Matematyka: System brytyjski
Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki
Brytyjski system oceny matematycznego poziomu uczniów. Źródło: http://www.ncaction.org.uk/subjects/maths/levels.htm . Jest to fragment The National Curriculum for England, czyli angielskiego programu narodowego nauczania matematyki.
Spis treści |
Komentarz tłumacza
Jest to oficjalny dokument angielski stanowiący podstawę opisu poziomu matematycznego, na jakim dany uczeń się znajduje. Obejmuje okres od przedszkola do 14 roku życia, kiedy uczniowie są w 9 roku nauki (nasza druga klasa gimnazjum). Nie jest to opis stopni, lecz pewien opis tego, gdzie z punktu widzenia rozwoju matematycznego uczeń się znajduje. Angielscy nauczyciele wykonali przez ostatnie ok. 15 lat olbrzymią pracę, aby umieć samodzielnie umiejscawiać wyniki swoich uczniów na odpowiednim poziomie. Ostatecznie poziomy te są sprawdzane na końcu każdego angielskiego etapu edukacji państwowym egzaminem. Każdy uczeń i jego nauczyciel oraz rodzice dowiaduję się, na jakim poziomie jest uczeń i jakich postępów dokonał na kolejnym szczeblu edukacji. Nie po to umieszczam to tłumaczenie tutaj, abyśmy wyręczali nasze ministerstwo w tworzeniu tego typu dokumentów, ale żeby spróbować pomyśleć w kategoriach rozwoju ucznia, gdy planujemy nasze podręczniki.
To nie jest dokument do bezpośredniego zastosowania u nas. My tradycyjnie trochę inaczej dzielimy matematykę na działy. Być może typowy rozwój naszych uczniów wygląda trochę inaczej, na pewno kładziemy nacisk na trochę inne wartości niż to się dzieje w Anglii. Chciałbym jednak, abyśmy przyjrzeli się temu, co dobre w tym rodzaju myślenia o rozwoju i uczeniu młodzieży.
I jeszcze jedna uwaga. Koniec naszego gimnazjum wypada wtedy, gdy angielscy uczniowie są w połowie drogi do małej matury. Tak więc górne osiągnięcia angielskich uczniów, którzy są w wieku naszych absolwentów gimnazjalnych, mogą być wyższe niż w tym dokumencie. (Ale nie muszą).
I jeszcze jedna uwaga. Zalecenia programowe mówią, że zajęcia należy prowadzić na poziomach niższych, a co najwyżej o jeden wyżej niż są uczniowie w danej klasie.
I jeszcze jedna, być może zaskakująca uwaga. Uczniowie na ostatnim trzyletnim etapie edukacji, do której te poziomy się odnoszą, a więc od 11 do 14 roku życia uczą się w klasach o różnych poziomach nauczania matematyki.TG 23:58, 5 sie 2007 (CEST)
Poziomy osiągnięć 1: korzystanie i zastosowania matematyki
Nauczyciele powinni oczekiwać, że uczniowie wykażą się danym poziomem osiągnięć z tego wykazu na podstawie działań matematycznych z tego działu wraz z matematyką z innych działów na tym samym poziomie albo blisko tego poziomu.
Poziom 1
Uczniowie powinni używać matematyki jako integralnej części zajęć w klasie. Przedstawiają swoją pracę z obiektami lub obrazkami i dyskutują o tym. Rozpoznają i wykorzystują proste regularności.
Poziom 2
Uczniowie dobierają matematykę, do zajęć w klasie. Dyskutują o swojej pracy z użyciem matematycznego języka i zaczynają reprezentować go za pomocą symboli i prostych diagramów. Wyjaśniają, dlaczego odpowiedź jest poprawna.
Poziom 3
Uczniowie próbują różnych sposobów pokonania trudności przy rozwiązywaniu problemów. Zaczynają organizować swoją pracę i sprawdzać wyniki. Uczniowie dyskutują o swojej pracy matematycznej i zaczynają wyjaśniać swoje myśli. Używają i tłumaczą symbole matematyczne i diagramy. Uczniowie wykazują się zrozumieniem ogólnego stwierdzenia przez podawanie przykładów, które pasują do niego.
