Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Pole koła i długość okręgu

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: marialerska

[Red:

  1. liczba π (nawiązać do proporcjonalności)
  2. obliczanie długości okręgu o danym promieniu,
  3. wyznaczanie promienia mając daną długość okręgu
  4. obliczanie pola koła o danym promieniu,
  5. wyznaczanie promienia mając dane pole]

Spis treści

Obwód koła

W tym rozdziale dowiesz się jak obliczyć obwód koła, a w następnym jak policzyć jego powierzchnię oraz gdzie tę wiedzę można wykorzystać.

Ale najpierw powtórzenie. Niech dany będzie pewien punkt O na płaszczyźnie i dodatnia liczba r.

Okrąg i koło

Czy pamiętasz,że:


Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.


Kołem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.


Odcinki w okręgu i kole

Promieniem nazywamy każdy odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu O, a drugim punkt leżący na okręgu. Liczbę będącą długością promienia też nazywamy krótko promieniem, o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

Wszystkie promienie są jednakowej długości.

Cięciwą nazywamy każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu.

Średnicą nazywamy każdą cięciwę, która przechodzi przez środek okręgu.

Opis

Obwód koła i średnica

Na poniższym rysunku narysowane są średnice (na niebiesko) i okręgi (na zielono). Długość okręgu jest proporcjonalna do długości średnicy. Skoro długość okręgu jest proporcjonalna do jego średnicy, to jaki jest ten współczynnik proporcjonalności?

Prop 10e.svg

Jest to tak bardzo ważny w matematyce współczynnik, że nawet ma swoje imię. Nazywa się π. Jest to litera p w greckim alfabecie. Czyta się ją "pi". Czy znasz sposób wyznaczenia liczby π we wzorze obwód koła = π × średnica ?

Zadanie 1

Zmierz a) obwód dowolnego garnka i jego średnicę, b) obwód monety i jej średnicę, c) obwód szklanki i jej średnicę, d) obwód okrągłej rury i jej średnicę. Zapisz otrzymane wyniki w cm.

Jeżeli już wykonywałeś podobne zadania,to tym lepiej - teraz będzie łatwiej.

Po wykonaniu pomiarów zbadaj, jaki jest współczynnik proporcjonalności długości okręgu do długości średnicy.

a)\frac{obwod \ garnka}{srednica \ garnka}=

b)\frac{obwod \ szklanki}{srednica \ szklanki}=

c)\frac{obwod \ monety}{srednica \ monety}=

d)\frac{obwod \ rury}{srednica \ rury}=


Otrzymałaś/otrzymałeś 4 liczby - kandydatki na współczynnik proporcjonalności długości okręgu do jego średnicy. Czy są one dokładne?

Spróbujcie teraz policzyć tę liczbę mniej eksperymentalnie, a bardziej matematycznie.

Zadanie 2

Niech a będzie liczbą liter Twojego imienia. Określimy teraz liczbę r, która za chwilę będzie Ci potrzebna.

r = a, gdy a\leq5 i r = a − 5, gdy a > 5.

Obwod a pi.svg

a) Znajdź dokładną wartość obwodu kwadratu wpisanego w koło i podziel ją przez średnicę koła (przez 2r).

b) Znajdź obwód sześciokąta wpisanego w koło i podziel go przez średnicę.

c) Znajdź obwód kwadratu opisanego na kole i podziel go przez średnicę koła.

c) Znajdź obwód sześciokąta opisanego na okręgu i podziel go przez średnicę koła.

Porównajcie swoje wyniki.

Która z liczb otrzymanych w punktach od a do b jest najbliższa π od dołu? Która jest najbliższa od góry?

Czy wyniki Twoich pomiarów liczby π z zadania 1 mieszczą się pomiędzy najlepszym oszacowaniem od dołu a najlepszym oszacowaniem od góry, które otrzymaliśmy matematycznie?


Im większą liczbę boków będzie miał wielokąt foremny wpisany w koło tym bardziej będzie przybliżał długość okręgu od dołu, im większą liczbę boków będzie miał wielokąt foremny opisany na okręgu, tym bardziej będzie przybliżał długość okręgu od góry.

