Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Symetria osiowa animacje

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Spis treści

Symetria osiowa

Piesek m.jpg

Drugi piesek jest odbity w lustrze. Takie przekształcenie nazywamy symetrią osiową, a potocznie odbiciem lustrzanym.

Osie.JPG

Oś symetrii ma wiele przedmiotów w naszym otoczeniu. Architekci projektują budowle, które mają oś symetrii. Podziwiamy symetryczne choinki. Podobają nam się symetryczne samochody. Obejrzyj nasze zdjęcia i postaraj się odnaleźć na nich oś symetrii.

Wieża Eiffla w Paryżu
Zamek Królewski w Warszawie
Katedra Notre Dame w Paryżu
Skrzypce
Tort w cukierni Bliklego w Warszawie
Wieża Eiffla w Paryżu Zamek Królewski w Warszawie Katedra Notre Dame w Paryżu Skrzypce Tort w cukierni Bliklego w Warszawie
Stare Miasto w Warszawie
Drzwi,Plac Inwalidów w Paryżu
Żywopłot, muzeum Rodina w Paryżu
Bazylika Sacré-Coeur w Paryżu
Pałac Kultury i Nauki w Warszawie
Stare Miasto w Warszawie Brama Pałacu Matignon (siedziby premiera

Francji)

Symetryczny żywopłot, Paryż Bazylika Sacré-Coeur w Paryżu Symetryczny pałacyk w Warszawie

Wracaj

1.
Wypisz litery, które mają oś symetrii.
A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U W Z X Y


Nauczymy się rysować punkt symetryczny do danego punktu względem prostej, która będzie osią symetrii.

Symetria.gif

Mamy punkt A i prostą l, która jest osią symetrii. Punkt A', który będzie obrazem A leży po drugiej stronie prostej l w tej samej odległości co A. Prosta AA' musi być prostopadła do osi symetrii. Punkt A' jest obrazem punktu A w symetrii osiowej. Jeśli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem.

F1 tab.gif
F2 tab.gif
Punkt A' będzie leżał po drugiej stronie

prostej l w tej samej odległości co punkt A.

Prosta AA' musi być prostopadła do osi symetrii.
F3 tab.gif
F4 tab.gif
Punkt A' jest obrazem punktu A

w symetrii osiowej.

Jeśli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem.

Definicja

Punkt P’ jest obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej l, gdy punkty P i P’ leżą na prostej prostopadłej do prostej l , są w równych odległościach od prostej l i są po przeciwnych stronach prostej l. Jeżeli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem.

Def1.gif
2.
Który punkt jest obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej k ?
Sym1z2a.gif
Sym1z2b.gif
Sym1z2c.gif
Sym1z2d.gif
a) b) c) d)

Wracaj

Doświadczenie ze szpilkami

Będziemy szukać obrazów punktów w symetrii osiowej za pomocą szpilek.

Punkt

Sym szpilki.gif
Punkt m.jpg
Punkt2a m.jpg
Złożyliśmy kartkę wzdłuż osi symetrii k i szukamy obrazu punktu A za pomocą szpilki. Szpilkę wkłuliśmy w kartkę w punkcie A. Po drugiej stronie prostej k, w tej samej odległości co punkt A otrzymaliśmy obraz punktu A. Oznaczyliśmy go A’.

Odcinek

Sym szpilki2.gif
Odc3 m.jpg
Odc2 m.jpg
Złożyliśmy kartkę wzdłuż osi symetrii k. Szukamy obrazu punktów odcinka AB za pomocą szpilek. Szpilki wkłuliśmy w punkty z odcinka. Odcinek składa się z nieskończenie wielu punktów. Otrzymaliśmy obrazy punktów. Również leżały na odcinku..

Okrąg

W ten sam sposób zobaczymy jaki będzie obraz punktów, które należą do okręgu.

Sym szpilki3.gif
Kola2 m.jpg
Kolo2.jpg
Złożyliśmy kartkę wzdłuż osi symetrii k. Szukamy obrazu punktów okręgu za pomocą szpilek. Złozyliśmy kartę wzdłuż osi symetrii.

Narysowaliśmy okrąg i wożyliśmy kilka szpilek.