Poziom 4
Uczniowie rozwijają swoje własne strategie rozwiązywania problemów i używają tych strategii zarówno w samej matematyce jak i w jej zastosowaniach w praktycznym kontekście.
Prezentują informacje i wyniki w przejrzysty i uporządkowany sposób.
Poziom 5
Uczniowie, aby wypełnić zadanie i rozwiązać problem matematyczny, identyfikują i zdobywają niezbędne informacje. Sprawdzają, czy otrzymywane rezultaty są sensowne. Uczniowie wykazują się zrozumieniem sytuacji przez użycie symboli, nazw i diagramów. Wyciągają proste własne wnioski i wyjaśniają swoje rozumowania.
Poziom 6
Uczniowie radzą sobie z istotnymi zadaniami i samodzielnie rozwiązują problemy złożone przez rozbicie ich na mniejsze, łatwiejsze do pokonania zadania. Interpretują, omawiają, i syntetyzują informacje prezentowane w najróżniejszy sposób. Pisemnie informują diagramami i wyjaśniają ich użycie. Zaczynają wyjaśniać matematycznie.
Poziom 7
Startując od przedstawionego im problemu bądź pewnej sytuacji praktycznej uczniowie stopniowo uściślają lub uogólniają zastosowaną matematykę, aby przedstawić pełniejsze rozwiązanie. Uzasadniają wybór rodzaju prezentacji, wyjaśniają wybór własności, które wykorzystali. Uzasadniają swoje uogólnienia, argumenty lub rozwiązania wykazując się pewnym rozeznaniem matematycznej struktury problemu. Uznają różnicę pomiędzy wyjaśnieniem matematycznym a potwierdzeniem eksperymentalnym.
Poziom 8
Uczniowie rozwijają alternatywne podejścia i postępują według nich. Dokują refleksji na temat linii poszukiwań przy rozwiązywaniu problemu matematycznego; podczas tego procesu wprowadzają i stosują różne techniki matematyczne. Uczniowie wyrażają matematyczny lub statystyczny sens przez precyzyjne i spójne użycie symboli, co jest utrzymywane przez całą pracę. Sprawdzają uogólnienia lub rozwiązania osiągnięte podczas pracy, konstruktywnie komentując swoje rozumowania, logikę i zastosowane procesy, otrzymane rezultaty w wyniku czego dokonują dalszych postępów.
Wyjątkowe osiągnięcia
Uczniowie uzasadniają swoje wybory podczas badań czysto matematycznych lub gdy stosują matematykę analizując zadanie; te uzasadnienia wyjaśniają, dlaczego zasadne są poszczególne linie poszukiwań lub poszczególne procedury a inne są odrzucane. Uczniowie stosują znaną sobie matematykę zarówno w znajomych jak i nowych kontekstach. Efektywnie używają języka i symboli matematycznych przy prezentacji przekonujących rozumnych argumentów. Ich sprawozdania zawierają matematyczne uzasadnienia, wyjaśniając rozwiązania problemów wielowątkowych lub zawierających wiele zmiennych.
Poziomy osiągnięć 2: liczby i algebra
Poziom 1
Uczniowie liczą, porządkują, dodają i odejmują liczby podczas rozwiązywania problemów dotyczących do 10 obiektów. Odczytują i zapisują te liczby.
Poziom 2
Uczniowie pewnie liczą zbiory obiektów i na pamięć znają dodawanie i odejmowanie w ramach pierwszej dziesiątki. Zaczynają rozumieć znaczenie pozycji każdej cyfry w liczbie i wykorzystują to, aby uporządkować liczby do 100. Używają właściwego działania przy rozwiązywaniu problemów prowadzących do odejmowania lub dodawania w pierwszej setce. Korzystają z wiedzy, że odejmowanie jest odwrotnym działaniem do dodawania. Używają różnych strategii liczenia w pamięci przy problemach w kontekście pieniędzy i pomiarów. Rozpoznają ciągi liczb, w tym liczby parzyste i nieparzyste.