Próby policzenia dokładnej wartości \pi podjęto już w starożytności. Mówi o tym

Ciekawostka

Znanych jest wiele interesujących przybliżeń liczby π. Na przykład \pi=18(3-2\sqrt2) podane w hinduskim dziele Sulvasutras (co najmniej 500 lat p.n.e.), {\pi}={\sqrt{10}} (Święta księga Jainy,ok 500 lat p.n.e.), \frac{223}{71} <\pi<\frac{22}{7} - Archimedes ok.300 lat p.n.e.

W 1906 roku niemiecki matematyk Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) udowodnił między innymi to, że nie ma takiego ułamka, który równałby się liczbie π.

Oto rozwinięcie liczby π z dokładnością do 10 cyfr po przecinku:\pi=3,1415926535 \dots

Oczywiście to rozwinięcie dziesiętne nie może się zakończyć, bo wtedy liczba π byłaby ułamkiem, o czym wiemy po odkryciu Lindemanna, że jest nieprawdą. Dzisiaj z pomocą komputerów potrafimy już liczyć miliardy miejsc po przecinku w dziesiętnym rozwinięciu liczby π i wiemy, że nigdy nie dojdziemy do końca.

W zwykłych obliczeniach używamy przybliżenia π = 3,14.

Najczęściej we wzorze na obwód koła używamy nie średnicy d a promienia r, więc rzadziej piszemy, że obwód równa się πd, niż \pi\cdot2r, a więc zapamiętaj ten najczęściej używany wzór na długość okręgu i ten drugi


Ważne

Długość okręgu o promieniu r wynosi 2πr Długość okręgu o średnicy d wynosi πd

A teraz zastosujemy poznane wzory.

Przykład 1

Oblicz obwód koła a) o promieniu r = 1 cm. b) o średnicy d = 6 cm. c) o średnicy równej przekątnej kwadratu o boku 1 cm. W wyniku pozostaw liczbę π.

Rozwiązanie: Obwód = 2πr i też obwód = πd, gdzie r jest promieniem, a d średnicą.

a) Obwód = 2·πr = 2·π·1 cm = 2π cm,

b) Obwód = πd = π·6 cm = 6π cm.

c) Długość przekątnej kwadratu wyraża się wzorem  d=a\sqrt2 , gdzie a jest bokiem kwadratu, więc d=1\cdot\sqrt2 cm, zatem obwód równa się \pi \sqrt2 cm.


Przykład 2

Oblicz obwód zamalowanej figury przedstawionej na rysunku.


a)

Kolo pierscien.svg

b)

Kolo polkola.svg

Rozwiązanie a) Obwód figury jest równy R + 2πr = 2π(r + R)

b) R = 2r. Obwód figury jest równy  2\left(\frac{1}{2}2\pi r \right)+\frac{1}{2}2\pi R= 2\pi r+\pi R=\pi R+\pi R=2\pi R. Odpowiedź r też jest dobra.


Przykład 3

Długość okręgu wynosi a) 628 mm. b) 10π mm. Znajdź długość promienia okręgu. Wynik zapisz w cm. Przyjmij, że π = 3,14.

Rozwiązanie Obwód równa się r

a) Ponieważ r = 628 mm, więc r=\frac{628 \textrm{ \ mm}}{2\pi}=\frac{628 \textrm{ \ mm}}{2\cdot 3,14}=\frac{628}{6,28}\textrm{ \ mm}=100\textrm{ \ mm}=10\textrm{ \ cm}.

b) Ponieważ r = 10π mm, więc r=\frac{10\pi \textrm{ \ mm}}{2\pi}=5\textrm{ \ mm}=0,5\textrm{\ cm}. (Podstawienie π = 3,14 nie było konieczne).


Przykład 4

a) Znajdź długość łuku 135 stopniowego wycinka kołowego z koła o promieniu 3 cm.

b) Jaką długość ma łuk okręgu o promieniu 5 cm wycięty przez kąt wpisany o mierze 45°?

Rozwiązanie

Niech l oznacza szukaną długość łuku, o obwód koła. a) Kąt który odpowiada wycinkowi kołowemu jest kątem środkowym, wobec tego możemy skorzystać z następującej proporcji: długość łuku wycinka ma się tak do obwodu koła jak miara kąta danego wycinka do kąta pełnego.

