Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Liczby wymierne 1

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: Basia

Spis treści

Liczby

Pitagoras mówił “Liczba rządzi wszechświatem”.

Liczby maks1.jpg
Liczby metro1.jpg
Moje edycje
2504
Star-3.svg
info


Ponumerowane komputery. Bramki w metrze w Paryżu liczą pasażerów. Licznik edycji autora tej strony.

Numerujemy domy, żeby trafić pod właściwy adres. Liczymy uczniów na wycieczce, żeby nikt się nie zgubił. Zdjęcia komputer lub aparat cyfrowy zapisuje za pomocą liczb. Komputer potrafi rozwiązać wiele problemów, jeśli tylko potrafimy je opisać w języku liczb. Może nawet narysować piękny obraz, który jest opisany liczbami.

Liczby julia1.jpg

Przedstawiony tu zbiór nazywa się fraktalem i jest rozwiązaniem pewnego równania rekurencyjnego. Narysował go komputer. Z pewnością widziałeś jak w sklepie pani sprzedawczyni wczytuje kod kreskowy kupowanego towaru. Komputer potrafi taki kod odczytać i dopisać do rachunku odpowiednią cenę.

Liczby czytnik1.jpg

Zapisywanie liczb

Od bardzo dawna ludzie posługują się liczbami i zapisują liczby w najróżniejszy sposób.

Sposób egipski

Starożytni Egipcjanie zapisywali liczby takimi znakami:

Liczby egipt.svg

Żeby zapisać czterysta, Egipcjanin rysował cztery znaki oznaczające sto. Aby napisać rok 1981, trzeba już narysować więcej znaków.

Liczby egipt zad.svg

Zadanie 1 Zapisz rok Twoich urodzin w systemie egipskim.


Sposób japoński

Japończycy zapisują liczby używając następujących znaków:

Liczby japon.svg

Liczby piszą w kolumnach.

Liczby japon2.svg

Zadanie 2

Zapisz po japońsku rok, w którym skończysz 18 lat.

Zadanie 3

Zapisz po japońsku obecny rok.



Sposób rzymski

Zegarek rzym.jpg
Tarcza.jpg
Cyfry rzymskie na zegarku. Cyfry rzymskie na szkolnej tarczy.

Oto podstawowe cyfry rzymskie:

Liczby rzymskie.svg

Z tych podstawowych cyfr Rzymianie budowali nowe znaki potrzebne do oznaczenia innych liczb. Sposób tego zapisu w oznaczeniach numeracji szkół i klas mocno się u nas zakorzenił. Liczby oznaczone poszczególnymi cyframi należało dodać lub odjąć. Zawsze, gdy cyfra oznaczająca mniejszą liczbę jest przed cyfrą oznaczającą większą liczbę, należy od tej większej liczby odjąć mniejszą: VI = 5+1 = 6 ale IV = 5 - 1 = 4 DC=500+100 ale CD = 500 - 100 = 400


Zadanie 4

Którego tomu brakuje ?

Maks ks.jpg

Zadanie 5

Zapisz następujące równości cyframi arabskimi:

 V \cdot VI = XXX

VII \cdot VII = IL

IX \cdot V = VL

X \cdot X = C

 D + D = M \,

VII \cdot VII = IL

C \cdot X = M

IX \cdot IX = LXXXI

VII \cdot VI = XXXXII

Zadanie 6

Przeczytaj i zapisz rok cyframi arabskimi: Pierwszy raz słowo “informatyka” zabrzmiało w Polsce w roku MCMLVIII. Pierwszy komputer IBM PC pojawił się w sklepach w roku MCMLXXVII.

Układy pozycyjne


Gra “Dziesiątki”

Wygrywa ten, kto w ciągu jednej minuty narysuje najwięcej kresek. Żeby można było łatwo policzyć - kreski rysujemy dziesiątkami. O tak:

Liczby policz.svg

W systemie dziesiątkowym do zapisywania liczb używamy tylko 10 znaków:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Znaki te nazywamy CYFRAMI. Wartość cyfry zależy od POZYCJI, na której ona się znajduje.

Pozycja.jpg

Jest to układ POZYCYJNY. Sposób egipski i japoński zapisywania liczb nie jest pozycyjny.