Poziom 3
Uczniowie wykazują się zrozumieniem znaczenia pozycji cyfry w liczbach do 1000 i używają tego do przybliżeń. Zaczynają używać notacji dziesiętnej i zaczynają rozpoznawać liczby ujemne w kontekstach takich, jak pieniądze i temperatura. Uczniowie używają rachunku w pamięci do 20 przy rozwiązywaniu problemów dotyczących dużych liczb. Dodają i odejmują w pamięci liczby dwucyfrowe, a trzycyfrowe metodami pisemnymi. Znają na pamięć tabliczkę mnożenia przez 2, 3, 4 5 i 10 i wnioskują stąd o odpowiadających im faktach z dzieleniem. Rozwiązują „całkowitoliczbowe” problemy zawierające mnożenie i dzielenie, a w tym także takie, które prowadzą do pojęcia reszty. Używają prostych ułamków, które są paroma częściami całości i rozpoznają, kiedy dwa ułamki są równoważne.
Poziom 4
Uczniowie wykorzystują rozumienie wartości pozycyjnej, aby podzielić i pomnożyć liczbę całkowitą przez 10 lub 100. Przy rozwiązywaniu problemów uczniowie używają wielu metod liczenia w pamięci dla czterech działań, włączając w to pamięciowe opanowanie tabliczki mnożenia 10x10 i szybkie wyprowadzanie odpowiednich faktów o dzieleniu. Używają skutecznie pisemne dodawanie i odejmowanie oraz krótkie pisemne mnożenie i dzielenie (krótkie - sprowadzające się do mnożenia i dzielenia przez jedną cyfrę – przypisek tłumacza).
Dodają i odejmują liczby dziesiętne z dwoma miejscami po przecinku, a porządkują liczby z trzema miejscami dziesiętnymi. Przy rozwiązywaniu problemów, zarówno z kalkulatorem jak i bez, uczniowie sprawdzają sensownośc wyniku odnośnie przesłanek, które daje kontekst problemu lub szacując wielkość wyniku. Rozpoznają przybliżone proporcje całości i używają do ich opisu prostych ułamków lub procentów. Uczniowie rozpoznają proste regularności i relacje, w tym wielokrotności, czynniki i kwadraty. Zaczynają proste formuły opisywać słownie. Znają i interpretują współrzędne pierwszej ćwiartki.
Poziom 5
Uczniowie rozumiejąc system pozycyjny, wykorzystują to do dzielenia liczb dziesiętnych przez 10, 100 i 1000. Porządkują, dodają i odejmują liczby ujemne pojawiające się w pewnym kontekście. Używają wszystkich czterech działań na liczbach dziesiętnych, mających do dwóch miejsc dziesiętnych. Skracają ułamki do najprostszej postaci przez wspólne dzielniki i rozwiązują proste problemy, w których występują proporcje i proporcjonalność prosta. Obliczają ułamkową część wielkości i pomiarów, ewentualnie używając kalkulatora, gdzie jest to właściwe. Uczniowie rozumieją i używają odpowiednich niekalkulatorowych metod w celu rozwiązania problemów wymagających mnożenia bądź dzielenia trzycyfrowych liczb przez dwucyfrowe. Sprawdzają swoje rozwiązania używając operacji odwrotnych lub szacując wynik na wielkościach przybliżonych. Konstruują, wyrażają w postaci symbolicznej i używają prostych formuł, w których występuję jedna lub dwie operacje. Właściwie używają nawiasów. Używają i interpretują współrzędne wszystkich ćwiartek.
