Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Liczby wymierne 1

Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Spis treści 1 Liczby 1.1 Zapisywanie liczb 1.1.1 Sposób egipski 1.1.2 Sposób japoński 1.1.3 Sposób rzymski 1.2 Układy pozycyjne 1.2.1 Gra “Dziesiątki” 2 Liczby całkowite 2.1 Definicje 2.2 Zadania 2.3 Działania na liczbach całkowitych 2.3.1 Dodawanie 2.3.1.1 Zadania 2.3.2 Odejmowanie 2.3.2.1 Zadania 2.3.3 Liczby przeciwne 2.3.3.1 Gra Pionki 2.3.3.2 Projekt Strefy czasowe 2.3.4 Mnożenie liczb całkowitych 2.3.5 Dzielenie liczb całkowitych 2.3.5.1 Zadania 2.4 Kolejność wykonywania działań. 3 Ułamki 3.1 Pojęcie ułamka 3.2 Złoty podział 3.3 Rozszerzanie i skracanie ułamków 3.3.1 Zadania 3.4 Działania na ułamkach 3.4.1 Dodawanie i odejmowanie ułamków 3.4.1.1 Zadania 3.4.2 Mnożenie ułamków. 3.4.3 Dzielenie ułamków. 3.5 Zadania 4 Liczby dziesiętne 4.1 Dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych 4.2 Zaokrąglanie liczb dziesiętnych 4.3 Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000 ... 4.3.1 Zamiany jednostek 4.3.1.1 Jednostki długości 4.3.1.2 Jednostki powierzchni 4.3.1.3 Jednostki objętości 4.4 Mnożenie liczb dziesiętnych 4.5 Dzielenie liczb dziesiętnych 4.6 Projekt “Wycieczka do Paryża”

Liczby

Pitagoras mówił “Liczba rządzi wszechświatem”.

		Moje edycje 2504 info
Ponumerowane komputery.	Bramki w metrze w Paryżu liczą pasażerów.	Licznik edycji autora tej strony.

Numerujemy domy, żeby trafić pod właściwy adres. Liczymy uczniów na wycieczce, żeby nikt się nie zgubił. Zdjęcia komputer lub aparat cyfrowy zapisuje za pomocą liczb.
Komputer potrafi rozwiązać wiele problemów, jeśli tylko potrafimy je opisać w języku liczb. Może nawet narysować piękny obraz, który jest opisany liczbami.

Przedstawiony tu zbiór nazywa się fraktalem i jest rozwiązaniem pewnego równania rekurencyjnego. Narysował go komputer.
Z pewnością widziałeś jak w sklepie pani sprzedawczyni wczytuje kod kreskowy kupowanego towaru. Komputer potrafi taki kod odczytać i dopisać do rachunku odpowiednią cenę.

Zapisywanie liczb

Od bardzo dawna ludzie posługują się liczbami i zapisują liczby w najróżniejszy sposób.

Sposób egipski

Starożytni Egipcjanie zapisywali liczby takimi znakami:

Żeby zapisać czterysta, Egipcjanin rysował cztery znaki oznaczające sto. Aby napisać rok 1981, trzeba już narysować więcej znaków.

---

Zadanie 1
Zapisz rok Twoich urodzin w systemie egipskim.

---

Sposób japoński

Japończycy zapisują liczby używając następujących znaków:

Liczby piszą w kolumnach.

---

Zadanie 2

Zapisz po japońsku rok, w którym skończysz 18 lat.

Zadanie 3

Zapisz po japońsku obecny rok.

---

Sposób rzymski

Cyfry rzymskie na zegarku.	Cyfry rzymskie na szkolnej tarczy.

Oto podstawowe cyfry rzymskie:

Z tych podstawowych cyfr Rzymianie budowali nowe znaki potrzebne do oznaczenia innych liczb. Sposób tego zapisu w oznaczeniach numeracji szkół i klas mocno się u nas zakorzenił.
Liczby oznaczone poszczególnymi cyframi należało dodać lub odjąć. Zawsze, gdy cyfra oznaczająca mniejszą liczbę jest przed cyfrą oznaczającą większą liczbę, należy od tej większej liczby odjąć mniejszą:
VI = 5+1 = 6 ale IV = 5 - 1 = 4
DC=500+100 ale CD = 500 - 100 = 400

---

Zadanie 4

Którego tomu brakuje ?

Zadanie 5

Zapisz następujące równości cyframi arabskimi:

Zadanie 6

Przeczytaj i zapisz rok cyframi arabskimi:
Pierwszy raz słowo “informatyka” zabrzmiało w Polsce w roku MCMLVIII.
Pierwszy komputer IBM PC pojawił się w sklepach w roku MCMLXXVII.

Układy pozycyjne

---

Gra “Dziesiątki”

Wygrywa ten, kto w ciągu jednej minuty narysuje najwięcej kresek. Żeby można było łatwo policzyć - kreski rysujemy dziesiątkami.
O tak:

---

W systemie dziesiątkowym do zapisywania liczb używamy tylko 10 znaków:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Znaki te nazywamy CYFRAMI. Wartość cyfry zależy od POZYCJI, na której ona się znajduje.

Jest to układ POZYCYJNY. Sposób egipski i japoński zapisywania liczb nie jest pozycyjny.

Komputer wykonuje różne zadania posługując się sygnałami elektrycznymi. Prąd elektryczny płynie - stan włączenia (angielskie “ON”). Prąd nie płynie - stan wyłączenia (angielskie “OFF”). Wygodnie jest więc używać tylko dwóch cyfr: 1 i 0. Te dwie cyfry z układu dwójkowego nazywane są bitami. Słowo bit pochodzi od angielskich wyrazów BInary digiT, czyli cyfra dwójkowa. Liczby zapisywane są w urządzeniach elektronicznych w układzie dwójkowym.
Układ dwójkowy, podobnie jak dziesiętny, jest to układ pozycyjny, gdzie wartość cyfry zależy od jej pozycji.
W układzie dziesiątkowym kolejne rzędy to jedności, dziesiątki, setki, tysiące itd.

A w układzie dwójkowym: jedności, dwójki, czwórki, ósemki, szesnastki, trzydziestki dwójki itd.

W układzie dwójkowym 63 zapiszemy jako 111111. Na dole dopisujemy małą cyfrę 2, żeby zapisać, że to system dwójkowy.
Zapiszemy teraz kilka liczb w systemie dwójkowym. Wykorzystamy jako cyfry żarówki. Żarówka zapalona będzie oznaczała cyfrę 1. Żarówka wyłączona - cyfrę 0. Zwróć uwagę w jakim rzędzie znajduje się żarówka. Od jej pozycji zależy jaką wartość ma cyfra, którą żarówka przedstawia. Popatrz na przykład:

---

Zadanie 7

Jaką liczbę zapisano w systemie dwójkowym w poniższych zadaniach? Zapalona żarówka oznacza cyfrę 1, zgaszona - cyfrę 0.
a)

b)

---

Dla miłośników układu dwójkowego wyprodukowano nawet zegarek, który pokazuje godzinę w układzie dwójkowym.

Zegarek w układzie dwójkowym. Rząd pierwszy wyświetla godzinę, a rząd drugi - minuty.

Zadanie 8

Którą godzinę wskazuje ten dwójkowy zegarek na fotografii powyżej?

Liczby całkowite

Przez długi czas ludzie nie posługiwali się liczbami ujemnymi. W średniowieczu zamiast pisać przed liczbą znak “- ” pisano słowo “minus ”. Po łacinie oznacza to “mniej”. Zamiast znaku “+” pisano “piu”, co znaczy po włosku “więcej”. Dopiero w roku 1489 Niemiec Ryszard Widmann użył znaków “+” i “-” przed liczbami.
Obecnie liczby ujemne oraz działania wykonywane na tych liczbach okazują się bardzo potrzebne. Oto kilka przykładów ich użycia.

Jest zima.	Termometr wskazuje aż -12 stopni Celsjusza.

Komputery w NASA odmierzają czas do startu rakiety: -30 sekund, - 20 sekund. - 10 sekund, 0 sekund.	Rakieta wystartowała.

Te piękne rafy koralowe znajdują się na głębokości 30 metrów pod wodą.	Raczki Elbląskie. Poziom: -2 metry.

Winda zatrzymuje się na piętrach -2, -1, 0, 1, 2 i 3.	Piętra -1 i -2 są pod ziemią.

