Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Proporcje

Matematyka: Proporcje

Komentarze Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Skocz do: nawigacji, wyszukiwanie

Modułem opiekuje się: TG

Spis treści

1 Proporcje

Proporcje

Na rysunku poniżej jest 6 kwadratów tej samej wielkości.

Pierwszy z nich składa się z 5 żółtych i 4 niebieskich kwadracików. Możemy powiedzieć, że stosunek liczby kwadratów żółtych do liczby kwadratów niebieskich jest jak pięć do czterech. Drugi kwadrat składa się z czterech mniejszych kwadratów, takich jak pierwszy. Liczba żółtych kwadracików to 5×4, a niebieskich to 4×4. Proporcja kwadracików żółtych do niebieskich jest dalej taka sama jak poprzednio, czyli pięć do czterech. Następne kwadraty mają takie same proporcje kwadracików żółtych do niebieskich, a jest ich w następnych kolejnych kwadratach 5×16 i 4×16, 5×64 i 4×64, 5×512 i 4×512, i wreszcie na ostatnim jest 5×2048 żółtych i 4×2048 niebieskich kwadracików. Proporcja ta sama, a jak inaczej wyglądają!
W każdym jednak przypadku najwygodniej byłoby do określenia proporcji użyć jak najmniejszych liczb i powiedzieć, że proporcja żółtych kwadracików do niebieskich jest jak 5 : 4 lub po prostu: jest liczbą $\frac{5}{4}$ .

Na drugim rysunku w trzech ramkach są kółka i trójkąty.

Kółka i trójkąty w dwóch pierwszych ramkach są w tych samych proporcjach, bo $\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$ . Oba ułamki po skróceniu są równe $\frac{3}{5}$ i możemy w obu przypadkach powiedzieć, że liczba trójkątów do liczby kółek jest w proporcji trzy do pięciu, natomiast w trzeciej ramce kółka i trójkąty tworzą proporcję $\frac{6}{9}$ , czyli $\frac{2}{3}$ , co nie jest równe $\frac{3}{5}$ .

Na tym rysunku są niebieskie prostokąty i jeden zielony.

W każdym niebieskim prostokącie stosunek boku krótszego do dłuższego jest jak trzy do czterech. (W piątym prostokącie można długości mierzyć przekątnymi kwadratu 1×1, a w szóstym przekątnymi prostokąta 2×1.) Stosunek długości w zielonym prostokącie jest jak pięć do ośmiu. To nie są trzy czwarte.

Karta pracy

Ćwiczenie 1 Policz, w jakiej proporcji wśród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 są liczby parzyste do nieparzystych.
Policz, w jaka jest proporcja liczb nieparzystych ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} do wszystkich liczb w tym zbiorze.
Policz w jakiej proporcji są liczby pierwsze do złożonych wśród liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. A wśród liczb od 2 do stu?
Ćwiczenie 2
Wykaż, że w każdym trójkącie stosunek jego pola do wysokości jest ten sam. Czemu jest równa ta proporcja? (Bok kratki to jednostka.)
Czemu jest to prawda dla narysowanych trójkątów, a nie jest to prawda dla wszystkich trójkątów?

Rozwiązywanie proporcji

Rozwiązujemy proporcje, gdy w równości dwóch stosunków liczbowych brakuje nam jednej wielkości. Patrz rysunek poniżej.

Przy tak prostych liczbach dość łatwo odgadnąć liczbę kółeczek. Spróbujmy takiej metody, która nam pomoże nawet wtedy, gdy liczby będą większe i nie będzie rysunku. Oznaczmy niewiadomą liczbę kółek przez x. Trzeba znaleźć taką liczbę x, dla której
$\frac{x}{12}=\frac{6}{9}$

Teraz byłoby dobrze, gdyby można było tę równość tak przekształcić, aby z jednej strony równości było tylko x, a z drugiej liczba. To można zrobić, mnożąc obie strony równości przez 12.
$x=\frac{6}{9}\cdot12$ ,
czyli $x = 8$ .
Teraz to samo nieco ogólniej. Przypuśćmy, że stosunek liczby a do liczby b jest taki sam, jak stosunek liczby c do liczby d. Możemy to zapisać w postaci równości ułamków:
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Pomnóżmy obie strony tej równości przez bd.
$\frac{a}{b}\cdot bd=\frac{c}{d}\cdot bd$

po skróceniu

$a\cdot d=b\cdot c$

Ważne

(Reguła mnożenia "na krzyż")
Proporcja $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ jest równoważna równości iloczynów "na krzyż" $a\cdot d=b\cdot c$
Uwaga. Jeśli proporcję zapiszemy bardziej elementarnie (bez kresek ułamkowych), to powyższa reguła brzmi następująco:
Proporcja $a:b=c:d\,$ jest równoważna równości iloczynu wyrazów zewnętrznych iloczynowi wyrazów wewnętrznych, czyli $a\cdot d=b\cdot c$ .

