Wypełnijcie. a1 = 4

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Czy za każdym razem liczyłyście/liczyliście wszystkie patyczki, czy zauważyliście/zauważyłyście pewną regularność? Do kolejnego kształtu potrzeba dokładnie trzy patyczki więcej niż do poprzedniego. Można to wyrazić schematem

Alg(1) reg rec 0.svg

A teraz wypełnijcie dwa jeszcze

a7 =

a8 =

Czy musieliście/musiałyście dorysować dwa dodatkowe kształty, czy wykorzystałyście/liście tę regularność?

A czy potraficie przewidzieć liczbę patyczków w setnym kształcie?

a100 =

Można doliczyć się tego na wiele sposobów. Czy już macie swój sposób? Spójrzcie na jeszcze jeden.

1200

Tak więc

a2 = a1 + 3

a_3=a_1+2\cdot 3

a_4=a_1+3\cdot 3

a_5=a_1+4\cdot 3

I dalej już widać

a_6=a_1+5\cdot 3

a_7=a_1+6\cdot 3

No i setny wyraz

a_{100}=a_1+99\cdot 3=4+99\cdot 3=301

Teraz dość łatwo odgadnąć wzór ogólny.

a_{n}=4+(n-1)\cdot 3=4+3n-3=3n+1

A więc najtrudniejsza część jest gotowa

an = 3n + 1


Sprawdźcie ten wzór, gdy n = 1, n = 5. Działa?


Liczby kwadratowe

Ile kropek?

Alg(1) reg 01.svg

a1, a2, a3... oznaczają odpowiednio liczbę kropek w pierwszym, drugim, trzecim kwadracie... Ogólniej: an oznacza liczbę kropek w n-tym kwadracie.

Wypełnijcie.

a1 = 1

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

A wzór ogólny? Tym razem jest prosto.

an = n2

Słowami można powiedzieć, że n-ty kwadrat ma n kwadrat kropek.

Liczby trójkątne

Ile kamyczków?

Alg(1) reg 02.svg

Spróbujcie wypełnić.

t1 = 1

t2 =

t3 =

t4 =

t5 =

t6 =

t7 =

t8 =

A wzór ogólny?

tn =

Jeden z wielu możliwych sposobów rozwiązania. Przy liczeniu t6, t7 i t8 pomóc może graf Alg(1) reg rec 0a.svg

Poniższy rysunek może wskazać drogę do wzoru ogólnego.

Alg(1) reg 02a.svg

Obrazuje on równość

t_5+t_5=6\cdot 5, czyli jest to wzór na podwojoną liczbę kropek w piątym trójkącie, a więc w pojedynczym piątym trójkącie mamy

t_5=\frac{6\cdot 5}{2}=

Czy widzisz już wzór na setną liczbę trójkątną? Czy wyobrażasz sobie rysunek zrobiony w ten sam sposób dla t100?

t_{100}=\frac{101\cdot 100}{2}=\frac{10100}{2}=5050

A co z n-tą liczbę trójkątną?

t_n=\frac{(n+1)\cdot n}{2}

i to jest wzór n-tej liczby trójkątnej.

Sprawdź koniecznie, czy Twoje obliczenia pierwszych 8 liczb trójkątnych są zgodne z tym wzorem.

Mamy jeszcze jeden wzór na kolejne liczby trójkątne. Kamyczki można liczyć inaczej.

t1 = 1


t2 = 1 + 2

t3 = 1 + 2 + 3

t4 = 1 + 2 + 3 + 4

t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

A więc liczba tn jest równa sumie n pierwszych kolejnych liczb naturalnych (począwszy od 1). Tę sumę zapisujemy tak: 1+2+3+ ... +n=\frac{n(n+1)}{2}

Zapamiętaj

Pierwsze liczby trójkątne to 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105,...



Przykład

Ile patyczków?

Alg(1) reg 04.svg

Najpierw odpowiemy na dwa inne pytania. Ile trójkątów? Jaki jest obwód?

Ile trójkątów?