Definicje

Liczby 0,1,2,3,4,..... nazywamy liczbami naturalnymi.

Liczby .....,-4, -3, -2. -1, 0, 1, 2, 3, 4,..... nazywamy liczbami całkowitymi.

Liczby 1, 2, 3, 4,..... nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi.

Liczby -1, -2, -3, -4,..... nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
Do zapisywania liczb całkowitych używamy znaków "+" ( plus) i "-" (minus). Znaki te są takie same jak znak dodawania i odejmowania, ale oznaczają coś zupełnie innego.
Znak "+" często opuszczamy zapisując liczbę dodatnią:
+5=5

Zadania

1 Wymień

2 Jakie współrzędne ma punkt zaznaczony na osi ?

a)	b)	c)	d)

3 Wymień dwie liczby całkowite, które spełniają warunek:

4 Zapisz liczbę całkowitą ujemną, która jest większa od -1000 000.

5 Zapisz najmniejszą liczbę trzycyfrową.

6 Wypisz 5 liczb całkowitych, które na osi liczbowej są w odległości od 0
mniejszej niż 3.

7 Ile jest liczb całkowitych, których odległość od zera jest mniejsza od 100 ?

8 Jaka jest najmniejsza liczba naturalna ?

9 Ile jest liczb całkowitych, które spełniają warunek

10 Czy następujące zdanie jest prawdziwe ?

11 Narysuj oś czasu i zaznacz na niej nazwiska wybitnych matematyków, którzy urodzili się w starożytności.

Euklides ur. 365 p.n.e.	Pitagoras ur. 580 p.n.e.	Tales ur.625 p.n.e.

Działania na liczbach całkowitych

Dodawanie

Najłatwiej jest zrozumieć, jak wykonuje się działania na liczbach ujemnych, na “wpłatach” i “wypłatach”.

W poniedziałek wpłata wyniosła 1000 zł , a wypłata na zakupy -100 zł. Na koncie zostało 900 zł.
We wtorek wpłata wyniosła 900 zł, a wypłata -1000 zł. Na koniec nie było już pieniędzy. Powstał debet -100 zł.

Zadanie 1

Bez obliczania wyniku określ, jaki znak będzie miał wynik- “+” czy “-”.

---

W środę wydano na zakup aparatu 200 zł i na opłatę raty też 200 zł. W sumie wydano 400 zł. Na koncie było -400 zł. Natomiast w czwartek wpłacono 90 złotych i wydano 90 zł. Na koncie zostało 0 zł.
W tabelce zapisaliśmy różne przypadki dodawania liczb całkowitych.

Zadania

1 Oblicz bez pomocy kalkulatora.

2 Oblicz za pomocą kalkulatora. Sprawdź wyniki w poprzednim zadaniu.

Odejmowanie

Każdy uczeń potrafi wykonać i zrozumieć działanie
5 - 2 = 3 .
Ale działanie
5 - (-2) =
wydaje się trochę dziwne.
Popatrzmy na odejmowanie jak na porównywanie. Kasia ma 14 lat, a Zosia ma 8 lat. O ile lat więcej ma Zosia ?
14 - 8 = 6
Odejmowanie liczb całkowitych zastosujemy do porównania, kto ma więcej pieniędzy.

Podobnie porównamy dwie liczby ujemne. Kasia ma dług 50 złotych, a Asia dług 10 złotych. Kasia ma dług o 40 złotych większy od Asi.

Michał ma pusty portfel. Ma zero złotych. Jarek ma -5 złotych, ma dług.
O ile złotych więcej ma Michał ?
0 - ( - 5) =
Michał ma o 5 złotych więcej od Jarka. Jarek musi zdobyć 5 złotych i oddać dług. Wtedy będą mieli tyle samo pieniędzy - zero złotych.
0 - (-5)= + 5 = 5
W poprzednich przykładach odejmowanie oznaczało porównywanie, ile więcej masz lat, ile więcej masz pieniędzy.
“Odjąć” często oznacza “zabrać”. Masz 5 cukierków, oddasz 3 koleżance, zostanie 5 - 3. Jak w takim znaczeniu rozumieć 5 - (-3) ? Jaki będzie wynik ?
Oto przykład, w którym będziemy odejmować ujemne punkty.
Wszystkie klasy pierwsze pisały test z matematyki. Za zadania rozwiązane dobrze dostawało się punkty dodatnie, a za zadania rozwiązane źle - punkty ujemne.
Pani od matematyki sprawdziła testy, oddała uczniom i wtedy cała klasa Ih) zgłosiła reklamację.
- Nie mogliśmy rozwiązać ostatniego zadania, ponieważ nasza klasa była w muzeum i nie uczyła się jeszcze o odejmowaniu liczb ujemnych. Wszyscy za to zadanie otrzymali minus pięć punktów (-5).
Pani od matematyki uwzględniła reklamację i powiedziała:
-Dobrze, odejmę wszystkim minus pięć punktów za to ostatnie zadanie.

Zadania

1.

Odczytaj jaka była temperatura 26 listopada 2007 roku w różnych miejscach świata i odpowiedz na pytania:

2. Oblicz.

3. Oblicz na kalkulatorze.

4. Tajne !
Kod: s=-2000 i=-100 h=-33 b= -20 k=-18 o=-15 d=-13 g =-8 c=-5 a =5 n =11 f= 21 ę=28 ą=35 s=50 j=100 t =120 p=2000
-7 - 6 =
-1 - 14 =
55 -(5)=
100 - (-20)=
-(-6) -1 =
-(-1)+ 10=
20 - (-8)=

1000 - (-1000)=
(-1000) + (-1000)=
-9-(-14)=

5. Winda w Pałacu Kultury i Nauki wyruszyła z parteru i przejechała 18 pięter do góry (+18), następnie zjechała w dół 20 pięter (-20). Na którym piętrze jest teraz ?

6. Samochód jeździ po osi liczbowej. Strzałka pokazuje kierunek jazdy oraz wielkość przesunięcia. W jakim punkcie będzie przednie koło samochodu po wykonaniu zaznaczonego na rysunku ruchu ?

7. Według tradycji Rzym został założony przez Romulusa 21 kwietnia -753 roku ( 753 p.n.e).
Ile lat ma Rzym ?

8.
Prawidłowa waga.

Wzrost	Dziewczęta [13 lat]	Chłopcy [13 lat]	Dziewczęta [14 lat]	Chłopcy [14 lat]
1,5 m	52 kg - 60 kg	53 kg - 62 kg	51 kg - 60 kg	53 kg - 61 kg
1,55 m	55 kg - 64 kg	57 kg - 66 kg	56 kg - 64 kg	57 kg - 66 kg
1,6 m	59 kg - 69 kg	61 kg - 71 kg	58 kg - 68 kg	60 kg - 70 kg
1,62 m	60 kg - 70 kg	62 kg - 72 kg	60 kg - 70 kg	62 kg - 72 kg
1,64 m	62 kg - 72 kg	64 kg - 74 kg	61 kg - 72 kg	63 kg - 73 kg
1,66 m	63 kg - 74 kg	65 kg - 76 kg	63 kg - 73 kg	65 kg - 75 kg
1,68 m	65 kg - 76 kg	67 kg - 78 kg	64 kg - 75 kg	68 kg - 77 kg
1,70 m	67 kg - 78 kg	68 kg - 79 kg	66 kg - 77 kg	68 kg - 79 kg
1,72 m	68 kg - 79 kg	70 kg - 81 kg	68 kg - 79 kg	69 kg - 81 kg
1,74 m	70 kg - 81 kg	72 kg - 83 kg	69 kg - 81 kg	71 kg - 83 kg
1,76 m	71 kg - 83 kg	73 kg - 85 kg	71 kg - 83 kg	73 kg - 85 kg
1,78 m	73 kg - 85 kg	75 kg - 87 kg	72 kg - 84 kg	74 kg - 87 kg
1,80 m	75 kg - 87 kg	77 kg - 89 kg	74 kg - 86 kg	76 kg - 89 kg
1,85 m	79 kg - 92 kg	81 kg - 94 kg	78 kg - 91 kg	80 kg - 94 kg

W tabeli podaliśmy wzrost oraz prawidłową wagę.

Kasia ma 13 lat, 1,60 m wzrostu i waży 55 kg.
Janek ma 13 lat, 1,70 m wzrostu i waży 85 kg.
Iwonka ma 14 lat, 1,80 m wzrostu i waży 77 kg.