Z proporcji $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ można wyrazić każdą z czterech wielkości przez trzy pozostałe:

$a=\frac{bc}{d}$

$b=\frac{ad}{c}$

$c=\frac{ad}{b}$

$d=\frac{bc}{a}$

Czy widzisz, dlaczego? (Wykorzystaj równość $a\cdot d=b\cdot c$ .)

Z proporcji

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

można otrzymać proporcję równoważną

zamieniając lewą stronę z prawą

$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$

zamieniając miejscami a i d

$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$

zamieniając miejscami b i c

$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

odwracając ułamki po obu stronach

$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

Można, bo w każdym przypadku iloczyny "na krzyż" prowadzą do tej samej równości.

A jaką interpretację geometryczną może mieć równość iloczynów "na krzyż" dla tych proporcji. Oto pewna interpretacja geometryczna.

Przykład

W obu zielonych prostokątach stosunki wysokości do podstawy są te same. Pomagają to zobaczyć ich połączone przekątne.

Okazuje się, że pola dwóch żółtych prostokątów są równe! Są one przecież iloczynami "na krzyż" prawdziwej proporcji $\frac {a}{b}=\frac {c}{d}$ .

Jedna prawdziwa proporcja pozwala utworzyć jeszcze wiele innych prawdziwych proporcji.

Przykład

Przyjrzyjcie się tym trzem rysunkom.

Na każdym z nich widać dwa prostokąty: o bokach a i b oraz o bokach c i d. Narysowana przekątna pomaga zobaczyć, że mają one ten sam kształt, to znaczy, że stosunek a do b jest taki sam jak c do d, czyli

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Ale spójrzcie na następna dwa z trzech rysunków. Czy widzicie więcej proporcji?
Spróbujcie je zapisać.

Czy wśród nich są te, wypisane poniżej?

$\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{c-a}{d-b}$

Przykład. Magiczna proporcja kartki papieru A4.

Przyjrzyjcie się kartce papieru formatu A4. Jest ona prostokątem mającym tę własność, że po zgięciu jej na pół otrzymamy prostokąt o tym samym kształcie. Dokładniej: Otrzymamy prostokąt, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest taki sam jak poprzednio. Czy taką własność mają wszystkie prostokątY, czy jest tylko jeden taki kształt? Szkic poniżej pozwala ułożyć proporcję. Wygodnie będzie przyjąć za jednostkę krótszy bok kartki papieru. Wtedy dłuższy bok będzie miał długość równą właśnie szukanej proporcji dłuższego boku do krótszego. Oznaczmy tę proporcję przez x.

Skoro połowa kartki ma tę samą proporcję boków, co wyjściowa, to

$\frac{x}{1}=\frac{1}{\frac{x}{2}}$

Mnożymy "na krzyż".

$x\cdot \frac{x}{2}=1\cdot 1$ czyli

$\frac{x^2}{2}=1$

A po ponożeniu stronami przez 2

$x 2 = 2$

Ostatecznie

$x=\sqrt2$ .

A więc jest tylko jedna taka proporcja, przy której połowienie prostokąta daje prostokąt o tym samym kształcie. Wiedzą o tym świetnie drukarze. Przecież jest to najoszczędniejszy format zużycia papieru.
A tak przy okazji - jest to ta sama proporcja, w jakiej jest przekątna do boku kwadratu! Sprawdź na swojej kartce, czy po zgięciu jak na rysunku zgięcie jest tak samo długie jak dłuższy bok (obie czerwone długości na rysunku.

Ćwiczenie

Wiadomo, że krótszy bok kartki papieru w formacie A4 ma dokładnie 210 mm. Ile powinien mieć dłuższy bok? Policz to z dokładnością do milimetra i zmierz dłuższy bok kartki A4.

Ćwiczenie

Na rysunku pokazane jest, jak powstają kolejne formaty papieru A1, A2, A3, A4, A5, i A6 z formatu A0.

Jakie są wymiary arkusza papieru w formacie A3, a w formacie A0?

Jakie są wymiary formatu A6?

Ćwiczenie

Boki zielonego i pomarańczowego prostokąta są w tych samych proporcjach. Inaczej mówiąc a ma się do b jak c do d, czyli - jeszcze bardziej matematycznie -

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ .

Ale na tym rysunku widać, że tę proporcję ma jeszcze bardzo wiele prostokątów z tego rysunku, na przykład

$\frac{a}{b}=\frac{2c-3a}{2d-3b}$

Napisz jeszcze przynajmniej 5 takich proporcji (Możesz skorzystać z już narysowanych prostokątów przerywaną linią, możesz dorysować inne

$\frac{a}{b}=$

Karta pracy

1. Wyraź stosunek liczby $3\frac{1}{3}$ do liczby $2\frac{1}{2}$ jako stosunek dwóch jak najmniejszych liczb naturalnych.
2. Czy liczby 0,2 i 0,08 są w tym samym stosunku, co liczby 2 i 8? A 5 i 2?
3. Liczby $a$ i $b$ są w takim stosunku, że $a + 2$ i $b + 3$ są w tym samym stosunku. W jakim stosunku są liczby $a$ i $b$ ? Jeśli wiesz ponadto, że $a + b = 50$ , to czy wiadomo, jakie muszą być liczby $a$ i $b$ ?
4. Oblicz brakujące liczby a-l.