Komputer wykonuje różne zadania posługując się sygnałami elektrycznymi. Prąd elektryczny płynie - stan włączenia (angielskie “ON”). Prąd nie płynie - stan wyłączenia (angielskie “OFF”). Wygodnie jest więc używać tylko dwóch cyfr: 1 i 0. Te dwie cyfry z układu dwójkowego nazywane są bitami. Słowo bit pochodzi od angielskich wyrazów BInary digiT, czyli cyfra dwójkowa. Liczby zapisywane są w urządzeniach elektronicznych w układzie dwójkowym. Układ dwójkowy, podobnie jak dziesiętny, jest to układ pozycyjny, gdzie wartość cyfry zależy od jej pozycji. W układzie dziesiątkowym kolejne rzędy to jedności, dziesiątki, setki, tysiące itd.

Liczby dziesietnyb.svg

A w układzie dwójkowym: jedności, dwójki, czwórki, ósemki, szesnastki, trzydziestki dwójki itd.

Liczby dwoj.svg

W układzie dwójkowym 63 zapiszemy jako 111111. Na dole dopisujemy małą cyfrę 2, żeby zapisać, że to system dwójkowy. Zapiszemy teraz kilka liczb w systemie dwójkowym. Wykorzystamy jako cyfry żarówki. Żarówka zapalona będzie oznaczała cyfrę 1. Żarówka wyłączona - cyfrę 0. Zwróć uwagę w jakim rzędzie znajduje się żarówka. Od jej pozycji zależy jaką wartość ma cyfra, którą żarówka przedstawia. Popatrz na przykład:

Liczby zarowki1.SVG



Zadanie 7

Jaką liczbę zapisano w systemie dwójkowym w poniższych zadaniach? Zapalona żarówka oznacza cyfrę 1, zgaszona - cyfrę 0. a)

Liczby zarowki3.svg

b)

Liczby zarowki2a.svg

Dla miłośników układu dwójkowego wyprodukowano nawet zegarek, który pokazuje godzinę w układzie dwójkowym.

Zegarek1.jpg

Zegarek w układzie dwójkowym. Rząd pierwszy wyświetla godzinę, a rząd drugi - minuty.


Zadanie 8

Którą godzinę wskazuje ten dwójkowy zegarek na fotografii powyżej?

Liczby całkowite

Przez długi czas ludzie nie posługiwali się liczbami ujemnymi. W średniowieczu zamiast pisać przed liczbą znak “- ” pisano słowo “minus ”. Po łacinie oznacza to “mniej”. Zamiast znaku “+” pisano “piu”, co znaczy po włosku “więcej”. Dopiero w roku 1489 Niemiec Ryszard Widmann użył znaków “+” i “-” przed liczbami. Obecnie liczby ujemne oraz działania wykonywane na tych liczbach okazują się bardzo potrzebne. Oto kilka przykładów ich użycia.

Zima.jpg
Liczby termometr.svg
Jest zima. Termometr wskazuje aż -12 stopni

Celsjusza.

594px-Capcom.jpg
418px-Ariane4.jpg
Komputery w NASA odmierzają czas do

startu rakiety: -30 sekund, - 20 sekund. - 10 sekund, 0 sekund.

Rakieta wystartowała.
Rafa.jpg
Raczki.jpg
Te piękne rafy koralowe

znajdują się na głębokości 30 metrów pod wodą.

Raczki Elbląskie.

Poziom: -2 metry.

Winda.jpg
Liczby winda.svg
Winda zatrzymuje się

na piętrach -2, -1, 0, 1, 2 i 3.

Piętra -1 i -2 są pod ziemią.

Definicje

Liczby 0,1,2,3,4,..... nazywamy liczbami naturalnymi.

Liczby os nat.svg

Liczby .....,-4, -3, -2. -1, 0, 1, 2, 3, 4,..... nazywamy liczbami całkowitymi.

Liczby os cal.svg

Liczby 1, 2, 3, 4,..... nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi.