Obliczenia wykonaliśmy na podstawie następującego wzoru:
IMG = 1,2•(waga/(wzrost•wzrost))+0,23•wiek-10,8•p - 5,4
p=0 dla dziewcząt p=1 dla chłopców
Waga dla dziewcząt jest prawidłowa, gdy IMG wynosi 25 - 30, a dla chłopców 15 - 20. Wzrost należy podać w metrach, a wagę w kilogramach.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Indice_de_masse_grasse

Liczby przeciwne

Liczby przeciwne, to taka para liczb, których suma równa się zero.
Na przykład:
-5 i 5 są przeciwne, ponieważ (-5)+5=0
1001 i -1001 są przeciwne, ponieważ 1001 + (-1001)=0
12 i -12 są przeciwne, ponieważ 12 + (-12) = 0.
Liczba przeciwna do 13 to -13. Liczba przeciwna do -5 to 5.

Na osi liczbowej liczby przeciwne połączyliśmy łukami w pary. Zwróć uwagę, że leżą one po przeciwnych stronach zera, w tej samej odległości.

Zadanie
Wypisz 5 par liczb przeciwnych.

Gra Pionki

W tej grze wygrywa ten, kto zdobędzie najwięcej punktów.
Na każdym polu zapisane są punkty, które otrzymujesz przechodząc przez to pole. Punkty są dodatnie i ujemne. Idziesz od Startu do Mety.
Pionek musi iść zawsze w kierunku Mety, nie może się cofać, ale ma do wyboru sąsiednie pola położone bliżej Mety.

Strategia

Jeśli chcesz zbadać, jaka droga jest najlepsza, sprawdź, ile możesz zdobyć maksymalnie punktów przechodząc przez dane pole. Wypełnij sobie wszystkie pola i następnie wybierz najlepszą drogę.

Projekt Strefy czasowe

Na rysunku widzisz zegary umieszczone w różnych częściach świata. Gdy w Warszawie jest godzina 13.00 w Tokio jest 21.00, a w Nowym Yorku 7.00 rano.

Na następnym rysunku zaznaczyliśmy ile godzin trzeba dodać lub odjąć od godziny, która jest na zegarach w Polsce, żeby dowiedzieć się która godzina jest w danym mieście.

1. Idziesz do szkoły na godzinę 8.00. Napisz, która godzina jest wtedy w

2.Zaplanuj 5 wycieczek dwudniowych. Będziemy podróżować samolotem ATR 42-500, który osiąga prędkość 550 km/h.
W tabelce podajemy odległości między poszczególnymi miastami. Oblicz, o której musimy wsiąść w samolot w Warszawie, żeby w danym miejscu być w sobotę o godzinie 8.00.

	Warszawa	Nowy York	Ottawa	Chicago	Londyn	Paryż	Moskwa	Tokio
Warszawa	0	6857	6576	7517	1454	1383	1133	8572
Nowy York	6857	0	546	1158	5585	5851	7533	10879
Ottawa	6576	576	0	1047	5376	5663	7179	10345
Chicago	7517	1158	1047	0	6378	6675	8029	10161
Londyn	1454	5585	5376	6378	0	343	2508	9585
Paryż	1383	5851	5663	6675	343	0	2495	9739
Moskwa	1133	7533	7179	8029	2508	2495	0	7500
Tokio	8572	10879	10345	10161	9585	9739	7500	0

3. Zaplanuj dłuższą wycieczkę, w której zwiedzimy wszystkie wymienione w tabelce miasta. Na zwiedzanie miasta przeznaczamy jeden dzień. Zaplanuj trasę i godzinę odlotu samolotu. Ile dni będziemy podróżować?
Postaraj się wyznaczyć jak najkrótszą trasę.
4.Zwiedzając świat poznasz wielu przyjaciół i będziesz chciał złożyć im życzenia noworoczne. Zapisz w tabelce, o której godzinie należy zatelefonować z Polski, żeby w danym miejscu świata właśnie rozpoczynał się Nowy Rok.

Nowy York 24.00	Ottawa 24.00	Chicago 24.00	Londyn 24.00	Paryż 24.00	Moskwa 24.00	Tokio 24.00	Pekin 24.00	Hawana 24.00
Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....	Warszawa .....

Mnożenie liczb całkowitych

Chińczycy już od II w. p.n.e. używali kresek czarnych do zaznaczenia “wydatków” i czerwonych do zaznaczenia “wpływów”.

W Europie dopiero w połowie XVIII w. zaczęto wykonywać działania na liczbach ujemnych, chociaż reguły odkryli już w VII w. p.n.e. Hindusi.
W XVI wieku zaczęto posługiwać się osią liczbową, która ułatwiła zrozumienie liczb ujemnych.
Jak należy rozumieć działanie 3•(-2) ? Jaki powinien być wynik ?
Wyobraź sobie test, w którym uczeń otrzymał z 3 zadań po -2 punkty.

W sumie uczeń otrzymał minus 6 punktów (-6).
Podobnie policzymy 30 • (-2) =-60. Przez 30 dni zjadasz pączka za 2 złote na kredyt. Po miesiącu Twój dług wyniesie -60 złotych.
A jak obliczymy (-5 )• 3 ? Jaki powinien być wynik ? Minus 5 może oznaczać operację zabrać 5 razy 3 punkty, czyli zabieramy 15 punktów.
(-5)•3=-15
Mnożenie jest przemienne.
3•5=5•3
Powinno być również przemienne mnożenie liczb całkowitych.
3•(-5)=-15
(-5)•3 też powinno się równać -15.
Teraz najtrudniejszy przykład
(-3)•(-5)=  ?
Jaki powinien być wynik ? Zastosujemy pewną sztuczkę:

Liczba ujemna razy liczba ujemna to liczba dodatnia. Ktoś “zabiera” nam trzy razy minus 5 punktów, to tak jakby dodał 15 punktów.
Zasady wykonywania działań na liczbach ujemnych będą bardzo potrzebne w algebrze, której elementy poznasz już za kilka lekcji. Znając je będziesz rozwiązywać trudne zadania posługując się równaniami.
Liczby całkowite mnożymy więc w następujący sposób:

Dzielenie liczb całkowitych

(-10) : 2 =
Dług 10 złotych dzielimy między dwie osoby. Każda osoba spłaca 5 złotych.

Jaki powinien być wynik 10 : (-2) ?
Dzielenie jest operacją odwrotną do mnożenia.
10:2=5, ponieważ 5 * 2=10.

Jaki powinien być wynik (-10) : (-2) ?
Każdego dnia wydawałeś 2 złote na kredyt. Uzbierał Ci się dług 10 złotych. Przez ile dni ? Oczywiście prze 5.
(-10) :(-2)=5.

Zadania

1.Jeżeli pojutrze jest niedziela, to jaki dzień był przedwczoraj ?

2.

3. Matura w liceum rozpocznie się w poniedziałek 5 maja.
Kiedy powinna odbyć się studniówka, żeby było dokładnie 100 dni wcześniej. Jaki to będzie dzień tygodnia ?
Styczeń - 31 dni, luty - 28 lub 29, marzec -31, kwiecień -30, maj - 31, czerwiec - 30, lipiec - 31, sierpień - 31, wrzesień - 30, październik - 31, grudzień - 30.
4.Albert Einstein urodził się 14 marca 1879 . Było to dokładnie 47 071 dni temu.
To zadanie napisaliśmy w poniedziałek 28 stycznia 2008 roku.
Jakiego dnia tygodnia urodził się Einstein?

5. 20 lipca 1969 roku amerykańscy kosmonauci wylądowali na Księżycu i umieścili tam tabliczkę z napisem: "W tym miejscu ludzie z planety Ziemia po raz pierwszy postawili stopę na Księżycu. Lipiec 1969. Przybywamy w pokoju dla dobra całej ludzkości."
Było to dokładnie 14 071 dni temu.
To zadanie napisaliśmy w poniedziałek 28 stycznia 2008 roku.
Jakiego dnia tygodnia pierwszy człowiek wylądował na Księżycu?

6.Zadanie dla matematyka
Oblicz, w jaki dzień tygodnia urodziłeś się.
Możesz dodać dni, które już przeżyłeś i następnie obliczyć resztę dzielenia sumy dni przez 7. Pamiętaj, że luty w latach przestępnych ma 29 dni.
Styczeń - 31 dni, luty - 28 lub 29, marzec -31, kwiecień -30, maj - 31, czerwiec - 30, lipiec - 31, sierpień - 31, wrzesień - 30, październik - 31, grudzień - 30. Możesz również skorzystać z wzoru, który opracował Zeller. (http://pl.wikipedia.org/wiki/Wieczny_kalendarz)
7.Zadanie dla matematyka (Kangur 2007; zadanie za 4 punkty).