Podział na części w danej proporcji

Jak podzielić 21 na dwie części w proporcji 3 do 4? 7 byłoby łatwo tak podzielić, bo to właśnie 3 i 4 razem dają 7. Patrz pierwsza ramka poniżej. A więc podzielmy 21 na 7 równych grup.

Patrz druga ramka. Będą to grupy po trzy. Teraz widać, że dzielimy już nie 21 kwadracików, a 7 grup. 7 grup rozdzielamy na trzy grupy i cztery grupy. Te trzy grupy dają nam 9, a te 4 grupy to 12. Tak też trzeba podzielić 21. Na 9 i 12. (Trzecia ramka.) I to jest odpowiedź.

Przykład Podziel 20 centymetrową linijkę na dwie części w stosunku 2 do 3.
Rozwiązanie: Dzielimy (w myśli) 20 cm na 5 równych kawałków po 4 cm, a następnie bierzemy 2×4 cm = 8 cm i 3×4 cm = 12 cm. Tak więc podział powinien nastąpić 8 cm od jednego końca (a 12 cm od drugiego końca) linijki.

Karta pracy

Ćwiczenie
1. Podziel liczbę 42 w stosunku 2 do 5.
2. Podziel liczbę 121 w stosunku 9 do 2.
3. Podziel liczbę 36 na dwie części, tak aby większa część była dwa razy większa od mniejszej.
4. Podziel liczbę 35 na dwie części, tak aby jedna trzecia pierwszej części była równa połowie drugiej części. (Przeczytaj to bardzo uważnie, wyobraź sobie te części, aby zauważyć, że powiedziane zostało, w jakiej proporcji podzielono 35.)

5. Podziel liczbę 144 w proporcji 2 do 7. W jakim stosunku jest mniejsza część do całości, a w jakim jest większa część do całości.
6. Pewną liczbę podzielono w proporcji 2 do 7. W jakim stosunku jest mniejsza część do całości, a w jakim większa do całości. Czy musisz znać tę liczbę, żeby odpowiedzieć na to pytanie?
7. 12 cukierków podzielono na dwie nierówne części. W jakiej proporcji jest mniejsza część do większej? Ile różnych proporcji można otrzymać? Wypisz je. (Cukierków nie dzielono na części.)
Pewną liczbę podzielono w stosunku 3 do 4 i otrzymano dwie liczby naturalne. Jaką najmniejszą liczbę można podzielić w taki sposób? A jaka jest następna taka liczba? Wymień kolejnych 5 takich liczb.
8. Liczbę 144 podzielono w proporcji 7 do 5. Otrzymano dwie liczby naturalne. O ile można zwiększyć liczbę 144, aby podział zwiększonej liczby w stosunku 7 do 5 dał dwie liczby całkowite? O ile najmniej można zwiększyć?
9. Pewna liczba naturalna dzieli się na liczby całkowite i w stosunku 2 do 9 i w stosunku 5 do 7. Jaka najmniejsza dodatnia liczba naturalna ma tę własność?

Tajemnicza własność proporcji: proporcja i proporcjonalność

W obu ramkach (tej po lewej stronie i tej po prawej stronie) proporcja liczby kółek do liczby trójkątów jest taka sama, bo $\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$ . A najlepiej byłoby wyrazić tę proporcję jeszcze prostszym ułamkiem: $\frac{3}{5}$ . W tej proporcji ukryta jest jeszcze zupełnie inna własność. Zauważcie, ze stosunek liczby kółek w drugiej ramce do liczby kółek w pierwszej ramce jest taki sam, jak stosunek liczby trójkątów w drugiej ramce do liczby trójkątów w pierwszej ramce: $\frac{9}{6}=\frac{15}{10}$ . Ten stosunek to $\frac{3}{2}$ , czyli półtora. Można to samo powiedzieć prościej: w drugiej ramce jest półtora razy więcej kółek i półtora razy więcej trójkątów. Współczynnik proporcjonalności odpowiadających sobie liczb w drugiej ramce do liczb w pierwszej ramce wynosi półtora.

Przykład

Tutaj proporcja mniejszej liczby do większej liczby w lewej ramce i proporcja mniejszej liczby do większej w prawej ramce jest ta sama $\frac{2}{7}=\frac{6}{21}$ . Gdy spojrzymy na liczby w prawej ramce odpowiadające liczbom w pierwszej ramce (obrazują to strzałki), to widać, że w drugiej ramce są one 3 razy większe. A więc współczynnik proporcjonalności jest równy 3.

Przykład

Liczby w drugiej ramce są proporcjonalne do liczb w pierwszej ramce. Współczynnikiem proporcjonalności jest tym razem liczba mniejsza od 1, a mianowicie $\frac{1}{2}$ .

Poniżej interpretacja geometryczna.