Rozłożyliśmy kartę i po drugiej stronie prostej k powstał

drugi okrąg o takim samym promieniu.

Figura

Figury geometryczne często składają się z nieskończenie wielu punktów. Jak znaleźć obrazy symetryczne tylu punktów ? Czasami figura zbudowana jest tak, że wystarczy tylko kilka punktów przekształcić. Resztę możemy dorysować. Odcinek po odbiciu pozostanie odcinkiem. Wystarczy znaleźć odbicie jego końców.

Sym szpilki4.gif
F2 m.jpg
F1 m.jpg
Złożyliśmy kartkę wzdłuż osi symetrii k. Szukamy obrazu punktów literki F za pomocą szpilek. Złozyliśmy kartę wzdłuż osi symetrii.

Widzimy ślad literki F. Włożyliśmy kilka szpilek.

Rozłożyliśmy kartę i po drugiej stronie prostej k powstała

literka F odbita w osi k.

Podsumowanie

Gdy odbijamy symetrycznie względem prostej punkt - otrzymamy punkt odcinek - otrzymamy odcinek okrąg - otrzymamy okrąg o tym samym promieniu. Matematyk powinien to udowodnić. W przyszłości może poznasz dowód. Tymczasem proponujemy, żebyś szukając odbicia symetrycznego figur korzystał z definicji tego przekształcenia oraz pomagał sobie wyobrażając sobie odbicie w lustrze lub szpilkami, które „wkłujesz” w wybrane punkty figury.

3.
Narysuj obraz figury złożonej z punktów A, B, C, D, E, F w symetrii osiowej.
Symetria-zadanie 3.bullfrog.svg
4.
Narysuj obraz figury w symetrii osiowej. Każda figura składa się z punktów. Jeśli nie będziesz umiał od razu narysować całej figury - wykonaj najpierw odbicie kilku punktów.
Symetria-zadanie 4.bullfrog.svg

Umiesz już rysować obraz punktu, odcinka, koła w symetrii osiowej. Obrazem punktu jest punkt, obrazem odcinka - odcinek o takiej samej długości, obrazem koła - koło o takim samym promieniu. Zwróć uwagę jaką własność ma figura i jej obraz po odbiciu symetrycznym.

Wlasnosci1.gif

Symetria osiowa nie zmieniła wymiarów figury, nie zmieniła jej kątów. Otrzymaliśmy dwie figury przystające jak dwie rękawiczki - lewa i prawa.

5.
Na którym rysunku pokazano odbicie symetryczne figury ?
Symzad5.gif

Wracaj

Symetria osiowa i układ współrzędnych

Przypomnijmy sobie jak odczytujemy współrzędne punktu w układzie współrzędnych. Podajemy dwie współrzędne: x, y. Współrzędna x określa jak daleko na prawo lub na lewo od zera jest prosta pionowa, na której dany punkt się znajduje. Współrzędna y określa “jak wysoko” leży dany punkt. Kwiatek ma współrzędne (-1,3). Świeczka ma współrzędne (2,1). Książka ma współrzędne (-2,-2).

Symwsp2.gif
1.
Zapisz współrzędne obrazków z rysunku z układem współrzędnych.
2.
Zapisz współrzędne punktów A, B, C, D, E oraz punktów A‘, B‘, C‘, D‘ E‘, które otrzymamy po odbiciu symetrycznym w osi Y.
Symwsp osy.gif
3.
Zapisz współrzędne punktów A, B, C, D, E oraz punktów A‘, B‘, C‘, D‘ E‘, które otrzymamy po odbiciu symetrycznym w osi X.
Symwsp osx.gif
4.
Punkt A = (2,3) . Jakie współrzędne bedzie miał punkt A’, który jest odbiciem symetrycznym punktu A w osi Y ?
5.
Punkt B = (-2,-3) . Jakie współrzędne będzie miał punkt A’, który jest odbiciem symetrycznym punktu A w osi X ?
6.
Trapez odbito symetrycznie w osi X. Który rysunek otrzymano?
Symwsp trapez.gif
7.
W układzie współrzędnych narysuj prostą, która przechodzi przez punkty A=(0,0) B=(2,2). Odbij tę prostą symetrycznie w osi Y. Wykonaj rysunek.

