Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Przykłady pierwiastków

Matematyka: Przykłady pierwiastków

Komentarze Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: Janusz

[Red:
Przykłady pierwiastków
np. obliczając bok kwadratu z pola, krawędź sześcianu z objętości; przykłady liczb niewymiernych.
Budowanie przeświadczenia, że liczby nawet niekwadratowe mają pierwiastki, których wartość można określać z dowolną dokładnością po przecinku. Można się wspomóc kalkulatorem, ale nie naciskając znaku pierwiastek.
pierwiastek kwadratowy liczby a na niektórych kalkulatorach to $a^\frac{1}{2}$ . Dlaczego?
]

Spis treści

1 Pierwiastki z liczb kwadratowych
2 Pierwiastki kwadratowe z dowolnych liczb nieujemych
3 Pierwiastki sześcienne
- 3.1 Wykres funkcji pierwiastek sześcienny*
4 Podsumowanie

Pierwiastki z liczb kwadratowych

Po lewej stronie w żółtej ramce widzicie 20 kwadratów o coraz większych polach. Ten o polu 1 jest na wierzchu, a ten o polu 400 na samym spodzie. Na każdym kwadracie to jego pole jest zapisane w prawym dolnym rogu.
Po prawej stronie w ciemnożółtej ramce jest 20 tych samych kwadratów, ale pod każdym z nich jest napisana długość jego boku.
Strzałki przyporządkowują polom kwadratów długości ich boków.

Kwadrat o polu 1 ma bok o długości 1, bo $12 = 1$
Kwadrat o polu 4 ma bok o długości 2, bo $22 = 4$
Kwadrat o polu 9 ma bok o długości 3, bo $32 = 9$
Kwadrat o polu 16 ma bok o długości 4, bo $42 = 16$
Kwadrat o polu 25 ma bok o długości 5, bo $52 = 25$
Kwadrat o polu 36 ma bok o długości 6, bo $62 = 36$ ...itd.

Zauważcie, że na przykład do odgadnięcia długości boku kwadratu o polu 49 w ogóle nie jest nam potrzebny rysunek. Bok ma długość 7, bo $72 = 49$ .
Tak więc na prawdę to pracujemy tylko na liczbach. Nasze postępowanie polega na tym, żeby do danej liczby dobrać taką liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam liczbę wyjściową.
Działanie polegające właśnie na tym, aby danej liczbie przyporządkować taką liczbę która podniesiona do kwadratu jest równa tej początkowej liczbie nazywa się pierwiastkowaniem. Przeczytajmy jeszcze raz parę początkowych zdań w terminologii "pierwiastkowania".

Pierwiastkiem liczby 1 jest liczba 1, bo $12 = 1$
Pierwiastkiem liczby 4 jest liczba 2, bo $22 = 4$
Pierwiastkiem liczby 9 jest liczba 3, bo $32 = 9$
Pierwiastkiem liczby 16 jest liczba 4, bo $42 = 16$
Pierwiastkiem liczby 25 jest liczba 5, bo $52 = 25$
Pierwiastkiem liczby 36 jest liczba 6, bo $62 = 36$ ...itd.

To przyporządkowanie, które z liczb 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... robi liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... itd nie tylko ma nazwę pierwiastkowanie, ale ma także swój własny symbol $\sqrt{ }$ i te same zdania zapisuje się w symbolice matematycznej następująco

$\sqrt{1}=1$ , bo $12 = 1$
$\sqrt{4}=2$ , bo $22 = 4$
$\sqrt{9}=3$ , bo $32 = 9$
$\sqrt{16}=4$ , bo $42 = 16$
$\sqrt{25}=5$ , bo $52 = 25$
$\sqrt{36}=6$ , bo $62 = 36$ ...itd.

Pierwiastki kwadratowe z dowolnych liczb nieujemych

Spróbujmy na chwilę uwolnić się od interpretacji geometrycznej pierwiastka i skupmy się na tej czysto arytmetycznej własności operacji pierwiastkowania. Zastanówmy się nad innymi liczbami niż kwadratowe. Czy pierwiastek można wyciągnąć z liczby niekwadratowej?
Czy na przykład ma sens pierwiastek z zera? Czy istnieje taka liczba, która podniesiona do kwadratu daje zero?
Jest tylko jedna taka liczba. Jest nią zero. Rzeczywiście $0^2=0\cdot 0=0$ . Możemy to zapisać matematycznie:

Zapamiętaj

$\sqrt{0}=0$

Jest jeszcze wiele innych liczb, z których pierwiastki można łatwo obliczać i to w pamięci.