Przykład

Mamy dwa zielone prostokąty o wymiarach a na b i c na d. Narysowana przekątna w obu prostokątach pomaga zobaczyć, że mają ten sam kształt - są one podobne. Wobec tego ma miejsce proporcja $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ . Słowami można powiedzieć to na przykład tak: w obu prostokątach stosunek wysokości do podstawy jest ten sam. Ale w tej proporcji można zamienić miejscami b i c, bo iloczyny "na krzyż" są w obu przypadkach te same. Tak więc poprzednia proporcja jest równoważna proporcji $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ , która wypowiedziana słowami mogłaby brzmieć następująco: stosunek wysokości w górnym prostokącie do wysokości w dolnym prostokącie jest taki sam jak stosunek ich podstaw.

Oba te sformułowania matematycznie są równoważne, ale odwołują się do różnych sposobów myślenia. Pierwsza proporcja mówi, że stosunki wielkości w górnym prostokącie są takie same jak w dolnym. To - mówiąc trochę metaforycznie - oznacza, że w świecie górnego prostokąta wszystkie proporcje są te same, co w świecie dolnego. Na przykład stosunek długości przekątnej do podstawy jest w obu prostokątach ten sam.

Druga proporcja mówi, że dolny prostokąt jest jakby mapą pierwszego i że znając odległość punktów w górnym otrzymamy odległość odpowiadających im punktów w dolnym, mnożąc tę pierwszą odległość przez współczynnik proporcjonalności, czyli że istnieje taka stała k, że $c=k\cdot a$ i $d=k\cdot b$ . W tych oznaczeniach tym współczynnikiem jest liczba $\frac{c}{a}$ lub $\frac{d}{b}$ , co na jedno wychodzi, bo te liczby są równe.

Proporcja większej liczby wielkości i wielkości proporcjonalne

Tym razem mamy w obu ramkach trzy wielkości: liczbę kwadratów, liczbę kółek i liczbę trójkątów.

Kwadraty i kółka w pierwszej ramce są w tym samym stosunku co kwadraty i kółka w drugiej ramce. Podobnie kółka i trójkąty są w obu ramkach w tej samej proporcji. Także kwadraty i trójkąty są w obu ramkach w tej samej proporcji. Te wszystkie równości można zapisać równością $4:6:10 = 6:9:15$ . A jeszcze prościej można powiedzieć, że w obu ramkach liczba kwadratów, liczba kółek i liczba trójkątów są w proporcji jak $2:3:5$ .
Uwaga. W przypadku więcej niż dwóch wielkości nie można znaku ":" zastąpić znakiem dzielenia! Sens napisu $2:3:5$ jest inny niż dzielenia.

Podobnie jak w przypadku dwóch tylko wielkości proporcja paru wielkości ma tę samą tajemniczą własność. Zauważcie, że w drugiej ramce wszystkiego jest tyle samo razy więcej co w pierwszej ramce. A więc równość $4:6:10 = 6:9:15$ można zapisać równoważnie $\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{15}{10}$ . W drugiej ramce wszystkiego jest półtora razy więcej. Jest półtora razy więcej kwadratów, półtora razy więcej kółek i półtora razy więcej trójkątów. Możemy powiedzieć, że liczby kwadratów, kółek i trójkątów w drugiej ramce są proporcjonalne do odpowiednio liczby kwadratów, kółek i trójkątów w pierwszej ramce. Liczba półtora pełni funkcję współczynnika proporcjonalności pomiędzy odpowiadającymi sobie liczbami w pierwszej i drugiej ramce. Żeby na przykład otrzymać liczbę trójkątów w drugiej ramce, mnożymy liczbę trójkątów w pierwszej ramce przez półtora.

Przykład. A jak na przykład podzielić 70 na trzy części w proporcji 2:3:5 ?
Sposób pierwszy. Łatwo by było podzielić 10, czyli właśnie 2+3+5, w takiej proporcji. Byłby to po prostu podział na 2, 3 i 5. A więc podzielmy 70 na 10 równych grup po 7 i rozdzielmy te 10 grup na 2 grupy, 3 grupy i 5 grup, czyli na 14, 21 i 35.
Drugi sposób. 2, 3 i 5 są w takim właśnie stosunku. Trzeba wziąć wszystkiego tyle samo razy więcej, żeby łącznie otrzymać 70. Można zgadywać, ile razy więcej trzeba wziąć do każdej części, ale też można zauważyć, że 70 jest 7 razy większe od 10 i wobec tego 2×7, 3×7 i 5×7 jest szukanym przez nas podziałem siedemdziesięciu.

Przykład

Liczby w lewej ramce tworzą takie same proporcje, jak liczby w prawej ramce. Niestety, zniknęły strzałki pokazujące, które liczby w jednej ramce odpowiadają tym z drugiej. Narysuj te połączenia. Jaki jest współczynnik proporcjonalności liczb w drugiej ramce w zależności od liczb w pierwszej ramce.

Rozwiązanie: Jeżeli jest prawdą to, co było powiedziane o obu ramkach, to połączenie liczb zgodne z ich wzrastaniem powinno dać to właściwe przyporządkowanie. I rzeczywiście. Patrz rysunek poniżej. Współczynnik proporcjonalności to $\frac{2}{5}$ .

