Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Wykaz treści

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

(W okrągłych nawiasach przydział godzin)

Spis treści

Klasa I

Test diagnostyczny (1)

Arytmetyka, liczby, obliczenia (10-14)

Liczby wymierne 1

  1. Działania na liczbach całkowitych (warto przypomnieć razem z kolejnością działań i z nawiasami.)
  2. działania na ułamkach
  3. zamiana ułamków zwykłych na liczby dziesiętne i odwrotnie, przykłady wykorzystania kalkulatora
  4. przybliżenia dziesiętne ułamków zwykłych
  5. działania na ułamkach wyrażonych rozwinięciem dziesiętnym (powtórzenie)
  6. Porównywanie liczb wymiernych
  1. porównywanie ułamków zwykłych
  2. porównywanie liczb dziesiętnych

Procenty 1 (5)

  1. zamiana procentów na ułamki dziesiętne i zwykłe, zamiana ułamków na procenty (także z użyciem kalkulatora, przybliżenia)
  2. obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga,także z użyciem kalkulatora, przybliżenia)
  3. obliczanie procentu liczby,

Procenty 2 (5)

  1. obliczanie liczby zwiększonej/zmniejszonej o pewien procent wprost i jako odpowiednie mnożenie
  2. obliczanie liczby ze znajomości jej procentu (odsetka)
    • przedstawianie danych na prostokącie i kole

Proporcje (6)

  1. Proporcja np. 2 : 3 i podział pewnej wielkości na dwie części w stosunku 2 : 3.
  2. Proporcja np. 2 : 3 : 5 i podział pewnej wielkości na trzy części w stosunku 2 : 3 ; 5
  3. Mieszaniny
  4. Proporcjonalność prosta
    Wielkości proporcjonalne y=kx (k może być albo dodatnie albo ujemne)
    Proporcjonalność odwrotna yx=k (k może być albo dodatnie albo ujemne) y jest odwrotnie proporcjonalne do x można wypowiedzieć, że y jest proporcjonalne do odwrotności x.
    Przykład równowagi na równoważni.

Potęga o wykładniku naturalnym; własności potęgowania (2)

  1. Przykłady potęg.
  2. Wprowadzenie pojęć: podstawa, wykładnik.
  3. Obliczanie potęg liczb wymiernych.
  4. Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających potęgi.
  5. Iloczyn potęg o tych samych podstawach.
  6. Iloraz potęg o tych samych podstawach.
  7. Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach.
  8. Iloraz potęg o tych samych wykładnikach.
  9. Potęgowanie potęgi.
  10. Doprowadzanie wyrażeń do tej samej podstawy.
  11. Zapis liczb za pomocą notacji wykładniczej ax10n, 1≤a<10

Przykłady pierwiastków (2)

  1. Wprowadzenie pojęć: liczba podpierwiastkowa, stopień pierwiastka.
  2. Przykłady pierwiastków z połączeniem z potęgami liczb od 1 do 20.
  3. Przykłady liczb niewymiernych.
  4. Szacowanie wyników wyrażeń, w których znajdują się pierwiastki z użyciem kalkulatora.
  5. Usuwanie niewymierności z mianownika w prostych przykładach.
  6. Obliczanie iloczynu z pierwiastków.
  7. Podnoszenie pierwiastków do potęgi.
  8. Wykonywanie działań na wyrażeniach, w których występują pierwiastki i potęgi.
''np. obliczając bok kwadratu z pola, krawędź sześcianu z objętości; przykłady liczb niewymiernych. Budowanie przeświadczenia, że liczby nawet niekwadratowe mają pierwiastki, których wartość można określać z dowolną dokładnością po przecinku. Można się wspomóc kalkulatorem, ale nie naciskając znaku pierwiastek.
[pierwiastek kwadratowy liczby a na niektórych kalkulatorach to a(1 / 2). Dlaczego?]

Algebra

Wyrażenia algebraiczne 1 (6)

  1. Zapisywanie wyrażeń algebraicznych.
  2. Nazywanie wyrażeń algebraicznych.
  3. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych.
  4. Rozpoznawanie wyrazów podobnych.
  5. Redukcja wyrazów podobnych.
  6. Wyrażenia o prostej konstrukcji, dotyczące przykładów z życia.
  7. Przykłady z użyciem symboli literowych.
  8. Proste przykłady pod względem rachunkowym, nie wymagające określania dziedziny wyrażenia.