Liczby os cal dod.svg

Liczby -1, -2, -3, -4,..... nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Liczby os cal ujemne.svg

Liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Do zapisywania liczb całkowitych używamy znaków "+" ( plus) i "-" (minus). Znaki te są takie same jak znak dodawania i odejmowania, ale oznaczają coś zupełnie innego. Znak "+" często opuszczamy zapisując liczbę dodatnią: +5=5

Zadania

1 Wymień

  1. trzy liczby całkowite
  2. trzy liczby naturalne
  3. trzy liczby całkowite dodatnie
  4. trzy liczby całkowite ujemne.


2 Jakie współrzędne ma punkt zaznaczony na osi ?

Liczby os zad2a.svg
Liczby os zad2b.svg
Liczby os zad2c.svg
Liczby os zad2d.svg
a) b) c) d)


3 Wymień dwie liczby całkowite, które spełniają warunek:

  1. x < -10
  2. -1002 < x < -999
Kwiatek.svg


4 Zapisz liczbę całkowitą ujemną, która jest większa od -1000 000.

5 Zapisz najmniejszą liczbę trzycyfrową.

6 Wypisz 5 liczb całkowitych, które na osi liczbowej są w odległości od 0 mniejszej niż 3.
7 Ile jest liczb całkowitych, których odległość od zera jest mniejsza od 100 ?
8 Jaka jest najmniejsza liczba naturalna ?
9 Ile jest liczb całkowitych, które spełniają warunek

  1. -1 < x < 0
  2. -10 < x < 0
  3. -10 < x < -2
  4. -100 < x < -2


10 Czy następujące zdanie jest prawdziwe ?

  1. Każda liczba naturalna jest całkowita.
  2. Każda liczba całkowita jest naturalna.
  3. Istnieje najmniejsza liczba naturalna.
  4. Istnieje najmniejsza liczba całkowita.

11 Narysuj oś czasu i zaznacz na niej nazwiska wybitnych matematyków, którzy urodzili się w starożytności.

Euklides.jpg
Pitagoras.jpg
Tales.jpg
Euklides ur. 365 p.n.e. Pitagoras ur. 580 p.n.e. Tales ur.625 p.n.e.


Liczby os cal czas.svg


Działania na liczbach całkowitych

Dodawanie

Najłatwiej jest zrozumieć, jak wykonuje się działania na liczbach ujemnych, na “wpłatach” i “wypłatach”.

Liczby saldo.svg

W poniedziałek wpłata wyniosła 1000 zł , a wypłata na zakupy -100 zł. Na koncie zostało 900 zł. We wtorek wpłata wyniosła 900 zł, a wypłata -1000 zł. Na koniec nie było już pieniędzy. Powstał debet -100 zł.
Zadanie 1

Bez obliczania wyniku określ, jaki znak będzie miał wynik- “+” czy “-”.

  1. (+100) + (-55)
  2. (+500) + (-505)
  3. (-101) + (+1000)

Liczby saldob.svg

W środę wydano na zakup aparatu 200 zł i na opłatę raty też 200 zł. W sumie wydano 400 zł. Na koncie było -400 zł. Natomiast w czwartek wpłacono 90 złotych i wydano 90 zł. Na koncie zostało 0 zł. W tabelce zapisaliśmy różne przypadki dodawania liczb całkowitych.

Liczby cal dodawanie.svg
Zadania

1 Oblicz bez pomocy kalkulatora.

  1. (-7) + (+10)=
  2. (-70) + (-100)=
  3. (+500) + (-254)=
  4. 1020 + (-15) =

2 Oblicz za pomocą kalkulatora. Sprawdź wyniki w poprzednim zadaniu.

  1. (-7) + (+10)=
  2. (-70) + (-100)=
  3. (+500) + (-254)=
  4. 1020 + (-15) =
Liczby calk kalkul.jpg
Liczby calk kalkul2.jpg

Odejmowanie

Każdy uczeń potrafi wykonać i zrozumieć działanie 5 - 2 = 3 . Ale działanie 5 - (-2) = wydaje się trochę dziwne. Popatrzmy na odejmowanie jak na porównywanie. Kasia ma 14 lat, a Zosia ma 8 lat. O ile lat więcej ma Zosia ? 14 - 8 = 6 Odejmowanie liczb całkowitych zastosujemy do porównania, kto ma więcej pieniędzy.