\frac{l}{o}=\frac{135}{360}

Możemy uprościć ułamek po prawej stronie \frac{135}{360}=\frac{3}{8}, a o=2\pi \cdot 3=6\pi, więc

\frac{l}{6\pi}=\frac{3}{8}

Wyliczamy l z proporcji

l=\frac{6\pi \cdot3}{8}=\frac{18 \pi}{8}=\frac{9}{4}\pi


b) Wiadomo, że kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wobec tego szukamy długości łuku odpowiadającego kątowi środkowemu o mierze 2·45°=90°. Dalej możemy postąpić jak w punkcie a), ułożyć i rozwiązać odpowiednią proporcję lub po prostu zauważyć, że chodzi o \frac{1}{4} obwodu równego 2\pi\cdot 5 \textrm{\ cm}=10\pi \textrm{\ cm}, czyli szukany łuk ma długość \frac{1}{4}\cdot 10\pi=2\frac{1}{2}\pi \textrm{\ cm}.


ZADANIA

1. Ile ozdobnej tasiemki potrzeba do obszycia obrusa w kształcie koła o średnicy 120 cm? 2. Kąt środkowy wpisany w okrąg o średnicy d = 16 cm ma miarę 120°. Oblicz długość łuku, na jakim oparty jest ten kąt. 3. Prosta l przechodząca przez środek O okręgu przecina go w punktach A i B. Punkty te połączono z punktem C leżącym na okręgu. Oblicz długość okręgu jeżeli |AC|=5 cm, |BC|=12 cm. 4. W sześciokąt foremny o boku a = 4 cm wpisano okrąg. Oblicz długość okręgu. 5. Na kwadracie o boku a = 5 cm opisano koło. O ile procent obwód koła jest większy od obwodu kwadratu? Odpowiedź zaokrąglij do 1%. 6. Z okręgu o promieniu r = 10 cm utworzono łuk drugiego okręgu. Kąt środkowy odpowiadający temu łukowi wynosi 72°. Jaką długość ma promień drugiego okręgu?


Karta pracy

1.Zmierz obwód najgrubszego z drzew rosnących blisko Twojego domu na wysokości ok. 1 m. Jaka jest jego przybliżona średnica? 2. Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a = 3 cm i b = 4 cm. 3. W trójkąt równoboczny o obwodzie 27 cm wpisano koło. Jaki jest obwód tego koła? 4. Na kwadracie o boku a = 6 cm opisano okrąg, następnie narysowano drugi okrąg o środku w jednym z wierzchołków kwadratu i promieniu r = a. Oblicz obwód figury w kształcie „mniejszego rogalika”. 5. Łuk okręgu o promieniu r = 20 cm, któremu odpowiadał kąt \,60^{\circ}, przekształcono na okrąg. Oblicz promień tego okręgu. 6.Z okręgu o promieniu r = 4 cm wycięto łuk o długości d. Jaka jest miara kąta wpisanego opartego na tym łuku, jeśli a) d = 4π? b) d = 8π? c) d = 3,2π? d) d = 2π? 7.Jak długi jest łuk okręgu o promieniu 3 cm wycięty przez kąty środkowe: a) 36° ? b) 90° ? c) 30° ? d) 60° ? f) 335° ? 8. W okręgu o promieniu 4 cm zaznaczono kąt środkowy. Kąt wycina łuk o przybliżonej długości a) 12,56 cm, b) 25,12 cm, c) 6,28 cm, d) 16,75cm. Jaką miarę ma ten kąt?


Dla matematyka

Babcia Weronika marynowała grzyby.Czy w garnku o średnicy 22 cm zmieści się jej 6 słoiczków o średnicy 7 cm każdy?

Pole koła

Kiedy już nauczyliśmy sie liczyć obwód koła, znajdywanie pola koła okazuje się być nie takie trudne, jakby mogłoby się wydawać.

Pole koła a kwadrat promienia

Pole koła o promieniu r jest proporcjonalne do pola kwadratu o boku r. Patrz rysunek.

Prop 10a.svg

Tak więc nie jest to nic zadziwiającego, że wzór na pole P koła o promieniu r musi wyglądać następująco

P=k\cdot r^2

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności.

Powstaje, jak się okazuje, nietrywialne pytanie - jaki jest ten współczynnik proporcjonalności?


Okazuje się, że liczba π, którą poznaliśmy na poprzednich lekcjach, służy również do obliczania pola koła. Pole koła można obliczyć następująco: dzielimy koło na coraz większą {równą kolejnym potęgom dwójki) liczbę jednakowych wycinków i układamy je tak jak na rysunku poniżej. Narysowane jest tylko pierwszych 5 kroków.