Wyrażenia algebraiczne 2 (6)

  1. Równość wyrażeń algebraicznych.
  2. Dowody geometryczne.
  3. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych:
  4. Wyrażenia z jedną niewiadomą i z wieloma niewiadomymi.
  5. Zapisywanie jednomianów,
  6. Porządkowanie jednomianów,
  7. Określanie współczynnika liczbowego jednomianu,
  8. Mnożenie jednomianów przez jednomian,
  9. Jednomiany przeciwne,
  10. Jednomiany podobne.
  11. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych, to znajdywanie wyrażeń równych, choć inaczej zapisanych.

Wyrażenia algebraiczne 3 (8)

  1. Jednomiany uporządkowane i nieuporządkowane.
  2. Suma algebraiczna jednomianów.
  3. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
  4. Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian.
  5. Dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian.
  6. Doprowadzanie wyrażeń algebraicznych do najprostszej postaci.
  7. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.
  8. Przekształcanie prostych wzorów.
  9. Zapisywanie treści zadań za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Równania (4)

  • podkreślenie różnicy pomiędzy tożsamością a równaniem, co to jest rozwiązanie równania, co to znaczy rozwiązać równanie.
  • równania równoważne (co to są równania równoważne, zastępowanie wyrażeń algebraicznych równoważnymi i takie same odwracalne przekształcenia obu stron równania)
  • proste równania pierwszego stopnia
  • przykłady wywodzące się z różnych kontekstów
najłatwiejsze: 2x-2=0\,
najtrudniejsze: 3(x+4)=\frac{2}{3}x+5 ]
  • Przekształcanie wzorów, to jest przekształcanie równań

Równania i nierówności (2)

  1. Przykłady równań z jedną niewiadomą.
  2. Sprawdzanie, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania.
  3. Przykłady równań równoważnych.
  4. Przykłady równań tożsamościowych.
  5. Przykłady równań, które nie mają rozwiązań - równania sprzeczne.
  6. Przykłady równań, które mają nieskończenie rozwiązań.
  7. Przykłady równań zapisanych w postaci proporcji.
  8. Rozwiązywanie zadań z treścią z zastosowaniem równań.
  9. Proste nierówności, zaznaczanie rozwiązań na osi liczbowej.
  10. Rozwiązywanie zadań z treścią z wykorzystaniem nierówności I stopnia z jedną niewiadomą.

Wzory i funkcje

Kartezjański układ współrzędnych (2)

Punkty i pary liczb, czyli współrzędne

  • Wprowadzenie i elementarne ćwiczenia.

Wykresy funkcji (4)

  • przykłady wykresów funkcji wyznaczanych empirycznie w kartezjańskim układzie współrzędnych (jak odczytywać, jak zrobić tabelkę dla wybranych wartości, jak określić, co od czego zależy (żelazna umowa, że to na pionowej zależy od tego na poziomej), czy zależne rośnie, gdy niezależne rośnie i wiele, wiele innych. Różnorodne przykłady. Bardziej wizualnie i intuicyjnie niż analitycznie. Wśród wykresów warto rozpoznać proporcjonalność prostą. Być może pokazać kształt proporcjonalności odwrotnej

Uwaga. w nowych podstawach nie ma właściwie funkcji jako takich. To chyba po prostu jest niedopatrzenie.Funkcje jako wzory pojawiają się w innych przedmiotach i nie ma powodu, żeby się na tym nie oprzeć. Generalnie widziałbym ten moduł/lik jako przykłady różnych wzorów i przedstawianie jednej ze zmiennych jako funkcja pozostałych. Nawiązanie do fizyki. Nawiązanie do geometrii – pole trójkąta, trapezu i wyznaczanie jednej ze zmiennych przez pozostałe. Przy okazji tworzenie języka funkcji. Warto też podać algorytmiczny sposób określania funkcji. Przykład: weź dowolną liczbę x, podnieś ją do kwadratu i dodaj 1. Wynik nazwij f(x). Wtedy warto wprowadzić notację x strzałka f(x) lub x strzałka f(x)=x^2+1.) Różne sposoby zadawania funkcji. tytuł strony

Geometria

Kąty (2)

  1. Przykłady formułowania definicji pojęć.
  2. Rodzaje kątów: ostry, rozwarty, prosty, zerowy, półpełny, pełny.
  3. Własności kątów: wierzchołkowych, naprzemianległych, odpowiadających, przyległych.
  4. Kreślenie kątów o zadanej mierze przy użyciu kątomierza.
  5. Konstrukcja kąta równego narysowanemu.
  6. Dodawanie kątów.
  7. Odejmowanie kątów.
  8. Kąt jako figura i kąt jako miara obrotu dookoła punktu.
  9. Azymut.

