Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Obwód i pole wielokąta

Matematyka: Obwód i pole wielokąta

Komentarze Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Skocz do: nawigacji, wyszukiwanie

Modułem opiekuje się: elab

Spis treści

1 Obwód figury
2 Powierzchnia jako ilość kwadratów jednostkowych
3 Pole prostokąta i kwadratu
4 Pole równoległoboku
5 Pole trapezu
6 Pole trójkąta
7 Pole figur złożonych z różnych wielokątów
8 Pole rombu
9 Ćwiczenia
10 Sprawdź sam siebie
11 Zastosowania
12 Co masz zapamiętać?
13 Literatura, linki itp.
14 Terminy (słowniczek)

Obwód figury

Piotr wyjechał z domu na rowerze do biblioteki, potem kupił pieczywo w piekarni, warzywa i owoce w warzywniaku, i w drodze do domu kupił ciasto w cukierni. Jaką figurę zakreślił Piotr? Jakiej długości trasę przejechał?

Droga jaką przejechał Piotr to obwód wielokąta.

Ważne

Obwód figury to suma długości wszystkich boków figury

1. Zapisz obwód danych figur wzorami:
a/

2. Oblicz obwody wielokątów, mając dane długości ich kolejnych boków:
a/ $A B = 2,4 c m$ $BC=3 \frac{3}{5} cm$ $CA=5 \frac {2}{8}$

b/ $LM=4 \frac{2}{3} cm$ $K L = 5,6 c m$ $NK=7 \frac {2}{9}$

c/ $PR=2\frac{1}{5} cm$ $R S = 4,3 c m$ $ST=7 \frac {2}{9}$ $T U = 6 c m$

3. Obwód trójkąta o dwóch bokach o długości 13 cm i 12 cm ma miarę 34 cm. Jak długi jest trzeci bok?

4. Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 23 cm, podstawa ma długość 15 cm. Podaj długości pozostałych boków.

5. Ile można narysować kwadratów o zadanym obwodzie? Ile można narysować prostokątów o danym obwodzie? Ile można narysować trójkątów o danym obwodzie? Ile można narysować trapezów o danym obwodzie?

Powierzchnia jako ilość kwadratów jednostkowych

Piotr jadąc na rowerze zakreślił siedmiokąt. Ile kwadratów o boku $100 m$ można na nim zmieścić? A ile kwadratów o boku $50 m$ możemy ułożyć na tym siedmiokącie?

Ilość kwadratów, które możemy zmieścić na danej figurze nazywamy miarą powierzchni albo miarą pola danej figury.

6. Która z figur przedstawiona na rysunku ma największe pole?

7. Uzasadnij, że pola figur danych na rysunku mają równe pola.

8. Dany jest kwadrat o boku 18 cm. Jaki bok musi mieć kwadrat jednostkowy, aby pole danego kwadratu było równe
a/ 36 tych jednostek?
b/ 81 tych jednostek?
c/ 4 te jednostki?
d/ 25 tych jednostek?

9.Ile kwadratów o boku 1 cm mieści się w kwadracie o boku 1dm? Ile kwadratów o boku 1 mm zmieści się w kwadracie o boku równym 1 cm?

Ważne

$1 c m 2 = 100 m m 2$
$1 d m 2 = 100 c m 2 = 10000 m m 2$
$1 m 2 = 100 d m 2 = 10000 c m 2 = 1000000 m m 2$
$1 a = 100 m 2 = 10000 d m 2 = 1000000 c m 2 = 100000000 m m 2$
$1 h a = 100 a = 10000 m 2 = 1000000 d m 2 = 100000000 c m 2 = 10000000000 m m 2$

10.

Pole prostokąta i kwadratu

10. Jakie pole ma prostokąt o wymiarach:
a/ $a=\frac {1}{2} dm$ , $b=2\frac {1}{2}dm$ b/ $a = 4,3 c m$ , $b = 5,6 c m$
c/ $a=6\frac {1}{2}dm$ , $b = 12 c m$
d/ $a=4\frac {1}{3}cm$ , $b=2\frac {3}{4}dm$

11. Pole prostokąta jest równe $24 c m 2$ Jakie wymiary może mieć ten prostokąt?

12. Powierzchnia prostokąta wynosi $36 c m 2$ . Jaki jest bok prostokąta, jeśli drugi ma długość:
a/ $a = 4 c m$
b/ $a = 7 c m$
c/ $a = 2,4 d m$
d/ $a=\frac {1}{3} dm$

13.Jeden bok prostokąta jest dwa razy dłuższy od drugiego. Jaką długość mają boki tego prostokąta, jeśli pole wynosi $18 c m 2$ ?