Poziom 6
Uczniowie porządkują i przybliżają rozwiązania problemów numerycznych i równań (np. x^3+x=20) używając metody prób i poprawek. Uczniowie są świadomi tego, którą liczbę należy użyć jako 100 procent lub jako całość w problemach, w których się porównuje, i stosują to, aby obliczyć, jakim ułamkiem lub jakim odsetkiem jednej liczby jest druga liczba. Rozumieją i używają równoważność ułamków, liczb dziesiętnych i obliczają używając proporcji w odpowiednich sytuacjach. Dodają i odejmują ułamki zapisując je z wspólnym mianownikiem. Uczniowie przy badaniu ciągów liczbowych opisują słowami zasadę następnego wyrazu lub n-tego wyrazu ciągu, kiedy zasada jest liniowa. Tworzą i rozwiązują równania liniowe o całkowitych współczynnikach. Potrafią znaleźć reprezentacje dla przekształceń wyrażonych algebraicznie i używają współrzędnych kartezjańskich dla reprezentacji graficznej i dla interpretacji pewnych własności ogólnych.
Poziom 7
Uczniowie szacując zaokrąglają do jednej cyfry znaczącej i mnożą oraz dzielą w pamięci. Rozumieją skutki mnożenia i dzielenia przez liczby spomiędzy 0 a 1. Używając biegle i rozumnie kalkulatora, rozwiązują problemy numeryczne prowadzące do mnożenia i dzielenia dowolnie dużych liczb. Rozumieją i wykorzystują zmienność proporcjonalną używając tylko metod multiplikacyjnych. Uczniowie znajdują i opisują symbolicznie następny wyraz lub n-ty wyraz ciągu, kiedy zasada jest kwadratowa (drugiego stopnia). Mnożą dwa wyrażenia typu (x + n); upraszczają odpowiednie wyrażenie kwadratowe. Uczniowie używają graficznych i algebraicznych metod w celu rozwiązania układu dwóch równań liniowych. Rozwiązują proste nierówności.
Poziom 8
Uczniowie rozwiązują problemy prowadzące do potęgowania, pierwiastkowania i używania liczb w notacji naukowej (standard form), sprawdzając rząd wielkości. Wybierają ułamki lub procenty w problemach, w których parokrotnie następuje zmiana proporcjonalna i obliczają wartość początkową znając rezultat zmiany proporcjonalnej. Wyliczają formuły matematyczne wstawiając ułamki, liczby dziesiętne i liczby ujemne. Wyliczają jedną zmienną znając pozostałe w formułach typu V = pi x r^2 x h. Uczniowie manipulują wzorami algebraicznymi, równaniami i wyrażeniami, znajdując wspólny czynnik, i mnożąc dwa równania liniowe. Wiedzą, że a^2 – b^2 = (a + b)(a – b). Rozwiązują nierówności z dwiema zmiennymi. Uczniowie szkicują i interpretują wykresy funkcji liniowych, kwadratowych, sześciennych i odwrotności oraz wykresy, które modelują sytuacje rzeczywiste.
Osiągnięcia wyjątkowe
Uczniowie rozumieją wymierność i niewymierność liczb. Wyznaczają ograniczenia przedziałów. Rozumieją i stosują proporcjonalność prostą i odwrotną. Przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych wykorzystują prawa potęgowania, także dla ujemnych i ułamkowych wykładników. Przy znajdywaniu wzorów, które przybliżają dane eksperymentalne uczniowie stosują ogólne prawa w formie symbolicznej. Rozwiązują układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe. Rozwiązują problemy wykorzystując przecięcia i gradienty wykresów.
Poziomy osiągnięć 3: kształt przestrzeń i miara
Poziom 1
Pracując z kształtami 2D i 3D uczniowie opisują językiem potocznym własności i położenia. Mierzą i porządkują obiekty używając bezpośrednich porównań, porządkują wydarzenia [w czasie].
Poziom 2
Uczniowie używają matematycznych nazw dla podstawowych kształtów 2D i 3D oraz opisują ich własności, a w tym liczbę boków i wierzchołków. [dopuszcza się nazwy bardziej potoczne jak róg dla wierzchołka – jest to nieprzetłumaczalne wprost na polski – przyp. Tłum.] Odróżniają przesunięcia od ruchów z obrotami, rozumieją kąt jako miarę obrotu i rozpoznają obrót o kąt prosty. Zaczynają używać codziennych standardowych i niestandardowych jednostek do pomiarów długości i masy.