Kąty i proste (2)

  1. konstrukcja prostych równoległych i prostopadłych (dodawanie odcinków trochę wcześniej, potem jeszcze przed rodzajami kątów)
  2. proste równoległe przecięte trzecią prostą

Klasyfikacja i kreślenie wielokątów

  1. Konstrukcja identycznych trójkątów i czworokątów konstrukcyjnie (na razie bez słowa konstrukcyjnie, a za pomocą tylko cyrkla i linijki.)
  2. Cechy przystawania trójkątów.

Symetria osiowa (4+2)

wersja z animacjami

  1. rozpoznawanie figur symetrycznych
  2. uzupełnianie rysunków tak, aby figury były symetryczne
  3. rysowanie figur symetrycznych
  4. wyznaczanie osi symetrii figury
  5. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta i ich konstrukcje;

Kąt środkowy i kąt wpisany

  1. Koło, okrąg - pojęcia.
  2. Kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku.
  3. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku.
  4. Kąty wpisane oparte na średnicy.
  5. Zaznaczanie katów wpisanych i kątów środkowych, odczytywanie miar katów.

Twierdzenie Pitagorasa (3)

Związki między bokami w trójkącie prostokątnym. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania;

  1. wyznaczanie długości boków trójkąta prostokątnego
  2. wyznaczanie wysokości trójkąta równoramiennego i równobocznego oraz przekątnej prostokąta
  3. rozpoznawanie trójkątów prostokątnych na podstawie długości boków

Obwód i pole wielokąta (5)

  1. pole trójkąta, prostokąta, równoległoboku, trapezu oraz dowolnego wielokąta będącego sumą innych wielokątów
  2. Taka mała zasada Cavaleriego dla pól.
  3. pole rombu z zastosowaniem długości przekątnych i czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Pole koła i długość okręgu (4)

  1. liczba π (nawiązać do proporcjonalności)
  2. obliczanie długości okręgu o danym promieniu,
  3. wyznaczanie promienia mając daną długość okręgu
  4. obliczanie pola koła o danym promieniu,
  5. wyznaczanie promienia mając dane pole

Prostopadłość i równoległość

Prostopadłość i równoległość w przestrzeni na przykładach brył

Graniastosłupy proste (i pochyłe) (6)

  1. rozpoznawanie i rysowanie rzutów równoległych graniastosłupów (na jedną płaszczyznę bez perspektywy)
  2. siatki graniastosłupów
  3. obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości sześcianu
  4. obliczanie pól powierzchni i objętości graniastosłupów

Uwaga na wysokość.

Ostrosłupy (6)

  1. rozpoznawanie i rysowanie rzutów równoległych ostrosłupów
  2. obliczanie pól powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupów
  3. obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości czworościanu

Uwaga na wysokość.

Statystyka opisowa i modele losowe

Statystyka opisowa i wprowadzenie do prawdopodobieństwa (6)

Dane nieliczbowe Dane liczbowe

  • Opis zbioru danych: moda, mediana i kwartyle
  • Wykres pudełkowy.
  • Wartość średnia.

(Dane rzędu 20 wyników.)

  • Dane z podanymi częstościami i znowu moda, mediana i kwartyle. Wykres słupkowy.

Proste doświadczenia losowe (częstość a prawdopodobieństwo)

  • Badanie częstości występowania orła w rzutach monetą (częstość, częstość względna, prawdopodobieństwo)
  • Rozkład wyników w rzutach kostką (częstość, częstość względna, prawdopodobieństwo)
  • zdarzenia możliwe, niemożliwe, pewne

Klasa II

Arytmetyka, liczby, obliczenia

Liczby wymierne 2

Liczby wymierne a okresowe. Pokazanie, że liczby wymierne mają albo skończone rozwinięcia dziesiętne albo nieskończone i jednocześnie okresowe. Dodatkowo: powrót od liczby okresowej do ułamka. Porównywanie liczb rzeczywistych;


Liczby wymierne 3

Liczby wymierne i liczby rzeczywiste i działania na nich, przykłady wykorzystania kalkulatora; ile cyfr spisywać z kalkulatora do odpowiedzi. Przybliżenia, cyfry znaczące, n cyfr znaczących, dokładność do n miejsc dziesiętnych Wyniki pomiarów Wyniki pomiarów i obliczenia z udziałem tych wyników. Dokładność wyników obliczeń.