Przykład

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ , bo $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Przykład

$\sqrt{0,01}=0,1$ , bo $(0,1) 2 = 0,01$

Przykład

$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ , bo $\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$

Przykład

$\sqrt{3\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$ , bo $\left(\frac{7}{4}\right)^2=\frac{49}{16}$ . Pozostałe dwie równości pochodzą z zamiany liczb mieszanych i ułamków niewłaściwych.

Przykład

Czasami nie warto wymnażać liczb podpierwiastkowych.

$\sqrt{25\cdot 49}=5\cdot 7$ , bo $(5\cdot 7)^2 =(5\cdot 7)\cdot (5\cdot 7)=25\cdot 49$

Mnożenie liczb pod znakiem pierwiastka prowadziłoby tutaj do

$\sqrt{25\cdot 49}=\sqrt{1225}=?$

raczej trudnych obliczeń w pamięci.

Przykład

tak prosty, ze aż trudno zrozumieć. Ale warto!

$\sqrt{123456789^2}=123456789$

Czy to jest prawda tylko dla liczby 123456789? Jakie inne liczby mają tę własność? Ważne, żebyś miał(a) absolutną pewność, jak to jest. Spróbuj wytłumaczyć to drugiej osobie.

Przykład

Ułatwia liczenie pierwiastka, gdy liczba podpierwiastkowa jest w potędze parzystej. Przypomnij sobie wzór $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$ .

$\sqrt{2^{20}}=\sqrt{2^{10\cdot 2}}=\sqrt{\left(2^{10}\right)^2}=2^{10}=1024$

Przykład

Ułatwia liczenie pierwiastka, gdy liczba podpierwiastkowa jest w postaci iloczynu liczb w potęgach parzystych. Przypomnij sobie wzór $a^m\cdot b^m=(ab)^m$ .

$\sqrt{8^2\cdot 7^2}=\sqrt{\left( 8\cdot 7 \right) ^2}=8\cdot 7=56$

Przykład

Czasami warto rozłożyć liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze.

$\sqrt{15876}=?$

Spróbujmy rozkładu na czynniki pierwsze.
$15876=2\cdot 7938=2\cdot 2\cdot 3969=2^2\cdot 3\cdot 1323= 2^2\cdot 3\cdot 3\cdot 441=2^2\cdot 3^2\cdot 3\cdot 147=2^2\cdot 3^3\cdot 3\cdot 49= 2^2\cdot 3^4\cdot 7^2=\left(2\cdot 3^2\cdot 7\right)^2$ A więc

$\sqrt{15786}=\sqrt{2\cdot 3^2\cdot 7}=2\cdot 3^2\cdot 7=126$

Karta pracy

1. $\sqrt{100}=$

bo

2. $\sqrt{10000}=$

bo

3. $\sqrt{10^8}=$
bo
4. $\sqrt{0,01}=$
bo

5. $\sqrt{0,0001}=$
bo

5. $\sqrt{2^8}=$
bo

6. $\sqrt{49\cdot 81}=$
bo

7. $\sqrt{\frac{49}{81}}=$
bo

8. $\sqrt{1\frac{32}{49}}=$
bo

9. Rozłóż najpierw liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze.

$\sqrt{441}=$
bo

10. $\sqrt{987654321^2}=$
bo

Definicja Pierwiastka kwadratowego

Po tych ćwiczeniach jesteśmy o krok od przyjęcia bardzo formalnej definicji pierwiastka. Przed tym jeszcze jedna obserwacja. Czy miałby sens pierwiastek z liczby -1? Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje -1? Nie ma takiej liczby! Podobnie jest z każdą liczbą ujemną. A więc definicja pierwiastka dla liczb nieujemnych:

Ważne

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a jest taka nieujemna liczba b, która podniesiona do kwadratu daje liczbę a.
Piszemy $\sqrt{a}=b$ , jeśli $b 2 = a$ .

Przykład

$\sqrt4=2$ , bo $2^2=4 \,$ .