Zepsuty kalkulator nie wyświetla cyfry 1. Na przykład, jeśli wpiszemy liczbę 3131, to pokazuje on liczbę 33 bez żadnych odstępów między cyframi. Michał napisał na tym kalkulatorze pewną liczbę sześciocyfrową i na wyświetlaczu kalkulatora pojawiła się liczba 2007. Dla ilu liczb mogło się to zdarzyć?

A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Tu znajdziesz podpowiedź.

8. Zadanie dla matematyka(Kangur 2007; zadanie za 5 punktów)

Pięć liczb całkowitych rozmieszczono na okręgu. Okazało się, że dla każdych dwóch sąsiadujących ze sobą liczb, ani ich suma, ani suma pozostałych trzech liczb nie jest podzielna przez 3. Ile wśród tych pięciu liczb jest podzielnych przez 3?
A) O
B) 1
C) 2
D) 3
E) Nie można tego wyznaczyć.
Tu znajdziesz podpowiedź.

Więcej zadań z Kangura znajdziesz na stronie http://spiskangur.webpark.pl/index.htm#. Poziom Kadet jest dla klasy I gimnazjum.

Kolejność wykonywania działań.

Oto bardzo popularna we Francji telewizyjna gra pt. „Cyfry i litery” ( „Des Chiffres et des Lettres„).

Z wylosowanych sześciu liczb po wykonaniu dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia należy otrzymać liczbę wybraną losowo. Nie trzeba użyć wszystkich działań.
W naszym przykładzie należy uzyskać liczbę 399 wstawiając odpowiednie znaki działań oraz nawiasy między liczby: 2, 3, 5, 6, 9,50. Nie trzeba wykorzystać wszystkich kart.
Wygrywa ten zawodnik, który będzie miał wynik najbliższy 399.
(50•2+6•5)•3+9= 399
Udało się!
Zanim zagracie w tę grę przypomnijmy zasady dotyczące kolejności wykonywania działań.
Kolejność wykonywania działań jest następująca:

1. najpierw działania w nawiasach

2. następnie potęgowanie

3. następnie mnożenie i dzielenie

4. następnie dodawanie i odejmowanie.

Przykład:
5 − (3 − 7) = 5 − ( − 4) = 5 + 4 = 9

Zadanie 1
Oblicz w pamięci:

Zadanie 2
Jakie proponujesz wykonać działania, żeby otrzymać wynik jak najbliższy wylosowanej liczbie ? Można mnożyć, dzielić, dodawać i odejmować. Można również używać nawiasy.

a)	b)	c)

Zadanie 3 Oblicz

Nie wiesz od czego zacząć? Wyobraź sobie, źe te nawiasy, to papier, w który zapakowano poszczególne działania. Żeby obliczyć wyrażenie musisz rozpakować wszystkie opakowania i dotrzeć do samego środka.

Ułamki

Pojęcie ułamka

W wielu sytuacjach posługujemy się liczbami zapisanymi w postaci ułamka. Popatrz na ilustracje:

Pizza podzielona na 8 równych kawałków. Jeden kawałek to jedna ósma. Ułamek jest tu wynikiem dzielenia.	Ktoś tu wypił jedną trzecią mleka. Ułamek jest miarą.	W tym termosie zmieści się półtora litra herbaty.Ułamki mogą być większe od 1.

Sześciokąt zbudowaliśmy z klocków czerwonych i zielonych. Zielone stanowią jedną szóstą, czerwone - pięć szóstych.	Pole małego sześciokąta do pola dużego wynosi 6 : 24 lub 1 : 4. Pole małego sześciokąta jest czwartą częścią dużego. Ułamek jest stosunkiem dwóch wielkości.	W tym pudełku brakuje trzy dziesiąte jajek, to prawie jedna trzecia !

Ułamek może również oznaczać pewną czynność - dzielenia na równe części i połączenia kilku z nich. Na przykład możemy wziąć
dwie trzecie z całego jabłuszka. Popatrz na rysunek.

Zadanie 1
Narysuj:
a) 1 jabłko i pół jabłka
b) półtora serduszka
c) trzy czwarte szklanki mleka
d) jedną ósmą pizzy
e) 1 : 3 ( np 1 tort podzielony na 3 równe części)
f) 3 : 2 ( np 3 pączki podzielone na 2 równe części )
g) 2/3 ( np rękaw przy sukience długości dwie trzecie).
h) 5 : 2 ( np wynik sprawiedliwego podzielenia 5 brzoskwiń między 2 osoby).

Zadanie 2
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej ułamki 1/2, 2/3, 1 i 1/2.

Zadanie 3
Zapisz ułamkiem odpowiedź na pytania:
a) Jaką część tygodnia stanowią dni wolne od pracy ?
b) Jaką część doby stanowi jedna godzina ?
c) Jaką część godziny stanowi jedna minuta ?
d) Jaką część minuty stanowi jedna sekunda ?
f) Jaką część godziny stanowi jedna sekunda ?

Zadanie 4
Zapisz ułamkiem jaką część doby przesypiają :
a) Kot śpi 14 h.
b) Żyrafa śpi 2 h.
c) Nietoperz śpi 20 h.
d) Uczeń gimnazjum śpi średni 9 - 10 godzin ( wynik badań).

Złoty podział

Złoty podział można spotkać w dziełach malarzy, architektów, konstruktorów . Panteon w Rzymie zbudowano zgodnie z zasadą złotych proporcji. Lawrence Alma-Tadema namalował "Róże Heliogabala" w takim właśnie złotym prostokącie.

Wiele złotych proporcji można spotkać w przyrodzie. Kolejne liście wyrastają tak, żeby jak najwięcej docierało światła i deszczu do liści położonych niżej. Warunki te są spełnione, gdy zachowany jest złoty podział w odległościach między kolejnymi piętrami.

Na fotografii widzisz dwudziestościan foremny. Gdy połączymy jego wierzchołki otrzymamy prostokąty, które mają złote proporcje.
Niektórzy konstruktorzy samolotów i samochodów również przestrzegają zasad złotego podziału.

Zadanie 1
Może również Twoja ręka ma „boskie proporcje”. Sprawdź.
Oblicz stosunek długości przedramienia do długości dłoni. Czy otrzymałeś wynik w przybliżeniu równy 1,6 ?

Zadanie 2

Złoty prostokąt, to prostokąt, którego boki są w złotym stosunku.
Odszukaj na rysunku złoty prostokąt. Podobno taki prostokąt podoba się największej liczbie osób. Oblicz na kalkulatorze, czy stosunek dłuższego boku prostokąta do krótszego wynosi w przybliżeniu 1,6.

Zadanie 3

Znani malarze, architekci bardzo często stosowali w swoich pracach złoty podział.
Odszukajmy złote proporcje w obrazie Leonarda da Vinci „Mona Lisa”.

Może odnajdziesz je również w twarzy bardzo znanej aktorki Audrey Hepburn .

Sprawdź.
Oblicz stosunek dłuższego boku prostokąta do krótszego boku. Czy wynosi w przybliżeniu 1,6 ?
Oblicz i odpowiedz na pytania:
a) Czy w obrazie „Mona Lisa” odnalazłeś złote proporcje ?

b) Czy w twarzy Audrey Hepburn również odnalazłeś złote proporcje ?
Zadanie 4

Zmierz wymiary kilku swoich zeszytów i książek. Czy ich kształt jest złotym prostokątem ?

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Na urodziny dostałeś piękny tort.

Na ile części go podzielisz? Zależy ilu przyjdzie gości. Gdyby były 4 osoby, to każdy może dostać po jednej czwartej tortu.
Ale jeśli będzie 8 osób, to tort podzielisz na 8 części i każdy dostanie jedną ósmą. A jeśli przyjdzie cała Twoja klasa ?

Czy jedna druga tortu to tyle samo co dwie czwarte ? Tak, ponieważ w pierwszym przypadku tort podzielono na dwie równe części i zjadłeś jedną część. W drugim przypadku tort podzielono na dwa razy więcej kawałków i zjadłeś dwa razy więcej takich część. W drugim przypadku części były dwa razy mniejsze.

Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu jego licznika i mianownika przez taką samą liczbę całkowitą, różną od zera. Wartość ułamka nie zmieni się.
Skracanie ułamka polega na podzieleniu jego licznika i mianownika przez taką samą liczbę całkowitą, różną od zera. Wartość ułamka nie zmieni się.

Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika polega na takim ich zapisaniu, żeby miały jednakowe mianowniki. Na przykład, żeby porównać ułamki często musimy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Zadania

1. Wyłącz całości z ułamków.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.Zapisz liczby w postaci ułamków.

a)
b)
c)
d)

3. Wstaw ułamek między podane ułamki:

a) 1/3 < x < 2/3
b) 1/10 < x < 2/10
c) -2/3 < x < -1/3
d) -2/10 < x <-1/10
4) Porównaj ułamki. Wstaw znak “<“, “>“ lub “=“.
a) 12/3 ... 5/3
b) 1/10 ...1/ 1 000 000
c) 5/7 ... 6/7
d) 8/5 ... 5/8
e) 2/7 ... 1/5
f) 10/20 ... 1/2
g) 7/5 ... 8/5
5) Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej:
1/2; -1/10; -1/11; -1 1/10; 0; -1/2; -11/2

Działania na ułamkach

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Jedna dziesiąta część czekolady dodać dwie dziesiąte to w sumie trzy dziesiąte części czekolady.

Trzy trzecie części jabłka minus jedna trzecia część jabłka to dwie trzecie części jabłka.
Kiedy ułamki mają jednakowe mianowniki, wystarczy dodać lub odjąć ich liczniki.
Jeśli mianowniki są różne, to wcześniej musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Pół pomarańczy dodać dwie ósme części pomarańczy. Wspólnym mianownikiem może być osiem. Zamieniamy jedną drugą na cztery ósme i dodajemy dwie ósme. W sumie mamy sześć ósmych pomarańczy.

Zadania

Zadanie 1

Oblicz
a) ,    b) ,    c) ,    d) ,   

e) ,    f) ,    g) ,    h)
Zadanie 2

Oblicz:
a) ,    b) ,    c) ,    d) ,    e) ,    f) ,   

Zadanie 3

Gdy o dziewiątej rano wyruszaliśmy w góry, temperatura wynosiła 5 stopni. Nasz przewodnik powiedział, żeby zabrać ciepłą kurtkę, ponieważ będzie bardzo zimno. Autobusem jechaliśmy godzinę i około godziny dziesiątej rozpoczęła się nasza wspinaczka. Zabraliśmy termometr i co godzinę sprawdzaliśmy temperaturę. Okazało się, że temperatura spadała o dwa i pół stopnia co godzinę.
Dokończ wypełnianie tabelki.

Godzina	10.00	11.00	12.00	13.00	14.00	15.00	16.00
Temperatura	5 stopni C	.....	.....	.....	.....	.....	.....

Mnożenie ułamków.

Siedem razy po jednej ósmej to siedem ósmych. Mnożymy przez liczbę 7 tylko licznik ułamka, mamy siedem razy więcej ósmych części.
Wyobraź sobie, że nasz rysunek przedstawia jedną czwartą tabliczki czekolady. Jedną trzecią z tej jednej czwartej całej tabliczki dostał Jacek.
Jaką część całej czekolady dostał Jacek ? Jak to obliczyć ?
Trzeba obliczyć ile wynosi jedna trzecia z jednej czwartej, czyli pomnożyć jedną trzecią przez jedną czwartą.

Z czwartej części czekolady Jacek dostał trzecią część, czyli dwunastą część całej czekolady.
Teraz dajmy Jackowi trochę więcej czekolady. Z czwartej części czekolady Jacek dostanie dwie trzecie.

Dwie trzecie z jednej czwartej to będą dwie dwunaste. Dwa razy więcej niż poprzednio.
Ułamki mnożymy w ten sposób, że licznik mnożymy przez licznik, a mianownik przez mianownik.

Dzielenie ułamków.

Mamy siedem ósmych litra soku i chcemy podzielić ten sok na trzy równe części. Ile soku będzie w jednej szklance ?

W każdej szklance będzie siedem dwudziestych czwartych soku.
Teraz zadanie trudniejsze:
 : = ?

Na przykład chcielibyśmy się dowiedzieć jaką część tego napoju stanowi sok malinowy. Napój wykonaliśmy w ten sposób, że do wody wlaliśmy 3/5 litra soku malinowego. Otrzymaliśmy 7/8 litra napoju. Jaką część stanowi sok ?
Obliczymy to podobnie jak liczymy jaką część spośród 3 osób stanowią 2 osoby:
2: 3=2/3
Wracamy do soku malinowego.
Sok: 3/5.
Cały napój: 7/8.
Żeby obliczyć, jaką część stanowi sok, wykonamy dzielenie.

W podobny sposób poradzimy sobie z podzieleniem liczby całkowitej przez ułamek.
Mamy 2 litry napoju. W szklance zmieści się jedna piąta litra. Do ilu szklanek możemy rozlać ten napój ?

Zadania

1Oblicz
a) ,    b) ,   c) : 20 ,   d) : 2,   
e) • ,    f)• ,    g) : ,    h) ,   
2 Pięćset kartek papieru waży 1,5 kg. Ile waży jedna kartka ?

3 3/5 masy śliwek stanowi woda. Mama suszy 2 kg śliwek.
a) Ile otrzyma suszonych owoców ?
b) Ile powinna ususzyć śliwek, żeby otrzymać 1 kg suszonych śliwek ?

4 W klasie I a) jest 28 uczniów. Połowa to dziewczynki. 2/7 dziewczynek potrafi usmażyć naleśniki. Ile dziewczynek w tej klasie potrafi usmażyć naleśniki ?

5 W klasie I d) jest 32 uczniów. Dzisiaj jest obecnych 7/8 liczby wszystkich uczniów. Ilu uczniów jest nieobecnych ?

6 Oto kostka Rubika.

Przyjrzyj się jej dokładnie i odpowiedz na pytania:
a) Jaką część stanowią sześciany, które mają jedną ściankę pomalowaną ?
b) Jaką część stanowią sześciany, które mają dwie ścianki pomalowane ?
c) Jaką część stanowią sześciany, które mają trzy ściany pomalowane ?
d) Jaką część stanowią sześciany, które znajdują się w środku kostki nie mają pomalowanych ścianek ?

7 Mama potrzebuje 2 litry śmietany. W sklepie śmietana jest w pojemnikach o pojemności 1/5 litra. Ile pojemników musi kupić ?

8 Konkurs “Kangur” trwa 5/4 godziny. Ile to minut ?

9 Tata sprawdził, że od godziny 17.00 do 9.00 rano następnego dnia spaliliśmy 7 metrów sześciennych gazu. Ile gazu spalimy przez dobę ?

10 Samochód spala 5 litrów na 100 kilometrów. Ile benzyny spali z Warszawy do Łodzi ( ok. 130 km) ?
A ile spali z Warszawy do Paryża ( ok. 1440 km) ?

11 Metr kwadratowy wykładziny kosztuje 20 zł. Ile zapłacimy za dywanik o długości 1,5 m i szerokości 2 m ?

12 Sześciu uczniów, czyli 1/6 klasy, je obiady w szkole . Ilu uczniów jest w tej klasie ?

13 W styczniu słońce wschodzi około ósmej rano, a zachodzi około trzeciej po południu. Jaka to część doby ?
W czerwcu słońce wschodzi około trzecie rano i zachodzi około ósmej wieczorem. Jaka to część doby ?

14 Kasia przeczytała w przepisie na pierogi leniwe, że potrzeba 1 kg twarogu i 4 jajka. Kasia ma 3 jajka. Ile twarogu musi dodać ?

15 Jaką częścią 3/5 jest 1/2 ?

16 Komputer kosztował 1800 zł. Jego cenę obniżono o 1/5. Ile teraz kosztuje ?

17 W akcji “Góra złota” uczniowie zebrali 220 monet o wartości 1/10 zł, 120 monet o wartości 1/2 zł i 448 monet o wartości 1/5 złotego. Ile pieniędzy zebrali ?

18 9 litrów miodu rozlano do słoiczków o pojemności 2/5 litra. Ile słoiczków wykorzystano ?