Potęgi o wykładniku całkowitym

Potęga o wykładniku całkowitym; własności potęgowania; [o ile nie było wcześniej. Tak, czy owak, warto powtórzyć. Pełna notacja wykładnicza dla dodatnich i ujemnych potęg dziesięciu – nie zapomnieć. Cyfry znaczące raz jeszcze.]


Pierwiastki i ich podstawowe własności

Pierwiastki i ich podstawowe własności (iloczyn pierwiastków, iloraz, wyciąganie odpowiednich czynników przed znak pierwiastka i wprowadzanie czynnika pod znak pierwiastka. Dodatkowo pierwiastek z pierwiastka. Uwaga o oznaczeniach na kalkulatorze i pokazanie sensu tych oznaczeń, a także dodatkowo nawiązanie do własności potęgowania z wykładnikami całkowitymi, czyli pierwszy krok do potęg ułamkowych.


Procenty 3

  • dalej typowe zadania o większym niż w klasie 1 stopniu skomplikowania. Jeszcze raz i aktywniej obliczanie liczby ze znajomości jej pewnego procentu (odsetka)
  • procent składany (po roku, po dwóch, trzech, dziesięciu... latach. Odnalezienia oprocentowania rocznego znając przyrost kapitału po np. trzech latach. Dodatkowo po np. 7 latach – z użyciem kalkulatora.)
  • promile

Algebra

Algebra 4 i 5

Wzory skróconego mnożenia. Wyleciało, co robimy? Możemy obejść te wzory za każdym razem je wyprowadzając. Nie jest to całkiem głupie, bo wzory skróconego mnożenia prowadzą niekiedy do bezmyślności i obciążania pamięci. Duża część uczniów zapomina, czy tam był plus, czy minus i nie jest w stanie sobie z tym poradzić. Zostawiam te punkty, ale moja propozycja byłaby taka: Uczymy mnożyć sumę algebraiczną przez sumę algebraiczną z rozdzielności mnożenia względem dodawania. Na koniec możemy sformułować zasadę, która się z grubsza wypowiada, ze mnożymy wszystko przez wszystko. Powtarzamy wyciąganie przed nawias wspólnego czynnika w postaci jednomianu. Uczymy wyciągania przed nawias wspólnego czynnika w postaci sumy algebraicznej. Uczymy rozkładać na czynniki pierwszego stopnia wielomiany dwóch zmiennych drugiego stopnia bez delty. (To wszystko pokryło by w zupełności wzory skróconego mnożenia do stopnia drugiego… i w 2 klasie starczy)

  1. Mnożenie sum algebraicznych
  2. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń
  3. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
  4. Iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń

Wyrażenia algebraiczne

  1. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia
    • przekształcanie wyrażenia algebraicznego do najprostszej postaci
    • przekształcanie sumy algebraicznej na iloczyn
    • usuwanie niewymierności z mianownika

Układ kartezjański i proste równania i nierówności

  • pary liczb spełniające równanie y = ax + b, ilustracja w układzie współrzędnych (budowanie przekonania, że te pary liczb jako punkty w układzie współrzędnych stanowią prostą)
  • pary liczb spełniające równanie typu ax+by=c (także przypadek a=0 lub b=0).
  • pary liczb spełniające jednocześnie dwa równania typu ax+by=c i dx+ey=f. Trzy przypadki
  • graficzne rozwiązanie układu dwóch równań liniowych dwóch niewiadomych
  • zadania tekstowe
  • Liniowe nierówności dwóch zmiennych i ich interpretacja w układzie kartezjańskim.
  • sytuacje prowadzące do modelu z nierównościami.


Przykłady funkcji (również nieliczbowych)

  1. sposoby przedstawiania funkcji (najróżniejsze, a w tym koniecznie podejście algorytmiczne – np. wzór, tabelka, wykres, graf ze strzałkami i może parę innych. Dobrze by było, gdyby uczniowie wiedzieli, że przekształcenie, które będą mieli w geometrii – to też funkcje. [Uwaga. W nowej podstawie nie ma przekształceń geometrycznych, ale w naszym programie mogą być.]
  2. wskazywanie przyporządkowań będących funkcjami

Odczytywanie własności funkcji z wykresu


Funkcja liniowa i jej własności

  1. zależność wykresu od współczynników a i b
  2. miejsce zerowe
  3. wyznaczanie wzoru funkcji liniowej (mając dane na przykład a i punkt, przez który przechodzi, mając daną jedną znaleźć równoległą i przechodzącą przez dany punkt itp.)