Przykład. Oto składniki polskiej babki zaparzanej (Wincenta Zawadzka, Kucharka litewska, Wydawnictwo Pojezierze, Olsztyn 1985, str. 263)
3 litry mąki, 3 szklanki mleka, 15 deka drożdży, 1 kopa żółtek, 40 deka masła, 3—3½ szklanki cukru, 4 deka gorzkich migdałów, skórki z jednej cytryny, masło i sucharek na formę.

Czy możesz przystosować ten przepis do dzisiejszych czasów? Dopasuj wszystko do liczby 6 żółtek. Jak wyglądałby skład? (Kopa to 60.)

Rozwiązanie: 6 żółtek a nie 60 (kopa) oznacza, że wszystkiego trzeba wziąć 10 razy mniej. Matematycznie to jest bardzo proste, ale praktycznie będziemy musieli zaokrąglić niektóre ułamki. A więc 300 cm³ mąki, 0,3 szklanki mleka, łyżeczkę drożdży, pełną łyżkę masła, ½ szklanki mleka, parę gorzkich migdałów, skórki cytryny, masło i tartą bułkę na formę.

Przykład. 5 kilogramów jabłek kosztuje 20 złotych. Napisz wzór, który podaje liczbę y złotych, które trzeba zapłacić za x kilogramów jabłek. Co jest współczynnikiem proporcjonalności w Twoim wzorze?

Rozwiązanie: 1 kilogram jabłek kosztuje 4 złote, więc x kilogramów kosztuje $4 x$ złotych. Szukany wzór to
$y = 4 x$
Współczynnikiem proporcjonalności jest liczba 4, czyli cena kilograma jabłek.

Przykład. Wielkości x i y są proporcjonalne. Dopisz brakujące liczby a i b w tabelce.

x	1,5	2	a
y	4,5	b	12

Rozwiązanie:
Sposób 1. Rozwiązujemy dwie proporcje $\frac {1,5}{4,5}=\frac{2}{b}$ i $\frac{1,5}{4,5}=\frac{a}{12}$ ze względu na b i a. Z pierwszej proporcji $b=\frac{4,5 \cdot 2}{1,5}=6$ , a z drugiej $a=\frac{1,5 \cdot12}{4,5}= 4$ .
Sposób 2. Wartości y są proporcjonalne do wartości x. Dokładniej ta zależność y od x wyraża się wzorem $y = k x$ . Pierwsza kolumna tabelki pokazuje, że $4,5 = k 1,5$ , a więc $k = 3$ . Stąd mamy wzór $y = 3 x$ . Słowami można to wypowiedzieć następująco: y jest 3 razy większe od x. Wypełniamy w tabelce $b = 6$ i $a = 4$ .

Przykład Sprawdź, czy wielkości w prawej ramce są proporcjonalne do wielkości w lewej. Jeśli tak, to dorysuj strzałki pokazujące odpowiadające sobie wielkości i oblicz współczynnik proporcjonalności.

Naturalnym by było połączyć liczby "według wzrostu":

Na lewym rysunku widać, że liczby na zielonym tle, te po prawej stronie, są $\frac{3}{2}$ razy większe niż te po lewej stronie. I to jest szukany współczynnik proporcjonalności. Na prawym rysunku proporcje liczb pomiędzy liczbami w lewej ramce i w prawej ramce są różne. Liczby po prawej stronie w żaden sposób nie są proporcjonalne do liczb po lewej stronie.

Ćwiczenie

Na obu rysunkach wielkości na żółtym tle są proporcjonalne do wielkości na tle zielonym. Jak połączyć odpowiadające sobie liczby? Jakie są współczynniki proporcjonalności na każdym rysunku?

Przykład. Różne trójkąty egipskie. Trójkąty poniżej mają kolejno wymiary (przyjmując za jednostkę bok kratki): 3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 12,16,20; 16,20,25. Ich boki są w proporcji 3:4:5, a zatem wszystkie są trójkątami egipskimi. O każdym z nich można powiedzieć (stosując odpowiednią jednostkę długości), że boki mają wymiary 3,4,5. Na dole rysunku wszystkie trójkąty są nasunięte na największy. Widać, że wszystkie te trójkąty mają równe kąty. Każdy z nich ma jeden kąt prosty - to też jest cecha charakterystyczna trójkąta egipskiego.

Ciekawostka

Czy wiecie, że do wyznaczania kąta prostego do dziś stosuje się trójkąt egipski? Na linie z połączonymi końcami zaznaczonych jest 12 węzełków. (Patrz lewa strona rysunku.) Po napięciu tej liny, jak to pokazuje prawa strona rysunku, czyli po pociągnięciu za trzy węzełki oddalone od siebie o 3, 4 i 5 węzełków, otrzymujemy kąt prosty. Ta metoda została wynaleziona na Bliskim Wschodzie w czasach jeszcze przed Pitagorasem. Do dziś spotyka się rzemieślników stosujących taką linę egipską. Metoda przetrwała ponad 2500 lat!