19 Oblicz pole prostokąta o rozmiarach: długość 3/4 metra, szerokość 1/2 metra.

20 Do przedszkola kupiono kolorowe piłeczki: 3/5 czerwonych i 2/5 niebieskich. Ile razy więcej kupiono piłeczek czerwonych?

Liczby dziesiętne

Piesek na zdjęciu ma 8 tygodni, waży 300 gram, czyli 0,3 kg i ma wzrost 7,3 cm. Należy do najmniejszej rasy piesków chihuahua.
Bardzo często ułamki o mianownikach 10, 100, 1000 ... zapisujemy w postaci dziesiętnej.

Gdy czytamy liczbę zapisaną w postaci dziesiętnej, patrzymy w jakim rzędzie znajduje się cyfra zapisana jako ostatnia. Popatrz na przykłady:

Zadanie 1
Przeczytaj głośno:
a) Normalna temperatura człowieka wynosi 37,9 stopnia Celsjusza.
b) Jeden grosz z roku 1938 waży 1,5 grama, a jeden grosz z roku 1621 waży 0,921 grama.
c) Pierwszy komputer Eniac z roku 1945 ważył 30 ton, a laptop firmy Samsung z roku 2008 waży 1,89 kg.
d) Gazomierz wskazał 1770,258 metrów sześciennych zużytego gazu.
Zadanie 2

Zapisz w postaci liczby dziesiętnej:
a) jedna dziesiąta
b) trzy całe i 3 setne
c) pięć tysięcznych
d) trzysta trzydzieści pięć dziesięciotysięcznych.

Dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych

Działania na liczbach dziesiętnych jest o wiele łatwiej wykonywać niż na zwykłych ułamkach. Są one już “sprowadzone do wspólnego mianownika” i wystarczy pamiętać o dokładnym zapisaniu rzędów. Przecinek musi być pod przecinkiem.
Oto kilka przykładów.

Podobnie jak w przy dodawaniu liczb całkowitych, gdy w rzędzie mamy więcej niż 9 jednostek - przenosimy dziesiątkę do rzędu wyższego.

Odejmowanie:

Zadanie 3

Oblicz i odczytaj zaszyfrowane słowo.
a) 2+0,77=...     b) 0,7+0,3=...     c) 0,12+0,08=...   
d) 1,01+0,1=...     e) 1,01+0,1=...     f) 0,253+0,56=...   
h) 1,81+0,09=...

A=0,2     B=0,27     C=0,303     D=0,44     E=0     K=1     L=1,009   
M=1,013     N=1,11     0=1,88     P=1,89     R=1,9     S=2,77     T=3

Zadanie 4

Oblicz i odczytaj zaszyfrowane słowo.
a) 30- 9,92     b) 72,001-27,25     c) 108,2 - 55,35
d) 1000-954,58     e) 100,01 - 75,001     f) 45,009-0,08

A=20,08     B=25,009     C= 34,76     D= 43,751     I=44,929
J= 45,03     K=45,003     O=45,42     R= 52,85     S= 53

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych

Laptop, który dzisiaj widziałam w sklepie, kosztuje dokładnie 1899 zł., czyli około 1900 zł. Po zaokrągleniu otrzymujemy cenę mniej dokładną, ale łatwiejszą do zapamiętania.
W Polsce w 2008 roku liczba ludności wynosiła 38 518 241. Zaokrąglijmy tę liczbę z dokładnością do milionów:

Liczba π (czytaj pi), którą potrzebujemy np. obliczając obwód koła, wynosi około
3, 141 592
Zaokrąglimy π z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku:
3, 14.

Zadanie 1
Ile wynosiła w 2007 roku liczba mieszkańców podanych krajów z dokładnością do milionów ?
Anglia ..... 50 714 000
Chiny ..... 1 319 175 346
Francja ..... 64 102 140
Japonia ..... 127 434 000
Rosja ..... 141 377 752
Stany Zjednoczone .... 301 139 947
Włochy ..... 59 545 000
Zadanie 2

π ≈ 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 ...
Podaj wartość liczby pi z dokładnością do dziesięciu miejsc po przecinku.
Zadanie 3

Podaj ceny wymienionych na rachunku produktów z dokładnością do jedności:
Mleko ..... 2,19 zł
Wafle ..... 1,89 zł
Bułka zwykła ..... 0,42 zł
Bułka słodka ..... 0,35 zł
Pomidor ..... 0,87 zł
Następnie oblicz przybliżoną sumę pieniędzy, potrzebnych na te zakupy.
Zadanie 4

Wymień trzy liczby, których przybliżenie z dokładnością do setek wynosi 1000.

Zadanie 5

Wymień trzy liczby, których przybliżenie z dokładnością do setnych wynosi 0,1.

Zadanie 6

Przeczytaj liczby z dokładnością do tysięcy:

- Obwód Ziemi wynosi 40 041 km.
- Największe góry świata Himalaje mają wysokość 8 848 m
- Najdłuższa rzeka świata Amazonka ma długość 7 025 km.

Przeczytaj liczbę z dokładnością do milionów:
-Prędkość rozchodzenia się światła wynosi 299 792 458 metrów na sekundę.

Zadanie 7

Ile waży ten laptop ? Odczytaj wagę z dokładnością do 1 kg.

Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000 ...

1. Oblicz na kalkulatorze:

45 :10 =
4,5:10=
0,45 :10 =
0,045:10 =

Nie musisz wpisywać wszystkich przykładów. Twój kalkulator powtórzy działanie, jeśli naciśniesz klawisz “=“.

Chyba nie dziwi Cię ten wynik. Liczymy w układzie dziesiątkowym, w którym jednostka w kolejnym, wyższym rzędzie jest 10 razy większa.

Lalka kosztuje 12 zł.	Baton kosztuje 1,2 zł

Lalka kosztuje 12 zł, a baton 1,2 zł. Baton kosztuje 10 razy mniej.

Dog waży 80 kg, a najmniejszy piesek świata chihuahua waży 0,8 kg, czyli 100 razy mniej.

Liczba 12 została podzielona przez 10. Zamiast jednej dziesiątki - otrzymaliśmy jedną jedność, zamiast dwóch jedności - otrzymaliśmy dwie dziesiąte. W tabelce liczba “przesunęła się” o jeden rząd w prawo. Przecinkiem oddzieliliśmy jedności od części dziesiątych.
W drugiej tabelce pomnożono liczbę przez 100. Cyfra 8 przesunęła się o dwa rzędy w lewo. Z 8 dziesiątych otrzymaliśmy 8 dziesiątek.
Podzielmy teraz przez tysiąc.
1 000 = 10 *10*10
Musimy sześć razy podzielić naszą liczbę przez 10.
3,14: 10 = 0,314
0,314 :10=0,0314
0,0314:10=0,00314
Zwykle, gdy wykonujemy dzielenie lub mnożenie liczby przez 10, 100, 1000... nie rysujemy sobie pomocniczej tabelki z rzędami. Pamiętamy, że dzielenie przez 10 spowoduje przesunięcie przecinka o jedno miejsce w prawo.
Natomiast mnożenie przez 10 spowoduje przesunięcie przecinka o jedno miejsce w lewo. Często musimy dopisać zera, żeby zapisać cyfrę w odpowiednim rzędzie.
Gdy pomnożymy liczbę dziesiętną przez 100 000 000 000, przesuniemy przecinek o 11 miejsc w prawo, ponieważ mnożymy przez jedenastą potęgę 10, jedenaście razy musimy pomnożyć liczbę przez 10.
0,001234567891 * 100 000 000 000=123456789,1
Gdy podzielimy liczbę dziesiętną przez 100 000 000 000, przesuniemy przecinek o 11 miejsc w lewo, ponieważ dzielimy przez jedenastą potęgę 10, jedenaście razy musimy podzielić liczbę przez 10.
0,001234567891 : 100 000 000 000=0,00000000000001234567891
2. Oblicz:
0,0045 * 10 =
0,045 * 10=
0,45*10=
4,5 * 10=
0,0045 : 10 =
0,045 : 10=
0,45:10=
4,5 : 10=

3. Oblicz:
123,4567 * 100 =
123,4567 * 1000 =
123,4567 * 10000 =
123,4567 : 100 =
123,4567 : 1000 =
123,4567 : 10000 =

4. Oblicz
12345, 6789 *10 000 000 000 000 000 =
12345, 6789 : 10 000 000 000 000 000 =

Zamiany jednostek

Jednostki długości

Ostatnia definicja metra pochodzi z roku 1983. Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/299 792 458 sekundy. Poprzednia definicja metra z roku 1889 określiła metr jako odległość między odpowiednimi kreskami na wzorcu, który był przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres pod Paryżem.