Liczby cal piotr.jpg
Liczby cal mateusz.jpg
Liczby cal odejmowanie1.svg
Liczby cal marysia.jpg

Podobnie porównamy dwie liczby ujemne. Kasia ma dług 50 złotych, a Asia dług 10 złotych. Kasia ma dług o 40 złotych większy od Asi.

Liczby cal odejmowanie2.svg
Liczby cal odej michal.jpg

Michał ma pusty portfel. Ma zero złotych. Jarek ma -5 złotych, ma dług. O ile złotych więcej ma Michał ? 0 - ( - 5) = Michał ma o 5 złotych więcej od Jarka. Jarek musi zdobyć 5 złotych i oddać dług. Wtedy będą mieli tyle samo pieniędzy - zero złotych. 0 - (-5)= + 5 = 5 W poprzednich przykładach odejmowanie oznaczało porównywanie, ile więcej masz lat, ile więcej masz pieniędzy. “Odjąć” często oznacza “zabrać”. Masz 5 cukierków, oddasz 3 koleżance, zostanie 5 - 3. Jak w takim znaczeniu rozumieć 5 - (-3) ? Jaki będzie wynik ? Oto przykład, w którym będziemy odejmować ujemne punkty. Wszystkie klasy pierwsze pisały test z matematyki. Za zadania rozwiązane dobrze dostawało się punkty dodatnie, a za zadania rozwiązane źle - punkty ujemne. Pani od matematyki sprawdziła testy, oddała uczniom i wtedy cała klasa Ih) zgłosiła reklamację. - Nie mogliśmy rozwiązać ostatniego zadania, ponieważ nasza klasa była w muzeum i nie uczyła się jeszcze o odejmowaniu liczb ujemnych. Wszyscy za to zadanie otrzymali minus pięć punktów (-5). Pani od matematyki uwzględniła reklamację i powiedziała: -Dobrze, odejmę wszystkim minus pięć punktów za to ostatnie zadanie.

Liczby cal odej test.svg
Zadania
1.
Liczby cal odej zad termometr.svg

Odczytaj jaka była temperatura 26 listopada 2007 roku w różnych miejscach świata i odpowiedz na pytania:

  1. Gdzie było najzimniej ?
  2. Gdzie było najcieplej?
  3. O ile stopni było cieplej w Warszawie niż na Grenlandii ?
  4. O ile stopni było cieplej w Paryżu niż w Helsinkach ?
  5. O ile stopni było cieplej w Warszawie niż na Grenlandii ?
  6. O ile stopni było cieplej w Helsinkach niż na Grenlandii?

2. Oblicz.

  1. 5 - (-2)=
  2. -5 - (-3)=
  3. -10 - (-50)=
  4. -12 - (-1002)=

3. Oblicz na kalkulatorze.

  1. 15 - (-12)=
  2. -50 - (-3)=
  3. -100 - (-50)=
  4. -212 - (-100)=

4. Tajne ! Kod: s=-2000 i=-100 h=-33 b= -20 k=-18 o=-15 d=-13 g =-8 c=-5 a =5 n =11 f= 21 ę=28 ą=35 s=50 j=100 t =120 p=2000 -7 - 6 = -1 - 14 = 55 -(5)= 100 - (-20)= -(-6) -1 = -(-1)+ 10= 20 - (-8)=

1000 - (-1000)= (-1000) + (-1000)= -9-(-14)=

5. Winda w Pałacu Kultury i Nauki wyruszyła z parteru i przejechała 18 pięter do góry (+18), następnie zjechała w dół 20 pięter (-20). Na którym piętrze jest teraz ?

Liczby cal odej pkin1.svg
Liczby cal odej pkin2.svg

6. Samochód jeździ po osi liczbowej. Strzałka pokazuje kierunek jazdy oraz wielkość przesunięcia. W jakim punkcie będzie przednie koło samochodu po wykonaniu zaznaczonego na rysunku ruchu ?