14.Obwód prostokąta ma długość $28 c m$ . Jeden z boków prostokąta ma długość 6 cm. Oblicz pole tego prostokąta.

Ważne

Pole prostokąta: $P= a\cdot b$ $Obw= 2 \cdot a + 2 \cdot b$

Ważne

Pole kwadratu: $P = a 2$ $Obw= 4 \cdot a$

15. Oblicz pole kwadratu o boku 12 cm, a następnie pole kwadratu o boku:
a/ dwa razy mniejszym
b/ trzy razy większym
c/ o 2 cm krótszym
d/ o 4 cm dłuzszym

16. Oblicz pole prostokąta o wymiarach $0,6 d m$ i $24 c m$ . jaką długość ma bok kwadratu o takim samym polu?

17. Z prostokąta o wymiarach $3,4 c m$ i $\frac{4}{5} dm$ wycięto kwadrat o boku długości $30 m m$ . Jakie pole ma otrzymana figura?

Pole równoległoboku

Weźmy dowolny równoległobok o podstawie $a$ i wysokości opuszczonej na tę podstawę $h$

Rozetnijmy go wzdłuż wysokości.

Odciętą część przesuńmy tak, aby otrzymać prostokąt.

Tym samym pokazaliśmy, że pole równoległoboku o podstawie $a$ i wysokości opuszczonej na tę podstawę $h$ jest równe polu prostokąta o bokach $a$ i $h$

Ważne

Pole równoległoboku: $P= a\cdot h$ $Obw= 2 \cdot a + 2 \cdot b$

18. Oblicz pole równoległoboku o podstawie $a$ oraz wysokości opuszczonej na tę podstawę $h$
a/ $a = 2 c m$ , $h = 5 c m$
b/ $a = 3,6 c m$ , $h = 4,5 c m$
c/ $a = 7,2 c m$ , $h=1\frac {1}{9}cm$
d/ $a=3 \frac {1}{9}cm$ , $h=1\frac {1}{7}cm$

19.Wyznacz długość podstawy równoległoboku o polu $240 c m 2$ i wysokości opuszczonej na tę podstawę $h$
a/ $S = 25 c m 2$ , $h = 15 c m$
b/ $S = 3,6 d m 2$ , $h = 4,5 c m$
c/ $S = 7,2 c m 2$ , $h=2\frac {1}{4}cm$
d/ $S=45 \frac {1}{9} cm^2$ , $h=1\frac {1}{4}cm$

20. Rysunek przedstawia równoległobok. Przyjmując że 1 kratka to jednostka, narysuj
a/ równoległobok o takim samym polu ale o podstawie dwa razy krótszej
b/ równoległobok o takim samym polu ale o wysokości trzy razy krótszej
c/ równoległobok o polu dwa razy mniejszym
d/ równoległobok o polu dwa razy większym
e/ równoległobok, którego pole jest w stosunku $2:3$ do pola narysowanego równoległoboku
f/ równoległobok, którego pole stanowi $\frac{1}{6}$ pola danego równoległoboku
g/ równoległobok, którego pole stanowi $25%$ pola danego równoległoboku

Pole trapezu

Weźmy dowolny trapez o podstawach $a$ i $b$ i wysokości $h$

Rozetnijmy ten trapez w połowie wysokości, równolegle do podstaw. Otrzymamy dwa różne trapezy. Mniejszy trapez rozetnijmy wzdłuż wysokości.

Teraz obróćmy części mniejszego trapezu i dopasujmy do ramion większego trapezu

Otrzymaliśmy prostokąt o podstawie $(a + b)$ i wysokości $\frac{1}{2}h$ albo mówiąc inaczej o bokach $(a + b)$ i $\frac{1}{2}h$ .

Zatem pole trapezu jest równe polu prostokąta o bokach $(a + b)$ i $\frac{1}{2}h$ Pole prostokąta jest równe iloczynowi boków, więc pole trapezu jest równe $P=(a+b) \cdot\frac{ h}{2}$

Ważne

Pole trapezu: $P=\frac{(a+b) \cdot h}{2}$ $O b w = a + b + c + d$

21.Wykaż, że pola trapezów EFGK, EFIM, EFHL przedstawione na rysunku są równe, jeśli $G H = H I = I K = K L = L M$ .
Wskaż inne trapezy o równych polach na rysunku.