Równania z jedną niewiadomą

  1. Rozwiązywanie równań z zastosowaniem różnych technik: przekształceń i operacji zastosowanych do obu stron równania. Korzyści z faktoryzacji.

najłatwiejsze: 3(x+4)=\frac{2}{3}x+5

najtrudniejsze: (2x-3)^2-0,9=4x^2-5(4x-3)\,


Rozwiązywanie nierówności i układów nierówności

  1. zastosowanie nierówności w zadaniach

Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

  1. rozwiązywanie układów równań metoda podstawiania (tylko powtórzenie)
  2. rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników (nowe)
  3. rozwiązywanie układów równań metoda graficzną (powtórzenie)
  4. układy oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne (powtórzenie)
  5. zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych (zawsze warto robić. Można nieco trudniejsze niż rok temu)

Geometria

Proste i okręgi na płaszczyźnie

Styczna do okręgu

  1. odległość punku od prostej (środka okręgu od prostej)
  2. konstrukcja stycznej do okręgu


Okrąg wpisany w trójkąt

  1. formułowanie spostrzeżeń w postaci twierdzeń

Okrąg opisany na trójkącie

  1. formułowanie spostrzeżeń w postaci twierdzeń np. jeśli okrąg opisany jest na trójkącie prostokątnym to jego środek leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją na połowę


Okrąg opisany na czworokącie i wpisany w czworokąt

  1. warunki


Wielokąty foremne

  1. konstrukcje trójkąta równobocznego, kwadratu, sześciokąta foremnego
  2. rysowanie innych wielokątów foremnych

Symetria środkowa

tutaj robimy zadania także dotyczące pól i obwodów (10, 11)

  1. rozpoznawanie figur środkowosymetrycznych
  2. rysowanie figur środkowosymetrycznych
  3. środek symetrii
  4. symetria środkowa jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Obrót

Obrót (złożenie obrotów)


Translacja

Translacja (Przesunięcie równoległe) tutaj robimy zadania także dotyczące pól i obwodów (10,11)

Wektory

Wektory

  1. działania na wektorach
  2. długość wektora


Związki miarowe w figurach

  1. funkcje trygonometryczne
  2. przykłady tożsamości trygonometrycznych


Graniastosłupy 2

Graniastosłupy - obliczanie pól powierzchni i objętości wielościanów tutaj robimy także zadania z zastosowaniem tw. Pitagorasa i związków między kątami i bokami(11)

  1. przekroje

Ostrosłupy 2

Ostrosłupy - obliczanie pól powierzchni i objętości wielościanów tutaj robimy także zadania z zastosowaniem tw. Pitagorasa i związków między kątami i bokami(11)

  1. przekroje

Statystyka opisowa i modele losowe

Statystyka opisowa i wprowadzenie do prawdopodobieństwa

  • Opis zbioru danych zgrupowanych w klasy o równych przedziałach:
  • Histogram i wielokąt skumulowanych częstości.
  • Przybliżona wartość mediany i kwartyli. Estymacja wartości średniej.
  • Wykresy kołowe (tortowe).


Przykłady prostych doświadczeń losowych

Drzewka

Grafy (dodatkowo)

Klasa III

Arytmetyka, liczby, obliczenia

Liczby rzeczywiste i działania na nich. Krótkie przypomnienie, a potem wszystkie umiejętności razem, a więc działania złożone z zastosowaniem potęg i pierwiastków. Znak kreski ułamkowej właściwie wypiera dzielenie, ale mogą być proporcje, np. złota i o niej. przykłady wykorzystania kalkulatora; tutaj robimy także zadania z zastosowaniem przybliżeń

  1. Porównywanie bardziej skomplikowanych wyrażeń, jak wyrażenia z pierwiastkami – przez przybliżenia dziesiętne lub przez operacje na nierównościach

Porównywanie liczb z rozwinięciami okresowymi.


Procenty jeszcze raz. Wszystko, co do tej pory i rozbójnik. Więcej sekwencji typu zmniejszono cenę, a potem zwiększono dwukrotnie itp. Różne konteksty.

