Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Twierdzenie Pitagorasa

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: TG

[Red: Związki między bokami w trójkącie prostokątnym. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania;

  1. wyznaczanie długości boków trójkąta prostokątnego
  2. wyznaczanie wysokości trójkąta równoramiennego i równobocznego oraz przekątnej prostokąta
  3. rozpoznawanie trójkątów prostokątnych na podstawie długości boków]

Spis treści

Najsłynniejsze twierdzenie matematyczne

Floor 01.svg

Czasem patrzysz na kafelki na podłodze - takie jak na rysunku - i nawet nie zdajesz sobie sprawy, że ukryte w tych kafelkach jest jedno z najsłynniejszych twierdzeń w matematyce - twierdzenie Pitagorasa. Ale zacznijmy od trójkątów prostokątnych.

Trójkąt prostokątny, to taki trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty.

Triangle90.svg

Jeśli jeden kąt w trójkącie jest prosty, to pozostałe kąty są ostre. Żaden z nie może być ani prosty, ani większy od prostego, bo byłby to trójkąt, w którym suma kątów byłaby większa od 180°. Boki trójkąta prostokątnego nazywa się w taki sposób, aby było wiadomo, jakie jest ich położenie względem kąta prostego w tym trójkącie. Tak więc bok leżący naprzeciwko kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną, a każdy z dwóch boków leżących na ramionach kąta prostego nazywa się przyprostokątną.


W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem.

Dla matematyka

Powyższe twierdzenie wydaje się oczywiste, gdy patrzy się na jakikolwiek narysowany trójkąt prostokątny. Matematyk lubi jednak wiedzieć, czy zaobserwowana hipoteza może być udowodniona za pomocą bardziej elementarnych faktów. Spójrzcie na poniższy rysunek. Jest na nim trójkąt prostokątny i ABC i jego symetryczne odbicie względem prostej AC. Punktem symetrycznym do B jest B'. Hypotenuse best.svg Czy widzicie, że odległość BB' jest mniejsza niż droga od B do B' poprzez A? Ta własność, że droga po linii prostej jest mniejsza niż jakakolwiek inna droga o tym samym początku i końcu, jest jedną z najbardziej podstawowych zasad naszej geometrii. Mamy więc nierówność 2a < 2c. Czyli a < c.


Konstrukcja trójkąta prostokątnego, gdy dane są jego przyprostokątne

Przypuśćmy, że mamy daną długość dwóch przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym. Czy możemy skonstruować ten trójkąt? Spróbujcie zrobić to sami, a potem porównajcie swoją konstrukcję z tą poniżej.

Adjacent 01.svg

Masz dane dwa odcinki o długości a i b. Narysuj jakąkolwiek prostą i nazwij ją k. Zaznacz na niej punkt i nazwij go C. Zakreśl wokół punktu C okrąg o promieniu a. Okrąg ten przetnie prostą k w dwóch punktach. Wybierz jeden z nich i nazwij go B. Skonstruuj prostą prostopadła do prostej k w punkcie C i nazwij ją l. Zakreśl okrąg dookoła punktu B o promieniu b. Okrąg ten przecina prostą l w dwóch punktach. Wybierz jeden z nich i nazwij go A. Odcinek AB jest szukaną przeciwprostokątną. Oznaczmy jego długość literą c. Ćwiczenie. Dwa punkty kandydowały na nazwę B, a po dokonaniu każdego z dwóch wyborów dwa punkty kandydowały na nazwę A. Udowodnij, że w każdym z 4 przypadków otrzymany odcinek AB miałby tę samą długość c. Do dowodu użyj pojęcia symetrii.

Konstrukcja trójkąta prostokątnego, gdy dane są jego przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych

Przypuśćmy, ze mamy dane dwa boki trójkąta prostokątnego: przeciwprostokątną i przyprostokątną. Czy można skonstruować trzeci bok, czyli drugą przyprostokątną? Spróbujcie to zrobić samodzielnie. Porównajcie z konstrukcją poniżej.