Wracaj

Figury osiowosymetryczne

Marek gra w grę “Odbicia”. Z pomocą dwóch kafelków oraz lusterka trzeba ułożyć figurę narysowaną na kartce.

Symodb1.jpg
Symodb2.jpg
Symodb3.jpg
Jak ułożyć te kafelki ? Udało się ! Marek pokazuje nam ołówkiem figurę, którą ułożył.

Wykonaj sobie takie dwa kafelki i zagraj.

Symkaf1.jpg
Symkaf2.jpg
Kafelki po stronie prawej. Kafelki po stronie lewej.

Oto wzory figur, które trzeba ułożyć korzystając z dwóch kafelków oraz lusterka.

Symwzory1.gif
Symwzory2.gif

Definicja

Figurę nazywamy osiowosymetryczną, jeśli istnieje taka prosta, że obrazem figury w symetrii względem tej prostej jest ta sama figura. Prosta ta nazywa się osią symetrii figury.

Sym def2.gif

Zadania

1.
Czy narysowana prosta jest osią symetrii danej figury ?
Marysia.jpg
2.
Czy narysowana prosta jest osią symetrii danej figury ? Która figura ma najwięcej osi symetrii ?
Osie z2.gif
3.
Na pewno widziałeś serwetki wycinane z papieru w piękne wzory. Taką serwetkę wykonała Asia.
Asia1.jpg

Złożyła kolorowy papier na pół i jeszcze raz na pół, i jeszcze raz na pół. Następnie wycięła wzorek nożyczkami. Ile osi symetrii ma serwetka Asi ? Który rysunek przedstawia fragment tej serwetki ?

Symserwetka.jpg
4.
Ile osi symetrii ma figura, którą zbudowałyśmy z klocków ?
Sym kloc.jpg
5.
Ile osi symetrii ma ta serwetka ? Który rysunek przedstawia najmniejszy fragment serwetki, który następnie odbito w osiach symetrii ?
Symbibulka.jpg

Wracaj


Na egzaminie gimnazjalnym z matematyki zwykle jest zadanie, w którym trzeba policzyć ile osi symetrii

ma dana figura. Zróbmy dwa zadania, w których tę umiejętność poćwiczymy.

6.
Ile osi symetrii ma dana figura ? Obok figury narysowaliśmy wszystkie osie symetrii danej figury. Wystarczy je policzyć.
Symosie1.gif
Symosie2.gif
Symosie3.gif
Symosie4.gif

Wracaj

Przykład

Mamy sprawdzić czy prosta wyznaczona przez przekątna prostokąta jest jego osią symetrii.

Symosie pros.gif

Nie mamy lusterka, nie będziemy składać kartki i używać szpilek. Gdybyśmy ustawili lusterko wzdłuż prostej k, to obrazem punktu - będzie na pewno punkt. Obrazem odcinka - odcinek. Ale jak te odcinki się ułożą ? Czy powstanie prostokąt ? Zaznaczymy końce odcinków, znajdziemy ich obrazy w symetrii względem prostej k. Czy pamiętasz jak można znaleźć szybko obraz odcinka w symetrii osiowej ?

Osie pros.gif
Symosie pros1.gif
Symosie pros2.gif
1.Chcemy odbić symetrycznie odcinek AB w osi k. 2.Znajdziemy obrazy końców AB odcinka.
Symosie pros3.gif
Symosie pros4.gif
3.Punkt A’ będzie na prostej prostopadłej do k. Odległość A od prostej k będzie taka jak odległość A’ od prostej k. 4.Punkt B’ leży na osi k B=B’. Obrazem odcinka AB będzie odcinek A’B’.

Narysowaliśmy odbicie symetryczne odcinka AB w prostej k. Powstał odcinek A’B’. Podobnie zrobimy z pozostałymi odcinkami.

Symosie pros5.gif
Symosie pros6.gif

Po odbiciu wszystkich odcinków i całego prostokąta powstał inny prostokąt. Wobec tego prosta k nie jest osią symetrii tego prostokąta.