Architekt francuski Jean Chalgrin (1739 -1811) na jednej z ulic Paryża zamieścił „pomnik metra”:

1 metr=100 centymetrów	1 m=100 cm
1 centymetr=10 milimetrów	1 cm=10 mm
1 decymetr=10 centymetrów	1 dm=10 cm
1 kilometr=1 000 metrów	1 km=1 000 m

Zadanie 1
Wypisz zamieszczone na zdjęciach zwierzęta od najmniejszych do największych oraz podaj ich rozmiary. W tym celu najpierw wybierz jednostkę miary i wszystkie dane zapisz w tej samej jednostce, np w metrach.

Żyrafa Rekordowe wynosiły 587 cm wysokości, 2000 kg masy ciała.	Gekon - z rodziny jaszczurek; najmniejszy gekon ma długość 35 mm, waży tylko 2 g.	Motyl Modraszkowaty - najmniejszy ma rozpiętość skrzydeł 15 mm.	Słoń - największy ma 35 decymetrów.
Wieloryb - największy ma 350 cm, waży 150 ton.	Rybka Paedocypris - najmniejsza ma 7,9 mm długości.	Rekin - płetwal błękitny ma więcej niż 1 800 cm długości.	Lew - największy ma 250 cm długości, 120 cm wysokości.

Zadanie 2

Zamień na kilometry wysokość największych łańcuchów górskich:

Himalaje - 8848 m = ...... km
Karakorum - 8611 m= .... km
Hindukusz - 7690 m = .....
Tien-szan - 7439 m =
Andy - 6960 m =
Kordyliery - 6194 m =
Kaukaz_- 5642 m =
Góry Ellswortha - 5140 m =
Alpy - 4807 m =
Atlas - 4165 m =

Jednostki powierzchni

Ten dywanik ma 1 metr kwadratowy.
Metr kwadratowy to powierzchnia kwadratu o boku jednego metra.

Ar to powierzchnia kwadratu, który ma bok równy 10 metrów.
Autobus ma długość około 10 metrów.

Hektar to powierzchnia kwadratu, który ma bok równy 100 metrów.
Boisko ma długość około 100 metrów.

Zadanie 3

Ile metrów kwadratowych ma dywanik na fotografii ?

Zadanie 4

Akr jest to jednostka powierzchni gruntów używana w krajach anglosaskich.
Był to obszar, który mógł zostać zaorany przez woły w ciągu jednego dnia.
1 akr = 4046,8564224 metrów kwadratowych

Ogród Wersalski ma powierzchnię 250 akrów.

Zaznaczyliśmy Łazienki Królewskie w Warszawie na mapie satelitarnej.
Oblicz ile akrów mają Łazienek Królewskich w Warszawie.

Zadanie 5

Miejsce na parkingu powinno mieć minimalne wymiary 230 cm na 500 cm .
Ile to arów ?

Jednostki objętości

Litr to jednostka objętości równa jednemu decymetrowi sześciennemu.
Decymetr to oczywiście 10 centymetrów.
1 decymetr sześcienny = 1000 centymetrów sześciennych.
1 metr sześcienny = 1000 decymetrów sześciennych

Jeden mililitr to 1/1000 litra. Kropla wody to około 0,1 mililitra.
1 ml = 1/1000 l

Zadanie 6

Pan Marek policzył, że z jego zepsutego kranu kapie 6 kropelek na minutę.
- Muszę szybko ten kran zreperować. Tyle wody się marnuje !

Jeśli nie widzisz jak kapie woda i rysuje się wykres - zobacz powiększenie obrazka ( kliknij myszką).
Jedna kropla to około 0,1 mililitra. Ile wody się zmarnuje w ciągu jednego dnia ?
Szklanka to około 250 mililitrów wody. Ile szklanek wody nakapie w ciągu jednej doby ?

Mnożenie liczb dziesiętnych

Ile trzeba zapłacić za 3 batony po 1,2 zł ?

Zapiszmy liczbę dziesiętną 1,2 w postaci ułamka zwykłego i wykonajmy mnożenie:

Wystarczy pomnożyć 3 przez 12, a następnie podzielić przez 10.

Obliczmy, ile trzeba zapłacić za 3 jogurty po 0,95 zł.

Mnożenie liczb dziesiętnych możemy wykonać tak, jak mnożymy zwykłe ułamki. Zawsze można zamienić liczbę dziesiętną na ułamek zwykły.

Zwróć uwagę, że licznik wyniku powstaje z pomnożenia liczb “bez przecinków”. Natomiast mianownik to liczba 1 z tyloma zerami, ile miejsc oddziela przecinek w liczbie dziesiętnej, którą chcemy pomnożyć .
Algorytm mnożenia możemy podzielić na następujące kroki:

Pomnożymy teraz dwie liczby dziesiętne “z przecinkiem”.

Wygodniej jest wykonać mnożenie zapisując liczby jedna pod drugą.
Algorytm mnożenia liczb dziesiętnych możemy podzielić na następujące etapy:

Mnożenie liczb dziesiętnych jest prawie takie samo jak pisemne mnożenie liczb naturalnych. Trzeba tylko nauczyć się, w którym miejscu należy postawić przecinek. Liczba miejsc po przecinku w liczbie dziesiętnej to liczba zer w mianowniku tej liczby, zapisanej w postaci zwykłego ułamka. Mnożenie dziesiątek jest łatwe.
10*10=100
1000 * 10 = 10000
100*10000=1000000
Wystarczy napisać 1 i tyle zer ile było w sumie w obu liczbach.
Gdy mnożymy liczby dziesiętne, to mnożymy je najpierw pomijając przecinek. Następnie liczymy ile w pierwszej liczbie było miejsc po przecinku. Liczymy ile miejsc po przecinku było w drugiej liczbie. Dodajemy te dwie liczby i wyniku oddzielamy przecinkiem tyle właśnie miejsc.

Zadanie 1

W tabelce podajemy ceny niektórych produktów w Londynie w sierpniu 2008.Ile to kosztuje w złotówkach ?

Rogalik francuski 1,45 Ł	Rogalik z czekoladą 1,35 Ł	Bułka 0,60 Ł	Kajzerka 50 Ł	Chleb 2,95 Ł	Ciastko 1,60 Ł	Mleko 1l 0,71 Ł	Napój owocowy 1,95 Ł	Cola 2l 0,44 Ł	Pizza 1,78 Ł	Jabłka 1kg 2,63 Ł	Banany (5 szt.) 0,98 Ł
.....zł	..... zł	..... zł	..... zł	..... zł	.....zł	.....zł	.....zł	.....zł	.....zł	.....zł	.....zł

1 Ł = 1 funt szterling (GBP) = 4,0637 zł. Zaokrąglij podaną wartość funta do setnych złotówki. Jeśli możesz - odszukaj aktualny kurs funta i wykorzystaj w obliczeniach.

Dzielenie liczb dziesiętnych

Agatka dostała na imieniny komórkę oraz kartę za 25 złotych.
- Ta karta musi mi wystarczyć na miesiąc.

Obliczmy na ile SMS-ów wystarczy karta za 25 złotych. Wysłanie SMS-a kosztuje 0,22 zł.

25:0,22=

Dzielenie możemy zapisać w postaci ułamka. Licznik i mianownik pomnożyliśmy przez 100, żeby nie było przecinka. Teraz mamy już zwykłe dzielenie.
Można wysłać 113 SMS_ów.
Obliczmy ile rozmów możemy wykonać. Rozmowa, która trwa jedną minutę kosztuje 0,77 zł.

Gdy wykonujemy dzielenie pisemne liczb dziesiętnych, to wygodnie jest pomnożyć dzielną i dzielnik przez tyle dziesiątek, żeby pozbyć się liczb z przecinkiem.

25 : 0,1= 250 :1 = 0,25 : 12 = 25 : 1200
Zadanie 1

Kupujesz kartę telefoniczną za 25 złotych na miesiąc ( 30 dni). Ile “średnio’ możesz wydać dziennie ?
Za jedną minutę rozmowy płacisz 0,77 zł, a za jednego SMS-a - 0,22 zł.
Wypełnij tabelkę, w której zapiszesz ile rozmów i ile SMS_ów możesz dziennie wykonać, aby nie przekroczyć 25 zł w ciągu miesiąca. Podaj przynajmniej 5 innych rozwiązań.