22. Oblicz pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h
a/
b/
c/
d/

23. Oblicz pole trapezów danych rysunkiem

24. Narysuj trzy trapezy, w których wysokość wynosi $4 c m$ a pole jest równe $20 c m$ .

25. Pole trapezu jest równe $36 c m$ , jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa do drugiej. Wyznacz wysokość tego trapezu.

26. Wyznacz długość krótszej podstawy trapezu, jeśli pole trapezu wynosi $28 c m$ , wysokość $0,2 d m$ , a dłuższa podstawa ma długość $22 c m$ .

27. Jaką długość ma krótsza podstawa trapezu, jeśli pole wynosi $0,32 d m$ , długość dłuższej podstawy to $6 \frac{1}{5}$ a wysokość trapezu wynosi $5 c m$

Dla matematyka

Pole trapezu jest równe 24 cm², wysokość jest równa krótszej podstawie. Jaka jest długość podstaw i wysokości tego trapezu, jeśli są one liczbami naturalnymi.

Pole trójkąta

Weźmy dowolny trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h$ .

Rozetnijmy ten trójkąt równolegle do podstawy, w połowie wysokości.

Powstał nam trójkąt i trapez. Rozetnijmy teraz trójkąt wzdłuż wysokości.

Powstały nam teraz dwa trójkąty. Obróćmy każdy z trójkątów o 180°.

Z powstałych figur możemy złożyć prostokąt o bokach $a$ i $\frac{1}{2}\cdot h$ .

Zatem pole trójkąta o podstawie $a$ i wysokości $h$ jest równe polu prostokątao bokach $a$ i $\frac{1}{2}\cdot h$ .

Ważne

Pole trójkąta: $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$ $O b w = a + b + c$

28. Zapisz pola trójkątów danych rysunkiem w postaci wzorów.

29. Oblicz pole trójkąta, którego podstawą jest odcinek $a$ a wysokością odpowiadającą temu bokowi jest odcinek h.
a/ $a = 3 c m$ $h > = 6 c m$
b/ $a = 4,5 c m$ $h=2 \frac{2}{3} cm$ c/ $a = 4 c m$ $h=3 \frac{1}{2} cm$ d/ $a=4 \frac{1}{5} cm$ $h = 1,4 d m$

30. Oblicz wysokość trójkąta opuszczona na dany bok $a$ , jeśli pole trójkąta wynosi $P$
a/ $a = 18 c m$ $P > = 72 c m 2$
b/ $a = 4,5 c m$ $P=1\frac{4}{5} cm^2$ c/ $a = 7 c m$ $P=2 \frac{5}{9} cm^2$ d/ $a=5 \frac{2}{2} cm$ $P = 1,8 d m 2$

31.Trójkąt ma pole równe $P$ , zaś jedna z wysokości ma długość $h$ . Oblicz długość boku, której odpowiada dana wysokość
a/
b/
c/
d/

32. W trójkącie prostokątnym o polu $P$ jedna przyprostokątna ma długość $k$ . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
a/
b/
c/
d/

Pole figur złożonych z różnych wielokątów

33. Oblicz pola figur przedstawionych na rysunku przyjmując długość boku kratki za jednostkę.
a/

Pole rombu

Ważne

Pole rombu: $P=\frac{d_{1} \cdot d_{2} }{2}$ $Obw= 2 \cdot a + 2 \cdot b$

[Red: jako pole dwóch trójkątów lub z pola prostokąta]

34. Oblicz długość boku rombu, jeśli pole rombu wynosi 25 cm², a wysokość 1,25 dm.

Uzasadnij, że pole dowolnego czworokąta, którego przekątne są prostopadłe, jest równe połowie iloczynu przekątnych.

Ćwiczenia

Karta pracy

tekst karty

35. Kwadrat przecięto prostą, która podzieliła go na dwie figury o polach równych
$17 \frac {3}{4} cm^2$ $7,25 c m 2$ . Jakiej długości jest bok tego kwadratu?

36. Prostokąt o boku długości $3,5 c m 2$ podzielono na trzy figury o polach równych odpowiednio $7\frac {1}{2} cm^2$ , $8,45 c m 2$ oraz $9,425$ . Jaką długość ma drugi bok prostokąta>?

37. Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 1,6 cm, wysokość opuszczona na podstawę dzieli go na dwa trójkąty, Każdy o obwodzie 1,2 cm. Oblicz wysokość tego trójkąta.

38. Oblicz długości boków prostokąta $A B C D$ o obwodzie 38 cm, jeśli $AB=\frac{2}{3} BC$ a $BC=\frac{2}{3} AC$ .

39. Obwód prostokąta ma miarę 2,4 dm, jeden z boków ma długość 6 cm. Oblicz obwód i pole tego prostokąta, jeśli powiększymy każdy bok 3 razy.

40. Przekątna dzieli prostokąt o obwodzie 28 cm na dwa trójkąty o obwodach równych 2,4 dm. Jaka jest długość przekątnej?

41. Narysuj romb, którego obwód jest o 18cm dłuższy od jego boku.

42.W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 2 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

43. Pole kwadratu $A B C D$ jest równe 42 cm. Jaką miarę ma pole:
a/ prostokąta $A B F H$
b/ trójkąta $D C S$
c/ trójkąta $A E S$
d/ pięciokąta $S G C B A S$
e/ sześciokąta $G S H A B C G$

44. Różnica między bokami prostokąta jest równa $8 c m$ . Jeden bok stanowi $\frac {3}{4}$ drugiego boku. Oblicz pole tego prostokąta.

45. Dany jest prostokąt o wymiarach $3 c m$ i $4 c m$ . O ile należy zwiększyć jeden z boków tego prostokąta, aby pole wzrosło o $15 c m 2$ ?

46. Dany jest prostokąt o wymiarach $5 c m$ i $4 c m$ . O ile należy zmniejszyć jeden z boków tego prostokąta, aby pole zmniejszyło się o $8 c m 2$ ?

Dla matematyka

1. Długość jednego boku prostokąta zmniejszono o 10%, a długość drugiego powiększono o 10%. Czy pole tego prostokąta zmieniło się? Jeśli tak to o ile?
2. Jeden bok prostokąta jest dwa razy dłuższy od drugiego, jeśli zwiększymy dłuższy bok o 2 cm, a krótszy o 5 cm to pole powierzchni zwiększy się o $58 c m 2$ . Jakiej długości są boki tego prostokąta?
47. Jeden bok prostokąta ma długość 6 cm, a drugi 3 cm. Jeśli krótszy bok zwiększymy o 2 cm, a dłuższy zmniejszymy, to pole prostokąta zwiększy się o $7 c m 2$ . O ile należy zmniejszyć dłuższy bok

48. Bok trójkąta ma długość równą $4 \frac {3}{4}cm$ , a odpowiadająca mu wysokość stanowi $60%$ tego boku. Oblicz pole tego trójkąta.

49.W trójkącie DEF dane są $E F = 5,5 c m$ , $h E F = 6 c m$ i $DF=1 \frac{1}{2}$ . Oblicz $h D F$

50. Dany jest trójkąt prostokątny KLM o kącie prostym K, gdzie $K L = 3 c m$ , $L M = 45 c m$ i $K M = 4 c m$ . Oblicz wysokości opuszczone na każdy bok trójkąta.

Dla matematyka

4. Wykaż, że pole prostokąta, którego przekątna jest nachylona do jednego z boków pod kątem $30 o$ , jest równe polu trójkąta równobocznego o boku równym przekątnej prostokata.
5. Mając dany dowolny trójkąt skonstruuj prostokąt o polu równym polu trójkata

51.Punkty $A = ( - 3, - 4)$ , $B = ( - 3,3)$ i $C = (2, - 0,5)$ są wierzchołkami pewnego trójkąta. Oblicz jego pole odczytując potrzebne wartości z rysunku.

52. Wysokości równoległoboku są równe $2,4 c m$ i $4 c m$ , a pole jest równe $12 c m 2$ . Oblicz obwód tego równoległoboku.

53. Obwód równoległoboku jest równy $45 c m$ , przy czym jeden z boków ma długość $4 c m$ , a wysokość opuszczona na ten bok ma długość $3,1 c m$ . Oblicz wysokość opuszczoną na drugi bok równoległoboku.

54. Obwód równoległoboku jest równy $84 c m$ , jedna z wysokości stanowi $\frac {5}{7}$ drugiej wysokości. Oblicz długości boków równoległoboku.

55. Wysokości równoległoboku są równe $2,4 c m$ i $4 c m$ , a pole ma miarę $12 c m 2$ . Oblicz obwód tego równoległoboku.