$\sqrt4 \not= -2$ , chociaż $(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$ , bo pierwiastkiem kwadratowym jest liczba nieujemna.

Pierwiastek z dwóch

Czy istnieje więc pierwiastek z 2? Na pewno nie jest to liczba, którą można odgadnąć, jak było to w poprzednich przykładach. Chociaż nie można odgadnąć, to można zobaczyć. Wróćmy do interpretacji geometrycznych.

Mamy tu dwa kwadraty. Niebieski jest kwadratem o boku 1 i polu 1. Zielony ma pole... 2.
A więc jego bok do kwadratu daje 2. Czyli jego bok ma długość równą pierwiastkowi z 2.
Jednocześnie widać, że jest to przekątna kwadratu o boku 1.

Ważne

Przekątna kwadratu o boku 1 ma długość równą $\sqrt2$

Dalej jeszcze nie wiemy jednak, jaka to liczba. Spróbujmy ją obliczyć.
Ta liczba jest większa od 1, bo $12 = 1 < 2$ . (1 to za mało, bo do kwadratu daje tylko 1, a nie 2. Pierwiastek z 2 jest więc większy od 1.)
Ta liczba jest mniejsza od 2, bo $22 = 4 > 2$ . (@ to za dużo, bo dwa do kwadratu daje aż 4, a nie 2. Pierwiastek z 2 jest więc mniejszy od 2.)
Mamy pierwsze oszacowanie miejsca, gdzie może być pierwiastek z dwóch:
$1<\sqrt2<2$

Postaramy się teraz dziesięciokrotnie zawęzić przedział liczbowy, w którym jest $\sqrt2$

x	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
x²	1	1,21	1,44	1,69	1,96	2,25	2,56	2,89	3,24	3,61	4

A więc mamy następne oszacowanie:

$1,4<\sqrt2<1,5$

Znowu zmniejszymy przedział, w którym musi być liczba $\sqrt2$

x	1,4	1,41	1,42	1,43	1,44	1,45	1,46	1,47	1,48	1,49	1,5
x²	1,96	1,9881	2,0164	2,0449	2,0736	2,1025	2,1316	2,1609	2,1904	2,2201	2,25

A więc jesteśmy jeszcze bliżej $\sqrt2$ .

$1,41<\sqrt2<1,42$

Przybliżmy się jeszcze bardziej.

x	1,41	1,411	1,412	1,413	1,414	1,415	1,416	1,417	1,418	1,419	1,42
x²	1,9881	1,990921	1,993744	1,996569	1,999396	2,002225	2,005056	2,007889	2,010724	2,013561	2,0164

"Zdobyliśmy" kolejne miejsce po przecinku.

$1,414<\sqrt2<1,415$

Czas na refleksje. Aby obliczyć pierwiastek z dwóch wykonujemy tylko jeden typ działania: mnożenie dwóch identycznych liczb. Można to zrobić pisemnie.
Tak na prawdę nie trzeba wykonywać wszystkich 10 mnożeń.
W każdym kroku zawężamy dziesięciokrotnie przedział, w którym jest pierwiastek z dwóch. Możemy więc obliczyć go dowolnie dokładnie, natura tej liczby jest niestety taka, że proces ten nigdy się nie skończy. Możemy ten pierwiastek znać dowolnie dokładnie, ale nigdy dokładnie. O tym, że nigdy dokładnie nie poznamy pierwiastka z dwóch wiedziano już w czasach Pitagorasa.
Gdybyśmy mieli zakończyć proces poszukiwania dokładnej wartości na podstawie dotychczasowych obliczeń, to czy skończylibyśmy na 1,414 czy 1,1415? Z tabelki tego nie widać. Musimy policzyć 1,4145²=2,0008103. A więc pierwiastek z dwóch jest bliższy 1,1414. Piszemy więc
$\sqrt2=1,414$

wiedząc, że jest to wartość przybliżona. Wiemy, że $\sqrt2$ jest pomiędzy 1,414 a 1,4145, ale dla kogoś, kto nie śledził naszych rachunków, informacja że $\sqrt2=1,414$ oznacza, że $1,4135<\sqrt2<1,4145$ .