Hypotenuse 01.svg

Mamy dany odcinek o długości c i odcinek o długości a. Dłuższy odcinek c ma być przeciwprostokątną, a krótrzy odcinek a - przyprostokątną. Narysuj dowolną prostą i nazwij ją k. Zaznacz na niej dowolny punkt i nazwij go B. Wokół punktu B zakreśl okrąg o promieniu a. Okrąg ten przetnie prostą k w dwóch punktach. Wybierz jeden z nich i nazwij go C. W punkcie C wystaw prostą prostopadłą do k i nazwij ją l. Zakreśl teraz wokół punktu B okrąg o promieniu c. Ponieważ c jest większe niż a, więc okrąg ten przetnie prostą l w dwóch punktach. Wybierz jeden z nich i nazwij go A. Odcinek AC jest drugą przyprostokątną, której szukamy. Oznaczmy jego długość b. Ćwiczenie. Dwa punkty kandydowały na nazwę C, a po dokonaniu wyboru dwa punkty kandydowały na nazwę A. Udowodnij, że w każdym z 4 przypadków otrzymany odcinek AC miałby tę samą długość b. Do dowodu użyj pojęcia symetrii.


Obie konstrukcje przekonują nas, że znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, możemy jednoznacznie określić długość trzeciego boku, konstruując odpowiedni odcinek. Twierdzenie Pitagorasa mówi o tym dużo piękniej.

Ważne

Twierdzenie Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnycj jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Pitagoras 00.svg Czasami wygodniej jest skorzystać z tego twierdzenia wypowiedzianego nieco bardziej algebraicznie. W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych a i b i przeciwprostokątnej c łączy związek a^2+b^2=c^2\,

Dowody twierdzenia Pitagorasa

Dowód hinduski

Weź dowolny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c. Z czterech takich trójkątów ułóż kwadrat o boku a + b. Wewnątrz tego kwadratu powstaje niezacieniowany kwadrat o boku c. Przesuńmy wewnątrz kwadratu o boku a + b dwa trójkąty, tak jak na rysunku. Teraz niezacieniowany jest ten obszar dwóch kwadratów: jednego o boku a, a drugiego o boku b. A przecież niezacieniowane pole ma tę samą powierzchnię, co poprzednio. A więc a2 + b2 = c2. Pitagoras 01.svg

Dowód chiński

Znowu zacznijmy od trójkąta prostokątnego a, b i c. Dowód zaczyna się od ustawienia obok siebie kwadratów o boku a i o boku b. Kolejne przekształcenia, które nie zmieniają pola, przekształcają pola obu kwadratów na pole jednego kwadratu o boku c.

Pitagoras 02.svg

Dowód na posadzce

No i na koniec wyjaśnienie tajemnicy posadzki. Na pierwszym rysunku na początku rozdziału na posadzce były tylko kwadraty o bokach - nazwijmy je - a i b. Czy potrafisz na tej posadzce dostrzec trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b? Oznaczmy długość przeciwprostokątnej w takim trójkącie c. Teraz posadzka została przykryta kwadratowymi kafelkami o boku c. Spójrz na zaznaczone cztery trójkąty prostokątne o bokach a, b i c. Pokazują one, ze te duże kafelki rzeczywiście są kwadratami o boku c.Wyobraź sobie baaardzo duuużą posadzkę z bardzo wieloma kafelkami. Czy widzisz, że potrzeba na nią tyle samo kwadratowych kafelków o boku a co o boku b? Czy widzisz, że ta ta sama liczba kwadratowych kafelków o boku c pokryje tę podłogę? A więc powierzchnia dwóch mniejszych kafelków kwadratowych jest taka sama, jak powierzchnia dużego kafelka o boku c.

Floor 03.svg


Karta pracy

Uwaga. Wszystkie rysunki to tylko szkice. Ćwiczenie 1 Oblicz pola. a) Pythagoras Cw 1 a.svg b) Pythagoras Cw 1 b.svg c) Pythagoras Cw 1 c.svg d) Pythagoras Cw 1 d.svg Ćwiczenie 2 Oblicz brakujące wielkości. Każdy rysunek jest wskazówką do następnego. a) Pythagoras Cw 2 a.svg b) Pythagoras Cw 2 b.svg c) Pythagoras Cw 2 c.svg d) Pythagoras Cw 2 d.svg Ćwiczenie 3 Oblicz brakujące wielkości. Każdy rysunek jest wskazówką do następnego. a) Pythagoras Cw 3 a.svg b) Pythagoras Cw 3 b.svg c) Pythagoras Cw 3 c.svg d) Pythagoras Cw 3 d.svg Ćwiczenie 4 Znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego policz długość trzeciego boku. a) Pytha Cw 4 a.svg b) Pythagoras Cw 4 b.svg c) Pythagoras Cw 4 c.svg d) Pythagoras Cw 4 d.svg Ćwiczenie 5 Znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego policz długość trzeciego boku. a) Pythagoras Cw 5 a.svg b) Pythagoras Cw 5 b.svg c) Pythagoras Cw 5 c.svg d) Pythagoras Cw 5 d.svg