Algebra

Wyrażenia algebraiczne + równania Budowanie wyrażeń algebraicznych i upraszczanie ich. Budowanie równań i rozwiązywanie ich na symbolach. Od najprostszych w celu powtórzenia po takie, w których trzeba obie strony równania spierwiastkować lub podnieść do potęgi. Mogą pojawić się równania kwadratowe, które albo daje się rozwiązać wzorami skróconego mnożenia lub innymi metodami „bezdeltowymi”.


Układy równań liniowych, ale też takie, które się do nich sprowadzają (na przykład jedno liniowe, drugie kwadratowe.


Nierówności liniowe z większą liczbą nierówności


Wykresy funkcji Powtórzenie, a dokładniej funkcja kwadratowa y = x2 i y = kx − 1 Badanie różnych własności funkcji (wartości rosną, gdy argumenty rosną, największą wartośc funkcja przyjmuje, gdy…, jakie są liczby są przekształcone na daną wartość…, co stałoby się, gdyby wykres obrócić symetrycznie względem….itp.


Przykłady funkcji : kwadratowej y=ax² i proporcjonalności odwrotnej

  1. wykresy funkcji
  2. odczytywanie własności z wykresu funkcji
  3. obliczanie wartość funkcji dla danego argumentu
  4. obliczanie argumentu z danej wartości
  5. wykresy i wzory funkcji, których wykres powstał przez przesunięcie o wektor [a,0] lub [0,b]


Odczytywanie własności funkcji z wykresu


Równania z jedną niewiadomą
Powtarzamy wiadomości z klasy I i II. Rozwiązujemy układy równań o bardziej złożonej budowie niż w klasie II. najłatwiejsze: (3x-4)^2=9x^2-8\,

najtrudniejsze: \frac{2x+3}{3x-1}=\frac{4x}{6x+2}
ten przykład chyba jest zbyt trudny (równanie kwadratowe!!!)(przy 4 miał byc x, juz to poprawiłam, wówczas po redukcji zostaje nam równanie I stopnia, ale wtedy nie jest to chyba równanie trudne) proponuję \frac{4x-6}{9+2x}=\frac{-3}{x+3} tez jest kwadratowe ale sprowadza się do kwadratu sumy wyrażeń 4x²+12x+9=0


Nierówności liniowe

utrwalamy w miarę proste nierówności a kończymy takimi które w efekcie końcowym dają nam proste nierównaności kwadratowe np.(x − 2)2 > 2(x2 − 2x)

Układ równań z dwiema niewiadomymi i jego interpretacja geometryczna.także takich, gdzie przynajmniej jedno z równań nie jest liniowe np.: jedno równanie x2 − 4 = (x − 3)(x − 5) drugie równanie x2 = 9 lub jedno równanie (x − 3)2 + 2 = (x − 2)(x + 5) drugie równanie x2 − 2x + 1 = 0

Geometria

Jednokładność z odniesieniami do (8)

  1. konstrukcje figur jednokładnych o różnych skalach

Figury podobne. tutaj robimy także zadania z zastosowaniem tw. Pitagorasa (11) obliczania pól (10)

  1. twierdzenie o stosunku pól figur podobnych

Twierdzenie Talesa

  1. konstrukcyjne dzielenie odcinka na równe części
  2. konstrukcyjne dzielenie odcinka w danym stosunku
  3. obliczanie długości odcinków wyznaczonych przez ramiona kąta i proste równoległe przecinające go

Cech podobieństwa trójkątów

Bryły obrotowe (walec, stożek, kula);

  1. obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych. tutaj robimy także zadania z bryłami wpisanymi jedne w drugie)


Statystyka opisowa i modele losowe

Statystyka opisowa

  • Wszystko, co poprzednio w różnych kontekstach. Dużo ciekawych przykładów z życia.
  • Opis zbioru danych zgrupowanych w klasy o różnych podstawach:
  • Histogram i wielokąt skumulowanych częstości.
  • Moda, mediana i kwartyle. Wartość średnia.


Proste doświadczenia losowe i proste obliczenia prawdopodobieństwa

  1. drzewka i grafy
  2. odrobina kombinatoryki
  3. gry sprawiedliwe (podział stawki)


ZADANIA POWTÓRZENIOWE PRZED EGZAMINEM

MATERIAŁ DODATKOWY PO EGZAMINIE