Co wobec tego robią kalkulatory? One też nie podają dokładnej wartości. Nawet jeśli podadzą Wam wartość pierwiastka z dwóch z dziesięcioma miejscami po przecinku, to nie jest to wartość dokładna. Nawet gdybyśmy zobaczyli milion miejsc po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym pierwiastka z dwóch, to nie będzie to wartość dokładna. Dla naszych codziennych praktycznych potrzeb znamy ten pierwiastek wystarczająco dokładnie, ale nigdy absolutnie dokładnie.
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tak zwanych liczbach niewymiernych, zajrzyj do drugiej klasy gimnazjum. Jeszcze więcej będziesz wiedzieć w pierwszej klasie licealnej.

Karta pracy

1. Korzystając tylko z mnożenia na kalkulatorze policz przynajmniej 5 miejsc po przecinku dla
a) $\sqrt3$
b) $\sqrt5$
c) $\sqrt7$
Dopiero po policzeniu sprawdź swój wynik korzystając z klawisza z napisem pierwiastek.
2. Policz na kalkulatorze, używając tylko podnoszenia do kwadratu pierwiastek kwadratowy z 11 z dokładnością do tylu miejsc, ile wyświetla Twój kalkulator.

Dla matematyka

Nie wolno używać klawisza z pierwiastkiem. Spróbuj policzyć metodą prób i błędów $\sqrt{3+\sqrt2}$ .
Rozumować możesz na przykład tak.
Gdyby oznaczyć $\sqrt{3+\sqrt2}=x$ , to $x^2=3+\sqrt2$ . Ale wtedy $x^2-3=\sqrt2$ , a więc $\left(x^2-3\right)^2=2$ . Spróbuj znaleźć dwie dodatnie liczby całkowite, pomiędzy którymi jest x, a potem zawężaj przedział, w którym musi być x. Spróbuj znaleźć 3 miejsca po przecinku tej liczby.
Dopiero na samym końcu możesz sprawdzxić swój wynik używając na kalkulatorze funkcji pierwiastek.

Wykres funkcji pierwiastek kwadratowy*

Najpierw ustawiliśmy kwadraty w taki sposób, że prawy dolny wierzchołek kwadratu jest na tej liczbie na osi x, która jest jego polem. Potem powstały czarne kropki w prawych górnych rogach kwadratów. Tak więc czarna kropka w wierzchołku kwadratu o polu na przykład 25 jest nad liczbą 25 na osi x-ów a na wysokości 5, czyli na wysokości $\sqrt{25}$ . Czarne kropki są postaci $(x,\sqrt{x})$ , gdzie x jest liczbą kwadratową.
Inaczej mówiąc, czarne kropki są przeniesieniem na kartezjański system współrzędnych tabelki dla funkcji pierwiastek:

x	0	1	4	9	16	25	36	49	64
$\sqrt{x}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8

Czarna gładka linia obrazuje wykres wszystkich punktów postaci $(x,\sqrt{x})$ , gdzie $0\leq x\leq 64$ (x niekoniecznie jest liczbą kwadratową).

Pierwiastki sześcienne

Sześcian o objętości 1 ma bok długości 1, bo $1^3=1\cdot 1\cdot 1=1$ .
Sześcian o objętości 8 ma bok długości 2, bo $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$ .
Sześcian o objętości 27 ma bok długości 3, bo $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$ .
Sześcian o objętości 64 ma bok długości 4, bo $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$ .
Sześcian o objętości 125 ma bok długości ..., bo $...^3=...\cdot ...\cdot ...=125$ .
I tak dalej.

Operacja przyporządkowania danej liczbie takiej liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę wyjściową nazywa się pierwiastkowaniem sześciennym. A więc powyższe zdania byśmy powiedzieli z użyciem terminu "pierwiastek sześcienny" następująco.

Pierwiastkiem sześciennym liczby 1 jest liczba 1, bo $13 = 1$
Pierwiastkiem sześciennym liczby 8 jest liczba 2, bo $23 = 8$
Pierwiastkiem sześciennym liczby 27 jest liczba 3, bo $33 = 27$
Pierwiastkiem sześciennym liczby 64 jest liczba 4, bo $43 = 64$
Pierwiastkiem sześciennym liczby 125 jest liczba 5, bo $53 = 125$
I tak dalej.

Wykres takiego przyporządkowania wygląda następująco.