Karta pracy

1. Na rysunku poniżej narysowano bok kwadratu (na niebiesko) i obwód kwadratu (na zielono). Czy obwód kwadratu jest proporcjonalny do boku kwadratu? Jeśli tak, to znajdź współczynnik proporcjonalności. (Obwód $=k \cdot$ bok)

$k =$

2. Poniżej narysowane są różne kwadraty w kwadratach obróconych o 45 stopni. Czy pole kwadratów zielonych jest proporcjonalne do pól kwadratów niebieskich? Jaki jest współczynnik proporcjonalności?

pole kwadratu zielonego $=k\cdot$ pole kwadratu niebieskiego
$k =$

3. Czy przekątna kwadratu jest proporcjonalna do boku kwadratu? Jeśli tak, to jaki jest współczynnik proporcjonalności we wzorze
przekątna kwadratu $=k\cdot$ bok kwadratu ?

$k =$

4. Sprawdź, że pola zielonych trójkątów są proporcjonalne do pól niebieskich równoległoboków. Jaki jest współczynnik proporcjonalności?

$k =$

Czy ta proporcjonalność ma charakter bardziej ogólny niż pokazuje to rysunek?
Sformułuj odpowiednie twierdzenie.
5. Czy obwód sześciokąta foremnego jest proporcjonalny do najdłuższej przekątnej tego sześciokąta? (Szósty rysunek może pomóc w odpowiedzi!)

Jaki jest współczynnik proporcjonalności we wzorze obwód $= k\cdot$ najdłuższa przekątna.
$k =$

6. Czy pole sześciokąta foremnego jest proporcjonalne do pola kwadratu o tym samym boku? (Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a to $\frac{\sqrt3 \ a^2}{4}$ . Może się przydać!)
Pole sześciokąta $=k\cdot$ pole kwadratu

$k =$

Pole dwunastokąta foremnego jest proporcjonalne do pola kwadratu o boku równym połowie najdłuższej przekątnej dwunastokąta. Jaki jest współczynnik proporcjonalności? (Przydać się może wzór na pole czworokąta o prostopadłych przekątnych!)

$k =$

Proporcjonalność długości a proporcjonalność pól

Prawy rysunek jest dwukrotnym powiększeniem rysunku po lewej stronie. To znaczy, że wszystkie długości powiększyły się dwukrotnie. Tak więc odcinek E'F' o długości 4 jest dwa razy dłuższy niż odcinek EF, który ma długość 2, bok A'B kwadratu A'B'C'D jest dwukrotnie dłuższy od boku AB kwadratu ABCD po lewej stronie, podobnie jest na przykład z promieniami obu kół, a także z obwodami obu kręgów.
Mówimy w takiej sytuacji, że prawy rysunek narysowany został w skali 2 : 1 w stosunku do oryginalnego rysunku po lewej stronie. Wszystkie długości na prawym rysunku są dwukrotnie większe niż odpowiadające im długości na lewym rysunku. Współczynnik proporcjonalności k jest równy 2.

Czy to znaczy, że wszystkie wielkości po prawej stronie są dwukrotnie większe od odpowiadających im wielkości po lewej stronie?
A jakie są pola obu kwadratów? Ten po lewej ma pole 1×1=1, a po prawej 2×2=4. Pole zwiększyło sie czterokrotnie. Podobnie pole trójkąta i pole koła zwiększyło się czterokrotnie.

Ważne

Jeśli rysunek pewnego oryginału został wykonany w taki sposób, że wszystkie długości na rysunku są proporcjonalne do odpowiednich długości w oryginale i współczynnikiem proporcjonalności jest liczba k, to i pola dowolnych obszarów na rysunku są proporcjonalne do pól w oryginale, a współczynnikiem proporcjonalności dla pól jest k².

Ważne

Mapa wykonana w skali m : n zmienia wszystkie długości w taki sposób, że długości m na mapie odpowiada długość n w terenie. Długości rzeczywiste zmieniają się $\frac{m}{n}$ razy przy przeniesieniu na mapę. Współczynnikiem proporcjonalności długości na mapie w stosunku do długości w rzeczywistości jest $\frac{m}{n}$ . Współczynnikiem proporcjonalności pól obszarów na mapie w stosunku do odpowiadających im pól w terenie jest ${\left(\frac{m}{n}\right)}^2$

Przykład. Odległości 32 mm na mapie odpowiada 64 km w terenie.
Jaka jest skala mapy?
Jaką powierzchnię w rzeczywistości ma obszar, który na mapie zajmuje 1 mm².
Rozwiązanie: Skala mapy to 32 mm : 64 km = 1 mm : 2 km = 1 mm : 2000 m = 1 mm : 2 000 000 mm = 1 : 2 000 000
Kształt obszaru nie ma znaczenia dla odpowiedzi na pytanie, bo każdy kształt o na mapie o powierzchni 1 mm² zajmuje tyle samo powierzchni w rzeczywistości. Możemy więc sobie wyobrazić na mapie obszar kwadratowy o boku 1 mm.
1 mm² = 1 mm × 1 mm
W rzeczywistości każdy bok kwadratu jest 2 000 000 razy większy od tego na mapie, więc
2 000 000 × 1 mm × 2 000 000 × 1 mm = 2 000 000 mm × 2 000 000 mm = 2000 m × 2000 m = 2 km × 2 km = 4 km²