Koszt rozmów	Koszt SMS-ów	Całkowity koszt	Wynik
32 x 0,77 ≈ 24,64	1 x 0,22 = 0,22	24,82	32 rozmowy + 1 SMS

Zadanie 2

Jaką grubość ma jedna kartka ?

Marysia zmierzyła 500 kartek i otrzymała wynik 5,2 cm. Jaką grubość ma jedna kartka?

Zadanie 3
Jedziemy na wycieczkę za 100 złotych. Na benzynę, w obydwie strony, możemy wydać najwyżej 100 złotych. Nasz samochód potrzebuje benzyny ES 95.
Do jakiego miasta możemy pojechać ?

Odległości z Warszawy do miast:
Białystok 188 km
Gdańsk 439 km
Kielce 181 km
Katowice 297 km
Kraków 295 km
Lublin 161 km
Łódź 134 km
Opole 319 km
Olsztyn 213 km
Poznań 310 km
Szczecin 524 km
Toruń 209 km
Wrocław 344 km
Zielona Góra 413 km

Zadanie 4

Ania postanowiła zbadać ile kosztuje latem podlewanie jej ogrodu. W tym celu odkręciła kran od węża i zmierzyła ile wody naleci do konewki w ciągu 1 minuty. W konewce mieści się 10 litrów wody.
Na zdjęciu zaznaczyliśmy przerywaną linią poziom wody, która napłynęła w ciągu 1 minuty.
Jeden metr sześcienny wody kosztuje 2,89 zł. Dla uproszczenia obliczeń Ania przyjęła, że ogród jest podlewany przez 3 miesiące, średnio 1 godzina dziennie. Gdy pada deszcz - nie jest podlewany, ale gdy jest upał jest podlewany przez 1,5 - 2 godziny.
Ile metrów sześciennych wody jest zużywanych na podlanie ogrodu Ani ? Ile ta woda kosztuje ?

Zadanie 5

W naszym gimnazjum w Dzień Dziecka nie ma lekcji. Uczniowie przygotowują wspólnie ciekawe prezentacje, modele, scenki.
Asia i Tereska wykonały model Pałacu Kultury w Warszawie.

Paweł i Piotr mają wykonać model wieży Eiffla w takiej samej skali.

Wieża Eiffela ma wysokość 324 m.
a) Przerysuj do zeszytu szkic wieży Eiffla razem z kratką, którą narysowaliśmy na zdjęciu.
b) Jakiej wysokości powinna być wieża Eiffla na modelu Pawła i Piotra ?
c) Do poziomu pierwszego i drugiego można dojść schodami, a do poziomu trzeciego można tylko dojechać windą. Na jakiej wysokości znajdują się te trzy poziomy ? Obliczenia wykonaj korzystając z naszej fotografii.

Zadanie 6

Mirek i Marek wykonali model Barbakanu w Warszawie. Iwonka i Justynka chcą zrobić model muru chińskiego. Jakiej długości powinna być makieta muru chińskiego, żeby była w tej samej skali co model Barbakanu ?

Model Barbakanu.	Barbakan w Warszawie zbudowano w 1548 roku w pasie murów obronnych. Wysokość muru wynosi około 8,5 metra, a długość około 2 km.

Wielki Mur Chinski ma 6 700 km Budowa muru trwała ok. 17 wieków. Ogłoszono go jednym z siedmiu cudów świata.

Zadanie 7

Adam i Michał wykonali model Pałacu Prezydenckiego w Warszawie.

Chcieliby wykonać również model Białego Domu. Wysokość pałacu oraz wysokość Białego Domu wynoszą około 20 metrów.

Pałac Prezydencki w Warszawie	Biały Dom w Waszyngtonie

a) Jakiej długości powinni wykonać model Białego Domu, żeby był w tej samej skali co model Pałacu Prezydenckiego w Warszawie ? Zmierz na fotografiach potrzebne wymiary.
b) Na mapie satelitarnej zaznaczyliśmy Pałac Prezydencki w Warszawie i Biały Dom w Waszyngtonie. Skale na obydwu zdjęciach są różne.
Narysuj w zeszycie kontur obydwu budynków w takiej samej skali.

Zdjęcie z satelity Pałacu Prezydenckiego w Warszawie	Zdjęcie z satelity Białego Domu w Waszyngronie

Projekt “Wycieczka do Paryża”

Twoim zadaniem będzie zaplanowanie wyjazdu do Paryża i obliczenie kosztów tygodniowej wycieczki dla następujących osób:
1. Maja - studentka Akademii Sztuk Pięknych
2. Krzyś, uczeń gimnazjum i jego tata.
Koszt wycieczek podaj w złotówkach. 1 euro = 3,2 zł.
Postaraj się uwzględnić wszystkie życzenia. Jeśli potrafisz - wykonaj obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym. Możesz również uaktualnić ceny, szukając odpowiednich stron w Internecie. Oczywiście wszyscy chcą wydać jak najmniej pieniędzy na wycieczkę.
Zaplanuj każdy dzień, zapisz ile pieniędzy trzeba będzie wydać oraz oblicz całkowity koszt wycieczki Maii oraz Krzysia i jego taty.
Maja:
- Chciałabym zwiedzić w Paryżu muzea, zobaczyć Wersal. Spróbować francuskiej kuchni.
Tata Krzysia:
- Chciałbym pokazać synowi słynne muzeum techniki Cité des sciences et de l'industrie (Muzeum nauki i przemysłu)w Parc de la Villette . Oczywiście musimy zajrzeć do Disneylandu oraz zobaczyć Luwr i kilka innych znanych muzeów w Paryżu.

Tanie linie. Odlot z Warszawy w niedzielę godz. 18.00, przylot do Paryża godz. 20.20. Lotnisko Beauvais ( 80 km od Paryża). Powrót - odlot z Paryża w piątek 18.00. Koszt: 606 zł.	Autobus z lotniska Beauvais do centrum Paryża 13 euro. Z lotniska Orly i Charles de Gaull przejazd z biletem 5-dniowym Paris Visit Pass.	Paris Visit Pass bilet 5-dniowy - metro, autobusy, pociągi w obrębie Paryża 47 euro. Uwaga - metro linii 14 jest całkowicie zautomatyzowane, jeździ bez kierowcy.	Z Paris Visit Pass można jechać również podmiejskim pociągiem SNCF...	... a nawet taką naziemną kolejką na Montmartre.
Hotel - 4 km od centrum - 36 euro doba. W hotelu można zjeść śniadanie za 4,80 euro.	Na obiad w restauracji trzeba wydać co najmniej 10,50 euro.	Do wyboru jest kilka zup,np cebulowa, kilka potraw mięsnych, np 1/4 kurczaka z gryla z frytkami i różne desery, np sery.	W McDonald’s zestaw kosztuje około 9 euro. Big Mac 1,50 euro. Cheeseburger 0,95 euro.	Francuska zapiekanka - 2,60 euro.
Coś do przekąszenia w Ogrodzie Luksemburskim - czekolada ( 3 tabliczki) 1,80 euro paczka herbatników 1,30 euro coca-cola 1,5 l - 1,55 euro woda minerala (6 butelek) 1,65 euro.	Owoce ? Banany 1 kg 3,13 euro. Brzoskwinie 1 kg 3,10 euro Pomidory 1 kg 3,90 euro. Pomarańcze 1kg 2,95 euro.	Akcja „Lato w mieście” nad Sekwaną. Coś na drugie śniadanie - 4 bagietki (długie bułki) - 2,05 euro serki topione (24 porcje) - 1,80 euro bułeczka z czekoladą - 1,30 euro mleko 1 litr - 1,30 euro. napój owocowy 1,5 l - 1,15 euro.	Wjazd na wieżę Eiffla 12 euro.	Do muzeum najlepiej iść z kartą „PARIS MUZEUM PASS”, która umożliwia wstęp do ponad 60 muzeów w Paryżu. 2 dni : 30 euro 4 dni : 45 euro 6 dni : 60 euro.
Parc de la Villette - Bilet wstępu 16 euro. Jest tu największe w Europie muzeum nauki.	Dojazd do Parc de la Villette z biletem Paris Visit Pass.	Disneyland Paris - bilet wstępu 59 euro.	Dojazd do Disneylandu z biletem Paris Visit Pass.	Kraina Fantazji w Disneyland.