Pole kola.svg


Z im więcej coraz mniejszych części składa się figura, którą otrzymujemy, i która stale ma pole koła, tym bardziej zbliża się ona do prostokąta o podstawie równej πr i wysokości równej r. Gdybyśmy ten proces brania coraz większej liczby coraz mniejszych wycinków mogli kontynuować w nieskończoność, to nasza figura stałaby się prostokątem, którego polem P jest

P=\pi r \cdot r=\pi r^2

A więc pole koła rzeczywiście jest proporcjonalne do r2, a współczynnikiem proporcjonalności jest ta sama liczba π, która jest współczynnikiem proporcjonalności obwodu koła do jego średnicy!

Zapamiętaj

Pole koła o promieniu r jest równe πr2.


Przykład 1

Oblicz pole koła o średnicy 150 mm. Wynik podaj w cm2. Rozwiązanie Jeśli d oznacza średnicę koła a r jego promień, to d = 2r. Jeśli d = 150 mm, to r = 75 mm = 7,5 cm. P=\pi r^{2}=3,14\cdot 7,5^2\textrm{\ cm}^2=176,63 \textrm{\ cm}^2.


Przykład 2

Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 8 cm. Rozwiązanie

[rysunek]

Niech d oznacza przekątną kwadratu. d=8\cdot \sqrt2 . d jest jednocześnie średnicą koła, a promień r koła jest dwa razy mniejszy od d i jest równy r=4\cdot \sqrt2 . Pole koła P to P=\pi r^2= \pi \left( 4\sqrt2 \right)^2=\pi\cdot 4\sqrt2\cdot 4\sqrt2=32\pi. Odpowiedź: Koło ma pole 32\pi \textrm{\ cm}^2.

Przykład 3

Koło ma średnicę 10 cm. O ile procent wzrośnie jego pole,gdy promień zwiększymy o 2 cm? Rozwiązanie Skoro średnica równa się 10 cm, to promień r jest równy 5 cm. Pole koła przed zwiększeniem, to πr2 = π25 cm2, a pole po zwiększeniu promienia o 2 cm to π(5 + 2)2 cm2, czyli 49\pi\textrm{\ cm}^2. Pole wzrosło z 25\pi \textrm{\ cm}^2 do 49\pi \textrm{\ cm}^2, czyli o 24\pi \textrm{\ cm}^2. Tak więc wzrost procentowy to \frac{24\pi \textrm{\ cm}^2}{25\pi \textrm{\ cm}^2}\cdot 100%=\frac{24\cdot 100}{24}%=24\cdot4%=96%

Odpowiedź: Pole koła wzrośnie o 96%.


ZADANIA

1. Oblicz pole koła, którego obwód wynosi 20π cm.

2. Oblicz pole koła, którego obwód wynosi 62,8 cm. Za π przyjmij 3,14.

3. O ile procent zmniejszy się pole koła, jeżeli jego promień zmniejszymy o 15%?

4. Z punktu A na okręgu poprowadzono dwie wzajemnie prostopadłe i równej długości cięciwy. Oblicz dokładnie łączną długość tych dwóch cięciw, jeżeli pole koła jest równe 36 \pi \textrm{\ cm}^2.

5. Dane są kwadrat i koło o jednakowych obwodach. Która z figur ma większe pole i o ile procent?

6.Na prostokącie o bokach 4 cm i 6 cm opisano okrąg.Oblicz obwód i pole powierzchni leżącej pomiędzy okręgiem a prostokątem.

7.Jaką powierzchnię powinien mieć okrągły obrus,aby zakrył prostokątny blat stołu o wymiarach 1 m x 1,5 m?


Dla matematyka

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu i ma długość 8 cm. Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez te okręgi.