Przykład

Na pierwszym kwadracie pole zielonego kwiatka do pola niebieskiej części kwadratu wystającej spoza kwiatka jest jak 3 do 5.
Pozostałe rysunki powstały przez powiększenie pierwszego.
Jaki jest stosunek pola kwiatka do niebieskiego pola na drugim i trzecim rysunku?
Jakie jest pole pierwszego, drugiego i trzeciego kwiatka?
Ile razy średnica trzeciego kwiatka jest większa od średnicy pierwszego kwiatka?
Rozwiązanie:
Te proporcje są takie same, bo powiększenie ich nie zmienia.
Aby otrzymać pole pierwszego kwiatka, trzeba pole kwadratu podzielić w stosunku 3 do 5. Pole kwadratu to 16 kratek. Dzielimy 16 na 3+5=8 części, co oznacza, że jedna część ma 2 kratki. Kwiatek to 3 części, a niebieskie pole to 5 części. Kwiatek ma więc 6 kratek. Drugi rysunek powstał przez dwukrotne powiększenie pierwszego. A więc drugi kwiatek ma 2²=4 razy większe pole, czyli 4×6=24 kratki. Trzeci kwiatek jest namalowany na kwadracie z dwa razy mniejszym polem niż pole drugiego kwadratu. Pole trzeciego kwiatka jest więc też dwa razy mniejsze niż pole drugiego kwiatka, a więc jest równe 12 kratkom.
Pole trzeciego kwadratu to połowa pola drugiego kwadratu, czyli $\frac{1}{2}\cdot 64 = 32$ . Poe pierwszego kwiatka to 16 kratek. Tak więc odpowiadające sobie pola na trzecim kwadracie do pól na pierwszym mają się do siebie jak 2 : 1. W takiej sytuacji odległości mają się do siebie jak $\sqrt{2}:1$ , bo $\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{1^2}=\frac{2}{1}$ . A więc średnica trzeciego kwiatka jest $\sqrt2$ razy większa od średnicy pierwszego kwiatka.

Karta pracy

{{{1}}}

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Warunek równowagi dźwigni według Archimedesa.
Dźwignia jest w równowadze, gdy stosunek ciężarów jest odwrotnie proporcjonalny do ich odległości od punktu podparcia.

Trzeba się dokładnie wczytać w słowa "odwrotnie proporcjonalne". Narysowana dźwignia jest w równowadze. A więc stosunek 3 kilogramów do 2 kilogramów ma być odwrotnie proporcjonalny do ich odległości, czyli
$\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$

Uwaga. Po prawej stronie jest 9 do 6, a nie 6 do 9 ! To właśnie oznacza "odwrotnie proporcjonalne".

Dzisiaj wolimy sformułowanie:
Dźwignia jest w równowadze, gdy iloczyn ciężaru po lewej stronie i jego odległości od punktu podparcia jest równy iloczynowi ciężaru po prawej stronie i jego odległości od punktu podparcia.
Na rysunku oznaczałoby to równość iloczynów
$3\cdot 6=2\cdot 9$

Zwróćcie uwagę, że jest to iloczyn na krzyż wyrazów w proporcji napisanej powyżej. A więc jest to sformułowanie równoważne.

Gdyby niczego nie zmieniać po lewej stronie dźwigni, a po prawej ustawić jeden kilogram, to w jakiej odległości od punktu podparcia trzeba by go ustawić?
A gdybyśmy chcieli ustawić tylko jeden ciężar po prawej stronie w odległości 2 od punktu podparcia, to jaki to musiałby być ciężar, żeby zrównoważyć lewą stronę? A w odległości 3?

Możemy uogólnić odpowiedzi na ostatnie trzy pytania:
odległość × ciężar = 18

Jeśli odległość jest równa 1, to ciężar musi wynosić 18,
jeśli odległość jest równa 2, to ciężar musi wynosić 9... itd.

Ważne

Jeśli dwie wielkości zależą od siebie w taki sposób, że ich iloczyn jest stały, to mówimy, że wielkości te są odwrotnie proporcjonalne.

Dla matematyka

Nieco ogólniejszy warunek równowagi na dźwigni dwustronnej brzmi następująco:
Dźwignia jest w równowadze, jeśli suma iloczynów ciężaru i odległości od punktu podparcia po jednej stronie jest równa sumie iloczynów ciężaru i odległości od punktu podparcia po drugiej stronie. Na przykład dla poniższego rysunku:

$1\cdot 9+2\cdot 6+1\cdot 3=2\cdot 4+2\cdot 8$

Równość zachodzi, więc dźwignia będzie w równowadze. A gdybyście po prawej stronie mogli położyć ciężar tylko w jednym miejscu, to jak można to zrobić, aby zrównoważyć lewą stronę? Macie tylko kilogramowe odważniki. Czy można to zrobić na wiele sposobów? Na ile?