Niech b1, b2, b3 ...oznaczają kolejne liczby trójkątów.

b1 = 6

To widać. Policzcie b2 i b3. Robi się dużo pracy. Czy jest inny sposób? Załóżmy, dla uproszczenia, że pole jednego trójkąta jest jeden. Pierwszy sześciokąt ma więc pole 6. Drugi ma wszystkie odległości dwa razy większe. Jego pole jest więc 2\cdot 2 razy większe. Ma więc pole 24. A więc b2 = 24. Trzeci sześciokąt ma pole 3\cdot 3 razy większe niż pierwszy sześciokąt, czyli ma 6\cdot 9 trójkątów. Wypełnijcie b1 = 6

b2 =

b3 =

b4 =

b5 =

b6 =

b7 =

Czy już jest jasne, ile jest

b100 =

A wzór ogólny? n-ty sześciokąt ma n2 razy więcej trójkątów niż pierwszy, bo jego wymiary liniowe są n razy większe. A więc

bn = 6n2


Jaki jest obwód?

Oczywiście obwód liczymy patyczkami. Niech c1, c2, c3 ...oznaczają kolejne obwody sześciokątów.

c1 = 6, bo policzyliśmy.

Zauważcie, że kolejne obwody są tyle razy większe, ile razy wymiary liniowe danego sześciokąta są większe. A więc

c_2=2\cdot c_1=2\cdot 6=12

c_3=3\cdot c_1=3\cdot 6=18

c_{100}=100\cdot c_1=100\cdot 6=600

i wzór ogólny

cn = 6n

Ile patyczków?

n-ty sześciokąt ma 6n2 trójkątów. Gdybyśmy policzyli boki tych trójkątów, to byłoby to trzy razy więcej, czyli 3\cdot 6n^2=18n^2. Ale w ten sposób policzyliśmy dobrze tylko patyczki na obwodzie, a te wewnątrz policzyliśmy dwukrotnie. Możemy więc zrobić tak: Odejmiemy od liczby 18n2 6n patyczków na obwodzie, podzielimy tę liczbę przez 2, a potem dodamy do wyniku jeszcze raz patyczki na obwodzie. Działanie jest więc takie \frac{18n^2-6n}{2}+6n. Jest to wynik, ale czy można to zapisać ładniej? \frac{18n^2-6n}{2}+6n=9n^2-3n+6n=9n^2+3n=3n\cdot 3n+3n\cdot 1=3n(3n+1).

A więc

an = 3n(3n + 1)

Spróbujcie sprawdzić ten wzór przez bezpośrednie liczenie!


Karta pracy

1. (a) Ile patyczków? Alg(1) reg 03.svg Wypełnij. a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = .............. a100 = .............. an = (b) Ile kwadratów? bn oznacza liczbę kwadratów w n-tym kształcie. Wypełnij. b1 = 1 b2 = b3 = b4 = b5 = b6 = b7 = .............. b100 = .............. bn = 2. Ile kamyczków? Alg(1) reg 01a.svg Wypełnij w poniższym grafie, przez jaką liczbę trzeba pomnożyć dany wyraz ciągu, aby otrzymać następny. Alg(1) reg rec 0b.svg Wypełnij. a10 = Wypełnij w poniższym grafie, przez jaką liczbę trzeba pomnożyć pierwszy wyraz ciągu, aby otrzymać następne wyrazy ciągu. Pozostaw ten czynnik jako potęgę i umieść po znaku mnożenia \cdot przy odpowiedniej strzałce. Alg(1) reg rec 1b.svg Napisz ogólny wzór. an = 3. Ile patyczków? an oznacza liczbę patyczków w n-tym trójkącie. Policz najpierw patyczki poziome. Wróć na chwilę do liczb trójkątnych i porównaj. Alg(1) reg 05.svg a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = .............. a100 = .............. an = 4. Ile patyczków? Alg(1) reg 06.svg Wypełnij. a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = .............. a100 = .............. an = 5. Ile patyczków? Alg(1) reg 07.svg

Każda "prostokątna spirala" ma coś wspólnego z liczbami trójkątnymi. Waszym zadaniem jest przedstawić każdy z 14 wyrazów jako sumę dwóch liczb trójkątnych, a następnie policzyć tę sumę. (Zacznijcie od drugiej "spirali".)

a1 = 1

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

a6 =

a7 =

a8 =

a9 =

a10 =

a11 =

a12 =

a13 =

a14 =

a15 =

Spróbujcie opisać słowami, jak wygląda wzór ogólny dla tego ciągu.