Poziom 3
Uczniowie klasyfikują pod względem różnych własności matematycznych kształty 2D i 3D, a w szczególności kształty 2D pod względem symetrii osiowych. Używają niestandardowych jednostek i standardowych jednostek metrycznych długości, objętości i masy oraz standardowych jednostek czasu w różnych kontekstach.
Poziom 4
Uczniowie robią trójwymiarowe modele matematyczne przez łączenie danych ścian lub krawędzi, rysują podstawowe kształty 2D o różnych orientacjach na siatce (różnie zorientowanych względem siatki). Odbijają proste kształty względem linii odbicia lustrzanego. Wybierają i używają odpowiednich instrumentów, interpretują z odpowiednią dokładnością liczby na tych instrumentach. Znajdują obwody prostych figur i obliczają pola zliczając kwadraty.
Poziom 5
Podczas konstrukcji modeli, rysowania lub wykorzystywania figur uczniowie mierzą i rysują kąty z dokładnością do 1 stopnia, używając odpowiedniego języka związanego z kątami. Uczniowie znają sumę kątów trójkąta i własności kątów o wspólnym wierzchołku. Znają wszystkie rodzaje symetrii kształtów 2D [symetrie osiowe, punktowe, obrotowe]. Znają przybliżone metryczne wartości jednostek imperialnych, które są jeszcze w codziennym użyciu, i potrafią zamienić metryczne na inne. Potrafią sensownie szacować wyniki pomiarów w sytuacjach wziętych z życia. Uczniowie rozumieją i stosują formułę na pole prostokąta.
Poziom 6
Uczniowie rozpoznają i wykorzystują 2D reprezentacje kształtów 3D. Znają i wykorzystują cechy czworokątów do ich klasyfikacji. Rozwiązują problemy, wykorzystując własności kątów i symetrii wielokątów, własności kątów przecinających się i równoległych linii prostych i wyjaśniają te własności. Tworzą instrukcję dla komputera, jak ma przekształcać kształty i linie. Podczas rozwiązywania problemów ze zrozumieniem wykorzystują odpowiednie formuły na obwód i pole koła, pola wielokątów i na objętości prostopadłościanów. Powiększają kształty całkowitą dodatnią liczbę razy.
Poziom 7
Uczniowie stosują ze zrozumienie twierdzenie Pitagorasa w sytuacjach dwuwymiarowych. Obliczają długości, pola i objętości kształtów 2D i graniastosłupów prostych. Uczniowie powiększają kształty w skali ułamkowej świadomi podobieństwa otrzymywanych kształtów. Określają miejsca punktów obiektu poruszającego się według pewnej zasady. Uczniowie uznają niedokładność pomiarów i zdają sobie sprawę, że podanie wyniku z dokładnością do całości może być niedokładne o pół jednostki w obie strony. Znają i stosują pomiary złożone, jak na przykład prędkość.
Poziom 8
Uczniowie rozumieją i wykorzystują przystawanie i podobieństwo. Używają sinusów, cosinusów i tangensów w trójkątach prostokątnych przy rozwiązywaniu problemów dwuwymiarowych. Rozróżniają wzory na obwód, pole i objętość między innymi przez rozpatrzenie jednostek.
Osiągnięcia wyjątkowe
Uczniowie szkicują wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens dla dowolnego kąta i tworzą oraz interpretują wykresy generowane przy ich pomocy. Uczniowie wykorzystują sinusy, cosinusy i tangensy dowolnych kątów oraz twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania dwu- i trójwymiarowych problemów. Używają cech podobieństwa trójkątów do formalnych dowodów geometrycznych [na przykład tego, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe]. Obliczają długości łuków okręgu i pola wycinków kołowych, pola walców, objętości stożków i kul. Zdają sobie sprawę z ciągłej natury skal, których używamy do pomiarów.