Przykład

Pole prostokąta jest równe 24. Iloczyn długości jego dwóch różnych boków jest więc równy 24. Jeśli podstawę oznaczymy a, natomiast drugi bok oznaczymy b, to $a \cdot b=24$ . Długości boków prostokąta przy stałym polu są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Oczywiście, długości te nie muszą być jak na rysunku liczbami całkowitymi. Jeśli a=1,5, to b=16.

Przykład. Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne. Uzupełnij tabelkę.

x	5	15		1
y	6		2		10	0,5

Przykład

Tabelka przedstawia zależność dwóch wielkości.

x	1	2	3	4	6	12
y	12	6	4	3	2	1

Oczywiście, wielkości te są odwrotnie proporcjonalne i $x\cdot y=12$ Do następnej tabelki w miejscu x wstawiamy $\frac{1}{x}$ .

$\begin{matrix}\frac{1}{x}\end{matrix}$	$\begin{matrix}\frac{1}{1}\end{matrix}$	$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$	$\begin{matrix}\frac{1}{3}\end{matrix}$	$\begin{matrix}\frac{1}{4}\end{matrix}$	$\begin{matrix}\frac{1}{6}\end{matrix}$	$\begin{matrix}\frac{1}{12}\end{matrix}$
y	12	6	4	3	2	1

Teraz widać, że wielkości y zależą od wielkości w pierwszej linijce wprost proporcjonalnie, a współczynnikiem proporcjonalności jest $k = 12$ .
Podsumowujemy to, co się stało w dwóch tabelkach, w następującym ważnym stwierdzeniu.

Ważne

Jeśli wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne i ich stały iloczyn $x y = k$ , to wielkości y są proporcjonalne do $\frac{1}{x}$ i współczynnikiem proporcjonalności jest k.

Dla matematyka

Łatwo to zrozumieć w całkiem ogólnej sytuacji, a nie szczególnej tabelki, używając algebry. Jeśli $x y = k$ , to dzieląc obie strony przez x otrzymamy równość $y=k\cdot \frac{1}{x}$ . A ta równość mówi właśnie, że y jest proporcjonalne do $\frac{1}{x}$ .

Karta pracy

1. Sprawdź, czy długość i szerokość Twojego podręcznika do matematyki jest w tej samej proporcji co długość i szerokość Twojej legitymacji szkolnej.
2. W trzech czwartych litra napoju jest 27 gramów cukru. Odlano pół litra napoju do termosu. Ile cukru jest w napoju w termosie?
3. W prostopadłościennym modelu wieżowca długość, szerokość i wysokość mają się do siebie jak 2 do 3 do 10. Jaka jest wysokość wieżowca, jeśli dłuższa jego ściana, na której są klatki schodowe, ma 15 metrów? A jakie są wymiary innych ścian wieżowca?
4. Na mapie w pewnej skali, z miasta A do miasta B jest 3,2 cm, natomiast z A do C jest 4,8 cm. Jeśli z A do B jest na prawdę 321 km, to ile jest z A do C? Odpowiedź zaokrąglij do jednego kilometra.
5. Do dwulitrowej puszki białej farby dodano po 100 g barwnika niebieskiego, a do trzylitrowej dodano 240 g. Pozostało jeszcze 170 g tego barwnika. Jak rozdzielić te 170 g barwnika, na 2 części, tak aby po dosypaniu ich do puszek farba w obu puszkach puszkach miała ten sam kolor?
6. Za trzy i pół metra materiału zapłacono 140 zł. Ile trzeba zapłacić za 5 metrów materiału?
7. Przy średniej prędkości 60 km/h w dwie i pół godziny można przejechać 150 km. Ile można przejechać z tą prędkością w trzy i pół godziny? W jakiej zależności są droga i czas przy tej średniej prędkości?
8. Jeżeli z miasta A do miasta B jedzie się dwie i pół godziny ze średnią szybkością 55 km/h, to jak szybko trzeba jechać, aby podróż trwała tylko 2 godziny? Jak nazywają się taka zależność dwóch wielkości jak średnia prędkość i czas potrzebny na przejechanie z A do B?
9. Czy ilość spalonej benzyny w znanym Ci samochodzie jest proporcjonalna do przebytej drogi? A czy jest proporcjonalna do prędkości.
10. Czy w Waszej klasie wzrost jest proporcjonalny do wagi?

Źródło: "http://wiki.wolnepodreczniki.pl/Matematyka:Gimnazjum/Proporcje"

Matematyka: Proporcje

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Spis treści

Proporcje

Rozwiązywanie proporcji

Podział na części w danej proporcji

Tajemnicza własność proporcji: proporcja i proporcjonalność

Proporcja większej liczby wielkości i wielkości proporcjonalne

Proporcjonalność długości a proporcjonalność pól

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

CAŁE WIKI:

POMOC:

MOJE KONTO:

Obecnie na wiki