Trójkąty

7.
Sym trojk1.gif
Symtr row.gif
1. Trójkąt. 2. Trójkąt równoramienny.

Czy dowolny trójkąt jest osiowosymetryczny? Narysuj przykład. Wracaj

Równoległoboki

8.
Sym rown.gif
Sym romb.gif
1. Równoległobok. 2. Romb.

Czy dowolny równoległobok jest osiowosymetryczny? Narysuj przykład. Wracaj

Trapezy

9.
Sym trapez.gif
Sym trapez2.gif
Sym trapez3.gif
1. Trapez.Składamy wzdłuż przekatnej. 2.Trapez równoramienny. 3.Trapez


Czy dowolny trapez jest osiowosymetryczny? Narysuj przykład. Wracaj

Deltoidy

10.
Sym delt.gif

Czy deltoid jest osiowosymetryczny ? Narysuj przykład. Wracaj

Symetria w Kangurze

11. (Kangur 2007 Kadet zad 20) Jaką najmniejszą liczbę małych kwadracików należy zacieniować na rysunku obok, aby powstała figura miała oś symetrii? A) 4     B) 6     C) 5     D) 2     E) 3

Sym kangur20.gif

Pomoc


Projekt "Kalejdoskop"

Kalej rys1.gif

Czy bawiłeś się kiedyś kalejdoskopem? Zaprojektował go fizyk angielski Dawid Brewster w 1816 roku. Możecie sami wykonać kalejdoskop. Wystarczą 3 lusterka lub tapeta, która wygląda jak lustro. Na dno wrzucimy kilka kolorowych kamyków lub małe kafelki wycięte np. z kolorowych pudełek.

Sym kalej bud1.jpg
Sym kalej2.jpg
Sym kalej3.gif
1.Oto nasz kalejdoskop.Zrobiliśmy go z kartonu. 2.Na dnie jest kilka kawałków kolorowych płytek wyciętych z pudełek. Płytki te są przykryte przezroczystym trójkątem. 3.Wewnętrzne ścianki kalejdoskopu są oklejone tapetą, która wygląda jak lustro.

Po poruszeniu kalejdoskopu obrazki zmieniają się.

Zd kalej1.jpg
Zd kalej2.jpg
Zd kalej4.jpg
Zd kalej5.jpg
Zd kalej6.jpg
Zd kalej8.jpg

W lustrach odbijają się nie tylko kafelki ułożone na dnie kalejdoskopu, ale również obrazy powstałe w sąsiednich lustrach.

Zd kalejkaf.gif
Zd kalejko.gif

1.Wykonaj swój kalejdoskop. Zrób zdjęcia obrazków z Twojego kalejdoskopu. 2.Popatrz na rysunek umieszczony niżej i dopasuj brakujące obrazki do obrazu z kajedoskopu.

Kalej zd10.gif

Wracaj

Karta pracy

Imię ........................................ Nazwisko...............................Data................................. Klasa........................................ Karta pracy do tematu: Symetria osiowa 1. Narysuj obrazy punktów zaznaczonych na rysunku w symetrii osiowej.

Sym karta1 1.gif

2. Narysuj odbicie symetryczne trójkąta ABC w symetrii osiowej względem prostej k.

Sym karta1 2.gif

3. Ile osi symetrii ma figura na rysunku? Narysuj wszystkie osie symetrii.

Sym karta1 3.gif

4. Punkt A o współrzędnych (-2,-4) odbito symetrycznie w osi Y. Jakie współrzędne ma punkt A’, który jest obrazem A ? 5. Ile osi symetrii ma romb ? Wykonaj rysunek.

Sym karta1 krata.gif

6. Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny ? Wykonaj rysunek.

Sym karta1 krata.gif

7. Odbij symetrycznie w osi k figurę przedstawioną na rysunku.

Sym karta1 7.gif

8. Zamaluj jak najmniej kwadracików, żeby otrzymana figura była osiowosymetryczna.

Sym karta1 8.gif

Wracaj

Test

Czytaj uważnie tekst. Wykonaj na kartce pomocnicze rysunki. Sprawdź różne przypadki. Wybierz odpowiedź. Komputer sprawdzi i wystawi Ci ocenę.

Zadanie 1 ( 1 punkt)

Które z poniższych zdań są prawdziwe ?

A. Dwa kwadraty mogą mieć zero osi symetrii.
B. Dwa kwadraty mogą mieć jedną oś symetrii.
C. Dwa kwadraty mogą mieć dwie osie symetrii .
D. Dwa kwadraty mogą mieć trzy osie symetrii.
E. Dwa kwadraty mogą mieć cztery osie symetrii.