Karta pracy

Uwaga. Wszystkie rysunki to tylko szkice. 1. Wylicz wysokość trójkąta równobocznego o boku 2. Podaj dokładną wartość. Pytha KP2 01.svg 2. Znajdź obwód rombu o przekątnych 6 i 8. Pytha KP2 02.svg 3. Znajdź wysokość trapezu prostokątnego. Pytha KP2 03.svg 4. Znajdź wysokość trapezu równoramiennego. Pytha KP2 04.svg 5. Oblicz długości przekątnych równoległoboku. Pytha KP2 05.svg

Odległości punktów na kracie

Przykład

Policzcie długość od A do B.

Pythagrid 01a.svg

Dorysujmy dwa odcinki, dzięki czemu odcinek AB staje się przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o znanych przyprostokątnych.

Pythagrid 01.svg

Z twierdzenia Pitagorasa |AB|=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}


Karta pracy

1. Pythagrid 02.svg a) Policzcie w sposób z przykładu przed tą kartą pracy.. | AB | = | CD | = | EF | = | GH | = Na rysunku widać, że |CD|=2\cdot |AB|, |EF|=3\cdot |AB|, |CD|=4\cdot |AB| b) Wypełnijcie brakujące miejsca. W każdym wierszu w miejsce kropek należy wstawić tę samą liczbę naturalną. \sqrt{8}=....\sqrt2, bo (....\sqrt2)^2=(....\sqrt2) \cdot (....\sqrt2)=8. \sqrt{18}=....\sqrt2, bo (....\sqrt2)^2=(....\sqrt2) \cdot (....\sqrt2)=18. \sqrt{32}=....\sqrt2, bo (....\sqrt2)^2=(....\sqrt2) \cdot (....\sqrt2)=32. 2. Pythagrid 03.svg a) Policzcie w sposób z przykładu przed tą kartą pracy.. | AB | = | CD | = | EF | = | GH | = Na rysunku widać, że |CD|=2\cdot |AB|, |EF|=4\cdot |AB|, | GH | = | AB | b) Wypełnijcie brakujące miejsca. \sqrt{20}=....\sqrt5, bo (....\sqrt5)^2=(....\sqrt5) \cdot (....\sqrt5)=20. \sqrt{80}=....\sqrt5, bo (....\sqrt5)^2=(....\sqrt5) \cdot (....\sqrt5)=80. 3. Pythagrid 04.svg Policzcie dokładne długości odcinków. Zastanówcie się, jak można przedstawić te długości jako iloczyn liczby naturalnej i pierwiastka z jak najmniejszą naturalną liczbą podpierwiastkową. | AB | = | CD | = | EF | = 4. Odgadnij brakującą liczbę. W każdym wierszu to jest ta sama liczba. \sqrt{18}=....\sqrt2, bo (....\sqrt2)^2=18 \sqrt{48}=....\sqrt3, bo (....\sqrt3)^2=48 \sqrt{180}=....\sqrt5, bo (....\sqrt5)^2=180 \sqrt{72}=....\sqrt2, bo (....\sqrt2)^2=72 \sqrt{200}=....\sqrt{...}, bo (....\sqrt{...})^2=200