Pierwiastek sześcienny można "wyciągnąć" nie tylko z liczb sześciennych, lecz także z dowolnych liczb dodatnich zera a nawet liczb ujemnych. Ma on też swój matematyczny symbol podobny do pierwiastka kwadratowego.

Ważne

Pierwiastkiem sześciennym z danej liczby a jest traka liczba b, która podniesiona do sześcianu daje liczbę a.
Pierwiastek sześcienny liczby a oznacza się $\sqrt[3]{a}$ .
To samo w matematycznej symbolice:
$\sqrt[3]{a}=b$ , jeśli $b 3 = a$

Parę przykładów zapisanych w symbolice matematycznej.

$\sqrt[3]{27}=3$ , bo $33 = 27$

$\sqrt[3]{8}=2$ , bo $23 = 8$

$\sqrt[3]{1}=3$ , bo $13 = 1$

$\sqrt[3]{0}=0$ , bo $0^3=0\cdot 0\cdot 0=0$

$\sqrt[3]{-1}=-1$ , bo $(-1)^3=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1$

$\sqrt[3]{-8}=-2$ , bo $(-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$

$\sqrt[3]{-27}=-3$ , bo $(-3)^3=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=-27$

I tak dalej.

Wykres funkcji pierwiastek sześcienny*

Karta pracy

1. $\sqrt[3]{1000}=$

bo

2. $\sqrt[3]{1000000}=$

bo

3. $\sqrt[3]{10^9}=$
bo
4. $\sqrt[3]{0,001}=$
bo

5. $\sqrt[3]{0,000001}=$
bo

5. $\sqrt[3]{2^9}=$
bo

6. $\sqrt[3]{8\cdot 27}=$
bo

7. $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=$
bo

8. $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=$
bo

9. Rozłóż najpierw liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze.

$\sqrt[3]{216}=$
bo

10. $\sqrt[3]{987654321^3}=$
bo

11. Jeśli masz na swoim kalkulatorze podnoszenie do trzeciej potęgi, to zrób a) i b).
a) Policz 5 miejsc po przecinku <mat>\sqrt[3]2<\math> używając na kalkulatorze tylko podnoszenia do 3 potęgi.
b) Spróbuj policzyć ten pierwiastek do ostatniej cyfry, którą pokazuje kalkulator.
12. $(11) 3 = 1331$ . Podaj wartość
$\sqrt[3]{-1331}=$

Podsumowanie

Pierwiastkiem kwadratowym nieujemnej liczby a jest liczba, którą oznaczamy $\sqrt{a}$ . Jest to jedyna nieujemna liczba, taka że

$\left( \sqrt{a}\right)^2=a$

Pierwiastkiem sześciennym dowolnej liczby a jest liczba, którą oznaczamy $\sqrt[3]{a}$ . Jest to jedyna liczba, taka że

$\left( \sqrt[3]{a}\right)^3=a$

W nazwie pierwiastek kwadratowy słowo kwadratowy można pominąć. Inaczej pierwiastek kwadratowy nazywa się pierwiastkiem stopnia drugiego, a pierwiastek sześcienny - pierwiastkiem stopnia trzeciego.

Znajdywanie wartości pierwiastka liczby a określa się czasem wyciąganiem pierwiastka z liczby a.

Jeśli mamy dwie liczby - mniejszą i większą, to pierwiastek kwadratowy z liczby większej jest większy niż z mniejszej. Podobnie z pierwiastkiem sześciennym.

Są liczby, których pierwiastki możemy poznać dokładnie, a są takie liczby, których pierwiastki znamy tylko w przybliżeniu, ale z dowolną dokładnością.

Zachodzą dwa oczywiste wzory

1. Dla dowolnej nieujemnej liczby a

$\sqrt{a^2}=a$

2. Dla dowolnej liczby a

$\sqrt[3]{a^3}=a$

Ciekawostka

Na wielu kalkulatorach pierwiastek z x opisany jest symbolem $x^{\frac{1}{2}}$ . Czy pamiętasz wzór $\left(a^m\right)^2=a^{2m}$ ? Wzór $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=x^{\frac{1}{2}\cdot 2}=x^1=x$ . Ale także $\left(\sqrt{x}\right)^2=x$ . Czy wobec tego $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ i mają sens wykładniki ułamkowe?