1.tylko A 2.tylko A i B 3. A, B, D 4. A, B, C i E 5. Inna odpowiedź

Zadanie 2 ( 2 punkty)

Które z poniższych zdań są prawdziwe

A. Odcinek ma dokładnie jedną oś symetrii.
B. Żaden trójkąt nie ma dwóch osi symetrii.
C. Każdy romb ma dwie osie symetrii.
D. W prostokącie, który nie jest kwadratem, przeciwległe wierzchołki są symetryczne względem jego jednej przekątnej,
E. Trapez równoramienny ma dwie osie symetrii.

1. A     2. B i C     3. wszystkie     4. A, B i C     5. Inna odpowiedź.

Zadanie 3 ( 2 punkty)

W układzie współrzędnych narysowano trójkąt ABC. A=(-4,1) B=(-1,1) C=(1,5). Trójkąt ABC odbito symetrycznie w osi Y i otrzymano trójkąt A’B’C’. Ile wynosi najmniejsza współrzędna x wierzchołków trójkąta A’B’C’ ?

A) 1     B) -4     C) -1     D) -5     E) 0 Wracaj

Symetralna odcinka

Zagadka

W którym miejscu powinni spotkać się harcerze, żeby drużyna Odważnych miała tak samo daleko jak drużyna Dowcipnych? Nie mogą się spotkać na środku jeziorka. Którą odpowiedź wybierasz ? a) Straszny Dwór b) Wysoka Góra c) Ciemny Las

Sym symetr plan.gif

Punkty, które są w jednakowej odległości od końców odcinka leżą na jednej z osi symetrii tego odcinka. Jest to oś prostopadła do odcinka i nazywa się symetralną odcinka.

Sym symetr punkty.gif

Gdy wybierzemy dowolny punkt na symetralnej odcinka, powstaną trójkąty, które są przystające. Mają dwa boki równej długości i kąty między nimi równej miary. Dlatego trzeci bok też musi być równej długości. Symetralna odcinka jest zbiorem punktów, które są w jednakowej odległości od końców odcinka. Można udowodnić, że symetralna jest zbiorem wszystkich punktów, które są w jednakowej odległości od końców odcinka. Dowód poznasz w starszych klasach. Jest to ważna własność, z której często korzystamy w różnych zadaniach z geometrii.

Definicja

Symetralna odcinka jest to prosta prostopadła do odcinka, która przechodzi przez jego środek. Symetralna odcinka jest jedną z jego osi symetrii.

Sym symetr r2.gif

Twierdzenie

Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od jego końców. Wracaj

Konstrukcja symetralnej odcinka

Nauczymy się rysować symetralną odcinka za pomocą cyrkla. Cyrklem można kreślić koła, łuki, odmierzać równe odcinki.

Sym cyrk.jpg

Rysując za pomocą cyrkla symetralną odcinka będziemy kreślić okręgi.

Sym symetr samoch.gif
Sym kolo.gif
Punkty z okręgu są równo oddalone od środka tego okręgu. Okrąg rysujemy cyrklem.

Za pomocą cyrkla nauczymy się konstruować symetralną odcinka.

Sym symetr1a.gif
Sym symetr1.gif
Ustawiliśmy nóżkę cyrkla w jednym końcu odcinka i narysowaliśmy okrąg. Następnie z drugiego końca odcinka narysowaliśmy znów okrąg o takim samym promieniu jak pierwszy. Punkty przecięcia okręgów wyznaczyły symetralną.

Konstrukcja

Konstruując symetralną odcinka za pomocą cyrkla nie rysujemy całych okręgów. Zaznaczamy tylko niewielkie łuki. Obejrzyj ilustrację.


Sym symetr kon1.gif
Sym symetr kon2.gif
Sym symetr kon3.gif
1.Rysujemy łuki o promieniu większym niż połowa odcinka. 2. Rysujemy łuki o takim samym promieniu z drugiego końca odcinka. 3. Rysujemy prostą, która zawiera punkty przecięcia łuków.

Jest to symetralna odcinka.