Twierdzenie odwrotne

Do pełnej wiedzy o twierdzeniu Pitagorasa brakuje nam czegoś niezwykle ważnego. Wiemy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch mniejszych boków jest równa kwadratowi największego boku. Wiemy więc też na przykład to, że jeśli suma kwadratów dwóch mniejszych boków nie jest równa kwadratowi największego boku, to taki trójkąt nie może być prostokątny. Na przykład trójkąt o bokach 2, 3 i 4 nie jest prostokątny, bo 2^2+3^2\not=4^2 (13 \not= 16 ). Ale skąd mamy wiedzieć, że trójkąt o bokach 5, 12 i 13 musi być prostokątny. Wyobraźmy sobie rozmowę A i B. A: 52 + 122 to jest 25+144 czyli 169, a to jest dokładnie 13 do kwadratu. B: No i co z tego? A: To znaczy, że trójkąt 5, 12, 13 jest prostokątny. B: Zaraz, zaraz. Na razie wiesz, że gdyby trójkąt prostokątny miał przyprostokątne 5 i 12, to jego przeciwprostokątna byłaby 13. A skąd wiesz, ze taki trójkąt istnieje? A: Przecież mogę go skonstruować. Wezmę dwa odcinki o wspólnym początku i pod kątem prostym, z których jeden będzie miał długość 5, a drugi 12. Gdy połączę ich końce, to otrzymam trójkąt prostokątny o bokach 5, 12 i 13. Chyba Cię przekonałem. B: Wcale nie. Przecież nie możesz zaprzeczyć, że mógłbym w sobie tylko wiadomy sposób wymyślić inny trójkąt o bokach 5, 12 i 13, który nie byłby prostokątny. Przecież nikt nie musi powtarzać Twojej konstrukcji. A: Zaraz, ale powiedziałeś, że Twój trójkąt ma boki 5, 12 i 13? B: Tak. A: A więc nasze trójkąty są przystające. Mają takie same boki. To była pierwsza cecha przystawania. Nazywała się BBB. B: Hm. Ale pierwsza cecha wcale nie mówi o kątach. To w Twoim trójkącie kąt pomiędzy bokami 5 i 12 jest prosty. Dlaczego tak ma być w moim? A: O ile dobrze pamiętam, to jeśli trójkąty mają choć jedną cechę przystawania, to mają też wszystkie pozostałe cechy. A więc BKB. Skoro już zgodziliśmy się, że są przystające, to pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami mają te same kąty. Te boki w moim o długości 5 i 12 odpowiadają Twoim bokom 5 i 12, czy tak? B: Tak A: No to i kąty mamy pomiędzy tymi bokami równe.

Czy A przekonał B? Jak sądzisz? Spróbuj przekonać kogoś (i siebie samego), że jeśli w trójkącie o bokach a, b i c a2 + b2 = c2, to jest to trójkąt prostokątny, przy czym kąt prosty jest pomiędzy bokami a i b. Przypomnij sobie pierwszą konstrukcję z tego modułu i przypomnij sobie cechy przystawania trójkątów.

Rzadko twierdzenie odwrotne do danego jest prawdziwe. Na przykład twierdzenie odwrotne do prawdziwego twierdzenia "Jeśli liczba jest podzielna przez 4 , to jest podzielna przez 2" nie jest prawdziwe. Przecież jeśli liczba jest podzielna przez 2 , to nie musi być podzielna przez 4. Weźmy na przykład 10. Ale już inne twierdzenie jest prawdziwe razem z odwrotnym: Jeśli suma cyfr danej liczby jest podzielna przez 9, to i sama ta liczba jest podzielna przez 9. Odwrotne brzmi: Jeśli liczba jest podzielna przez 9, to i suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Żeby oba twierdzenia, to proste i to odwrotne zawrzeć w jednym, używamy następujęcego sposobu. Liczba jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Spróbujmy teraz zawrzeć proste i odwrotne twierdzenie Pitagorasa w jednym zdaniu.

Ważne

Niech dany będzie trójkąt o bokach a, b i c, z których c jest najdłuższy. Trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2


Przykład Czy trójkąt o bokach 7, 7, 6 jest prostokątny? Nie. I do tego stwierdzenia twierdzenie Pitagorasa wcale nie jest potrzebne. Ten trójkąt nie ma najdłuższego boku.

Przykład Czy trójkąt o bokach 2, 3, 5 jest prostokątny? Nie ma takiego trójkąta. (2+3 \not> 5 ).

Przykład Czy trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest prostokątny? Tak, na mocy odwrotnego twierdzenia Pitagorasa, bo 52 + 122 = 132

Przykład Czy trójkąt o bokach 10, 24 i 26 jest prostokątny? Tak, bo jest to trójkąt podobny do poprzedniego. Ma ten sam kształt. Jego boki są proporcjonalne do poprzedniego. (Współczynnikiem proporcjonalności jest 2.)

Przykład Czy trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest prostokątny? Tak. Jest to słynny trókąt egipski. Ale właśnie odwrotne twierdzenie Pitagorasa najprościej pokazuje, że jest on prostokątny: 32 + 42 = 52!

Przykład Czy trójkąt o bokach 3, 5, 6 jest prostokątny? 3^2+5^2=9+25=34 \not= 6^2 Na mocy prostego twierdzenia Pitagorasa ten trójkąt nie może być prostokątny.