56. Obwód równoległoboku jest równy 24 cm, jeden z boków ma długość 1,2 dm, a wysokość opuszczona na ten bok 3 cm. Oblicz druga wysokość tego równoległoboku.

57. Obwód równoległoboku jest równy 12 cm, jedna z wysokości stanowi $\frac{5}{7}$ drugiej wysokości. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

58. Narysuj dowolny równoległobok DESK, następnie narysuj
a/ prostokąt o polu równym polu tego równoległoboku
b/ trójkąt o polu równym polu tego równoległoboku

59. Narysuj równoległobok KLMN o wierzchołkach, jeśli $K = ( - 4,2) L = (2,2) M = (2,7)$ . Odczytując długości odpowiednich odcinków z rysunku oblicz pole tego równoległoboku.

60. Dany jest romb ABCD, oraz równoległobok KLMN o równych polach o mierze 1,4 dm². Długość odcinka AB stanowi 125% długości odcinka KL. Wysokość równoległoboku odpowiadająca bokowi KL ma długość 6 cm. Oblicz długość boku i wysokość rombu.

Ciekawostka

Cavalieri sformułował zasadę, w myśl której pola dwóch obszarów są sobie równe, jeśli wszystkie odcinki przekroju tych obszarów prostą należącą do ustalonego kierunku mają tę samą długość na tej samej wysokości tego obszaru

Zobacz więcej http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/pabich/s7a.htm

Sprawdź sam siebie

Czy rozumiem?

tekst

Zastosowania

1. Ile należy zapłacić za tapetę do kuchni o wymiarach $3m \times4m$ jeśli większość tapet winylowych jest sprzedawana w eurorolkach (dł.10,05 m, szer.53 cm) i rolka tapety kosztuje 45 zł. Przyjmij, że wysokośc kuchni to $2,5 m$

2. Ile będzie kosztować wykładzina na podłogę w przedpokoju, którego plan jest przedstawiony na rysunku
Wykładzina sprzedawana jest z rolki o szerokości 1,20 m, a cena metra bieżącego wynosi 59 zł.

Co masz zapamiętać?

Zapamiętaj

Pole prostokąta obliczamy mnożąc dwa rózne boki przez siebie $P= a\cdot h$
Obwód prostokąta jest sumą podwojonych długości boków $Obw= 2 \cdot a + 2 \cdot b$ lub podwojoną sumą dwóch różnych boków $Obw= 2 \cdot (a + b)$

Pole kwadratu obliczamy podnosząc do kwadratu długość boku $P = a 2$
Obwód kwadratu jest równy czterokrotności długości boku $Obw= 4 \cdot a$
Pole równoległoboku jest równe iloczynowi długości boku przez wysokość równoległoboku $P=a\cdot h$
Obwód równoległoboku jest równy podwojonej sumie różnych boków $Obw= 2 \cdot (a + b)$
Pole trapezu jest równe iloczynowi sumy podstaw przez połowę wysokości trapezu $P=\frac{(a+b) \cdot h}{2}$
Obwód trapezu obliczając sumę wszystkich boków trapezu $O b w = a + b + c + d$

Pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta o takiej samej podstawie i wysokości $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$
Obwód trójkąta jest sumą boków $O b w = a + b + c$

Pole rombu jest równe połowie iloczynu przekątnych $P=\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$
Obwód rombu jest równy sumie podwojonych długości boków $Obw= 2 \cdot a + 2 \cdot b$

Literatura, linki itp.

1.M.Świst B. Zielińska, "Zbiór zadań z geometrii dla szkoły podstawowej", WSiP, Warszawa 1992.

http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/pabich/s7a.htm

Terminy (słowniczek)

Źródło: "http://wiki.wolnepodreczniki.pl/Matematyka:Gimnazjum/Obw%C3%B3d_i_pole_wielok%C4%85ta"

Matematyka: Obwód i pole wielokąta

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Spis treści

Obwód figury

Powierzchnia jako ilość kwadratów jednostkowych

Pole prostokąta i kwadratu

Pole równoległoboku

Pole trapezu

Pole trójkąta

Pole figur złożonych z różnych wielokątów

Pole rombu

Ćwiczenia

Sprawdź sam siebie

Zastosowania

Co masz zapamiętać?

Literatura, linki itp.

Terminy (słowniczek)

CAŁE WIKI:

POMOC:

MOJE KONTO:

Obecnie na wiki