Zadania

1. Narysuj odcinek AB i za pomocą cyrkla narysuj jego symetralną. Zaznacz środek odcinka. 2. Popatrz uważnie na obrazki. Zwróć uwagę na punkt przecięcia symetralnych boków figury. Odpowiedz na pytania.

Sym sym tr1.gif
Sym symetr tr2.gif
Sym symetr tr3.gif
a) W ilu punktach przecięły się symetralne w trójkącie prostokątnym ? b)W ilu punktach przecięły się symetralne w trójkącie równoramiennym ? c)W ilu punktach przecięły się symetralne w trójkącie rozwartokątnym ?

Czy nasuwa Ci się jakiś ciekawy wniosek ? Może potrafisz go uzasadnić ? 3. Narysuj trójkąt, który nie jest ani równoramienny, ani prostokątny. W trójkącie narysuj z pomocą cyrkla symetralne jego wszystkich boków. W ilu punktach przecięły się symetralne ? Popatrz na rysunki kolegów. 4. Narysowaliśmy trapez i symetralne jego boków. Przecięły się w jednym punkcie ?

Sym symetr trap.gif

Czy można narysować taki trapez, w którym symetralne przetną się w jednym punkcie ? Jeśli tak - narysuj. 5.Popatrz na mapkę i odpowiedz na pytania:

Sym rzeczka.gif

a) Gdzie należy zbudować most na rzeczce, żeby odległość od A do B przez most była jak najmniejsza ? b) Gdzie należy zbudować most na rzeczce, żeby odległość od A do mostu była taka sama jak odległość od B do mostu ? Podaj współrzędne mostu. Odpowiedź uzasadnij.

Wracaj

Dwusieczna kąta

Definicja

Dwusieczna kąta jest to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta i dzieląca go na dwie równe części.

Def dwus.gif
Dwus def.gif

Konstrukcja dwusiecznej kąta

Jak narysować dwusieczną kąta ? Wyznacza ona oś symetrii kąta. Zrobimy to za pomocą cyrkla i linijki.

Dwus trojk.gif

Cyrklem zakreśliliśmy łuk. Powstał trójkąt równoramienny ABC. Oś symetrii kąta CAB będzie również jedną z osi symetrii trójkąta ABC oraz boku BC. Potrafimy już za pomocą cyrkla i linijki narysować symetralną odcinka BC. Opis konstrukcji dwusiecznej kąta.

Sym dwus1a.gif
Sym dwus2.gif
Sym dwus3.gif
1. Kreślimy łuk z wierzchołka kąta. 2. Kreślimy łuki o jednakowym promieniu i środkach w punktach zaznaczonych na ramionach kąta. 3.Rysujemy półprostą, która zawiera punkt przecięcia łuków oraz wierzchołek kąta.

Jest to dwusieczna kąta.

Wracaj

Eksperyment pt. ”Zegarek, południe i dwusieczna”

Nauczymy się wyznaczać kierunek południowy za pomocą zegarka. Harcerze pewnie znają tę metodę. Najpierw popatrz uważnie na naszą animację. Widzisz tu zegarek i Słońce. Słońce wzeszło około 6.00 i zaszło około 18.00. Zwróć uwagę, że w tym czasie godzinowa wskazówka zegara obróciła się o dwa razy większy kąt niż Słońce. Wskazówka godzinowa obraca się dwa razy szybciej.

Dwusiecz zegar.gif

Na obrazku następnym wskazówka godzinowa zegara ustawiona jest w kierunku Słońca. Jest godzina 13.00. Kierunek południowy nie wyznacza linia, która przechodzi przez godzinę 12.00, tylko dwusieczna między 12.00 a 13.00. Słońce obraca się dwa razy wolniej niż wskazówka godzinowa.

Dwusieczna południe.gif

Wypróbuj powyższą metodę. Wyznacz kierunek południowy w swojej klasie oraz w domu. Jeśli masz zegarek elektroniczny, na którym nie obracają się wskazówki - narysuj sobie zegar ze wskazówkami. Wskazówkę godzinową narysuj zgodnie z tym co pokazuje Twój zegarek. Ustaw zegarek tak, żeby wskazówka godzinowa pokazywała Słońce. Dwusieczna między godziną 12.00 a wskazówką godzinową pokaże gdzie jest południe. Wracaj