Przykład Czy trójkąt o bokach \sqrt2-1, \sqrt2-1 i \sqrt6 jest prostokątny? \left( \sqrt2-1 \right)^2 = \left( \sqrt2-1 \right)\cdot \left( \sqrt2-1 \right) = \sqrt2 \cdot \sqrt2 -\sqrt2 \cdot 1-1  \cdot \sqrt2+(-1)\cdot(-1)= 2-2\sqrt2+1=3-2\sqrt2 \left( \sqrt2+1 \right)^2 = \left( \sqrt2+1 \right)\cdot \left( \sqrt2+1 \right) = \sqrt2 \cdot \sqrt2 +\sqrt2 \cdot 1+1  \cdot \sqrt2+1\cdot 1= 2+2\sqrt2+1=3+2\sqrt2

\left( \sqrt6 \right)^2=6

A więc równość

\left( \sqrt2-1 \right)^2+\left( \sqrt2+1 \right)^2=\left( \sqrt6 \right)^2

Jest tak samo prawdziwa jak

3-2\sqrt2 \ + \ 3+2\sqrt2 \ = 6 która jest prawdziwa. Tak więc na mocy odwrotnego twierdzenia Pitagorasa jest to trójkąt prostokątny.

Trójki pitagorejskie

Definicja 1. Trójkąty pitagorejskie to trójkąty prostokątne, których wszystkie boki mają długość wyrażającą się liczbą całkowitą.

Na przykład słynny trójkąt egipski o bokach 3, 4 i 5. Jeśli jednak ktoś zmieni jednostkę, na przykład z centymetrów na decymetry, to ten sam trójkąt egipski może nagle mieć zupełnie niecałkowite wymiary 0,3, 0,4, 0,5. Przecież jest to ten sam trójkąt. Definicja nie może tego samego trójkąta zaliczać do trójkątów pitagorejskich i do niepitagorejskich. Ta definicja, choć często spotykana w książkach, ma sobie coś bardzo złego. Z pomocą przychodzą tu proporcje.

Definicja 2. Trójkąt o bokach a, b i c jest pitagorejski, jeśli jest prostokątny i proporcja a:b:c daje się wyrazić liczbami całkowitymi.

Dlatego, żeby nie utrudniać sobie sprawy jednostkami, czasami łatwiej jest mówić o trójkach pitagorejskich.

Definicja 3. Trójka pitagorejskia to takie trzy naturalne liczby a, b i c, że a2 + b2 = c2. Dodatkowo stawiamy jeszcze jeden warunek - liczby a, b i c nie mają wspólnych dzielników innych niż 1.

Tak więc na przykład liczby 3, 4 i 5 są trójką pitagorejską, a liczby 6, 8 i 10 - nie. Mają wspólny dzielnik 2. Poznaliście już inną trójkę pitagorejską: 5, 12, 13. Rzeczywiście, te trzy liczby nie mają innego wspólnego dzielnika niż jeden i 52 + 122 = 132. Spójrzcie na poniższą siatkę "do łapania" trójek pitagorejskich. Punkty, przez które przechodzi jednocześnie linia pionowa, pozioma i okrąg wyznaczają trójkąty prostokątne o całkowitych bokach. Sprawdź na pierwszym rysunku punkt o współrzędnych 12 i 5. Przez punkt ten przechodzi okrąg o promieniu 13. 5, 12 i 13 rzeczywiście jest trójką pitagorejską.

Triples 02.svg

Czy potrafisz znaleźć więcej takich punktów? A teraz poszukaj więcej trójek pitagorejskich na większej siatce.

Triples 01.svg

Pamiętaj, że dokładność siatki nie jest idealna. Nawet jeśli wygląda na to, że znaleźliśmy trójkę pitagorejską na rysunku, to trzeba to sprawdzić rachunkowo. Na przykład na rysunku widać, że 15,26, 30 jest trójką pitagorejską, podczas gdy 152 + 262 = 225 + 676 = 901, a 302 = 900. Różnica jest tylko o 1 , ale trójka pitagorejska to nie jest. Przez punkt o współrzędnych 6, 8 przechodzi okrąg o promieniu 10. Trójkąt o bokach 6, 8 i 10 jest pitagorejski, ale trójka 6, 8 i 10 - nie, bo ma wspólny czynnik 2. Czy może widzisz jakieś regularności? Czy istnieje nieskończenie wiele trójek pitagorejskich? Najbardziej pracowici mogą jeszcze przyjrzeć się następnemu rysunkowi. To jest dużo większe sito a przez to trochę mniej dokładne. Trzeba jeszcze staranniej sprawdzać "podejrzane" trójki rachunkiem

Triples00.svg