Poziomy osiągnięć 4: obróbka danych
Poziom 1
Uczniowie sortują obiekty i je klasyfikują przedstawiając kryteria klasyfikacji.
Poziom 2
Uczniowie sortują obiekty i klasyfikują je używając więcej niż jedno kryterium. Po zebraniu informacji uczniowie zapisują rezultaty swych odkryć jako proste listy, tabele, wykresy blokowe, aby zakomunikować swoje odkrycia.
Poziom 3
Uczniowie wyławiają i interpretują informacje zawarte w prostych listach i tabelach. Konstruują wykresy słupkowe i piktogramy, w których symbole oznaczają grupy jednostek, aby zakomunikować zebrane informacje, a również interpretują informacje przedstawione im w ten sposób.
Poziom 4
Uczniowie zbierają dane dyskretne i zapisują je używając tabel częstości. Rozumieją pojęcie mody i zakresu w opisie danych. Grupują odpowiednio dane, w klasy równych przedziałów, reprezentują te dane na wykresach częstości i interpretują dane na takich wykresach. Tworzą i interpretują proste wykresy liniowe.
Poziom 5
Uczniowie znają pojęcie średniej dyskretnego zbioru danych i stosuję je. Porównują dwa proste rozkłady używając pojęć: zakres, i jedno z: moda, mediana i średnia. Interpretują wykresy i diagramy, w tym wykresy kołowe [tortowe], i wyciągają wnioski. Stosują ze zrozumieniem skalę pomiędzy 0 a 1 dla prawdopodobieństwa. Uczniowie znajdują i uzasadniają prawdopodobieństwa i przybliżone prawdopodobieństwa przez wybór metody opartej na równo prawdopodobnych wynikach bądź na potwierdzeniu eksperymentalnym, kiedy jest to właściwe. Rozumieją, że powtarzając eksperyment można otrzymać inny wynik.
Poziom 6
Uczniowie zbierają i zapisują dane ciągłe, wybierając odpowiednie równe przedziały klas w sensownym zakresie, aby zapisać te dane w tabelce częstości. Rysują i interpretują diagramy częstości. Konstruują wykresy kołowe. Wyciągają wnioski z wykresów rozproszonych i mają podstawowe zrozumienie korelacji. Kiedy mają do czynienia z kombinacją dwóch eksperymentów, uczniowie identyfikują wszystkie wyniki używając diagramowej, tabularycznej lub innej formy komunikacji. Przy rozwiązywaniu problemów wykorzystują swoją wiedzę, że suma wzajemnie przeciwnych zdarzeń jest równa 1.
Poziom 7
Uczniowie precyzują hipotezy i sprawdzają je używając odpowiednich metod, które uwzględniają zmienność błędów. Określają klasę modalną i estymują wartość średnią, medianę i zakres danych zgrupowanych, wybierając statystyki najodpowiedniejsze dla ich linii poszukiwań. Używają pomiarów średniej i zakresów na podstawie odpowiednich wielokątów częstości, aby porównać rozkłady i wyciągać wnioski. Rysują intuicyjnie linię najlepszego dopasowania na wykresie rozproszonym. Uczniowie rozumieją częstość względną jako estymację prawdopodobieństwa i wykorzystują to do porównywania wyników eksperymentów.
Poziom 8
Uczniowie interpretują i konstruują tabele i wykresy skumulowanych częstości, używając górnej granicy przedziałów klas. Szacują medianę i zakres międzykwartylowy i wykorzystują to dla porównań rozkładów i wnioskowania. Rozumieją, jak policzyć prawdopodobieństwo złożonych zdarzeń i wykorzystują to przy rozwiązywaniu problemów.
Wyjątkowe osiągnięcia
Uczniowie interpretują i konstruują histogramy. Rozumieją, jak różne sposoby dobierania próby i różne rozmiary próbki wpływają na wiarygodność wniosków. Wybierają i uzasadniają metodę wybierania próbki, aby zbadać problem. Rozpoznają, kiedy i jak pracować z parami niezależnych bądź wykluczających się zdarzeń.