Karta pracy

1. Oblicz obwód koła o polu 36π cm2. 2. W trójkącie prostokątnym odcinek łączący środek przeciwprostokątnej z wierzchołkiem kąta prostego ma długość 6 cm. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie. 3. Jaką częścią pola koła jest pole wycinka kołowego, którego kąt środkowy ma miarę a) 45°? b) 72°? c) 135°? d) 315°? 4. Na trójkącie równobocznym o boku a = 4 cm opisano koło, a na kole opisano kwadrat. Oblicz pole powierzchni leżącej pomiędzy trójkątem a kwadratem. 5. Długości przekątnych rombu mają się do siebie jak 3:4,a suma ich długości wynosi 42 cm. W ten romb wpisano koło. Oblicz pole tego koła. 6. Dany jest kwadrat o boku a = 6cm.Ze środka każdego boku zakreślono do wewnątrz kwadratu półkole.Oblicz pole powierzchni pomiędzy łukami (pole„kwiatka”).


Podsumowanie

Sprawdź sam siebie

1. Mając daną jedną z wielkości: r-promień koła, o-obwód koła, P-pole koła znajdź pozostałe a) r= 3 cm,r=7 cm, b) o=10π cm,o=28,6 cm, c) P=36πcm2,P=150 cm2.

2. Koło samochodowe o średnicy 0,80 m wykonało w czasie jazdy 3000 obrotów.Jaką drogę przejechał samochód?

3.Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 4 cm.Przeciwprostokątna tego trójkąta jest jednocześnie średnicą półkola na którym oparty jest trójkąt. Pole powierzchni figury będącej sumą trójkąta i półkola wynosi: a) 8+π? b) 4(2+π)? c) 4(1+π)? d) 10π? Oblicz obwód otrzymanej figury.

4.Dany jest trapez równoramienny o dłuższej podstawie równej 10 cm i ramieniu równym 3\sqrt{2} cm.Kąt przy podstawie wynosi 45°.W trapezie tym wycięto koło styczne do postaw,którego średnica należy do osi symetrii trapezu.Pole powierzchni figury powstałej po wycięciu koła wynosi: a) 30-π? b) 15(2+π)? c) 3(7-¾π)? d) 22-4π?

Oblicz obwód powstałej figury. 5. Jaką długość ma łuk okręgu o promieniu 5 cm wycięty przez kąt wpisany o mierze a) 15°? b) 12,5°? c) 60°? d) 90°?

6. Koło o średnicy 6 cm podzielono na 15 jednakowych części. Znajdź jego przybliżoną powierzchnię nie stosując wzoru na pole koła.

ZASTOSOWANIA

1. Czy 35 cm tasiemki wystarczy,aby obwiązać rulon o średnicy 1 m? 2. Właściciel jeziora chce ogrodzić brodzik dla dzieci i ma do dyspozycji 63 m ogrodzenia.Jaki kształt (półkola czy prostokąta w którym długość jest dwa razy większa od szerokości) powinien mieć ten brodzik,aby jego powierzchnia była jak największa? 3. Zewnętrzny obwód rury ciśnieniowej z polietylenu wynosi 502,40 mm,a wewnętrzny - 442,74 mm. Oblicz grubość ścianki tej rury. 4. Pani Kasia postanowiła uszyć spódnicę półkloszową (z półkola). Potrzebne wymiary to -obwód w talii - 68 cm, -długość spódnicy - 70 cm, -długość paska przyszytego w talii - 75 cm, -szerokość paska (z podwójnego materiału) - 4 cm.

Ile metrów bieżących materiału o szerokości 1,40 m potrzeba na taką spódnicę? Jaki procent materiału będzie niewykorzystany? 5. Czy przez tunel w kształcie półkola i średnicy 9 m przejedzie samochód o wysokości 4 m i szerokości 2,8 m? 6. Na działce dziadka Jana pasła się kózka uwiązana do palika wbitego w ziemię przy samym rogu letniego domku o wymiarach 3 m x 5 m. Sznurek na którym była uwiązana miał 5 m długości. a)Wyznacz obszar,po którym mogła się poruszać kózka i znajdź jego obwód. b)Oblicz pole tego obszaru. c)Kózka może wyskubać w ciągu dnia trawę z ok. 10 m2.Po jakim czasie zabrakło jej trawy?


Literatura,linki itp.

Matematyka 8. Repetytorium ośmioklasisty -WSiP Testy kompetencyjne dla uczniów 3 klasy gimnazjum - wyd.BIMART Testy egzaminacyjne z matematyki dla kandydatów do szkół średnich -wyd.HARMONIA Matematyka 2.Lekcje powtórzeniowe w gimnazjum -wyd.MATEMATYKA Z PLUSEM