Liczby cal zad auto1.svg
Liczby cal zad auto2.svg
Liczby cal zad auto3.svg
Liczby cal zad auto4.svg

7. Według tradycji Rzym został założony przez Romulusa 21 kwietnia -753 roku ( 753 p.n.e). Ile lat ma Rzym ?

Liczby cal odej rzym.jpg

8. Prawidłowa waga.

Wzrost Dziewczęta [13 lat] Chłopcy [13 lat] Dziewczęta [14 lat] Chłopcy [14 lat]
1,5 m 52 kg - 60 kg 53 kg - 62 kg 51 kg - 60 kg 53 kg - 61 kg
1,55 m 55 kg - 64 kg 57 kg - 66 kg 56 kg - 64 kg 57 kg - 66 kg
1,6 m 59 kg - 69 kg 61 kg - 71 kg 58 kg - 68 kg 60 kg - 70 kg
1,62 m 60 kg - 70 kg 62 kg - 72 kg 60 kg - 70 kg 62 kg - 72 kg
1,64 m 62 kg - 72 kg 64 kg - 74 kg 61 kg - 72 kg 63 kg - 73 kg
1,66 m 63 kg - 74 kg 65 kg - 76 kg 63 kg - 73 kg 65 kg - 75 kg
1,68 m 65 kg - 76 kg 67 kg - 78 kg 64 kg - 75 kg 68 kg - 77 kg
1,70 m 67 kg - 78 kg 68 kg - 79 kg 66 kg - 77 kg 68 kg - 79 kg
1,72 m 68 kg - 79 kg 70 kg - 81 kg 68 kg - 79 kg 69 kg - 81 kg
1,74 m 70 kg - 81 kg 72 kg - 83 kg 69 kg - 81 kg 71 kg - 83 kg
1,76 m 71 kg - 83 kg 73 kg - 85 kg 71 kg - 83 kg 73 kg - 85 kg
1,78 m 73 kg - 85 kg 75 kg - 87 kg 72 kg - 84 kg 74 kg - 87 kg
1,80 m 75 kg - 87 kg 77 kg - 89 kg 74 kg - 86 kg 76 kg - 89 kg
1,85 m 79 kg - 92 kg 81 kg - 94 kg 78 kg - 91 kg 80 kg - 94 kg

W tabeli podaliśmy wzrost oraz prawidłową wagę.

  1. Sprawdź, czy masz prawidłową.
  2. Sprawdź, czy dana osoba ma prawidłową wagę. Jeśli nie - oblicz ile powinna schudnąć lub przytyć.

Kasia ma 13 lat, 1,60 m wzrostu i waży 55 kg. Janek ma 13 lat, 1,70 m wzrostu i waży 85 kg. Iwonka ma 14 lat, 1,80 m wzrostu i waży 77 kg.

Obliczenia wykonaliśmy na podstawie następującego wzoru: IMG = 1,2•(waga/(wzrost•wzrost))+0,23•wiek-10,8•p - 5,4 p=0 dla dziewcząt p=1 dla chłopców Waga dla dziewcząt jest prawidłowa, gdy IMG wynosi 25 - 30, a dla chłopców 15 - 20. Wzrost należy podać w metrach, a wagę w kilogramach. http://fr.wikipedia.org/wiki/Indice_de_masse_grasse

Liczby przeciwne

Liczby przeciwne, to taka para liczb, których suma równa się zero. Na przykład: -5 i 5 są przeciwne, ponieważ (-5)+5=0 1001 i -1001 są przeciwne, ponieważ 1001 + (-1001)=0 12 i -12 są przeciwne, ponieważ 12 + (-12) = 0. Liczba przeciwna do 13 to -13. Liczba przeciwna do -5 to 5.

Liczby cal przeciwne.svg
Liczby cal przeciwne2.svg

Na osi liczbowej liczby przeciwne połączyliśmy łukami w pary. Zwróć uwagę, że leżą one po przeciwnych stronach zera, w tej samej odległości.


Zadanie Wypisz 5 par liczb przeciwnych.

Karta pracy

Imię ......................... Nazwisko.............Data....... Klasa....... 1.W teleturnieju “Wiem wszystko” zawodnicy odpowiadali na 10 pytań. Za odpowiedź poprawną zawodnik otrzymywał + 1 punkt, a za błędną − 1 punkt. Oblicz sumę punktów.

Liczby cal dodawanie karta1.svg

2.W loterii “Białe czy czarne” każdy losuje 10 kulek. Za wylosowanie kulki białej otrzymuje się + 1 punkt, a za wylosowanie kulki czarnej − 1 punkt. Pomaluj odpowiednią liczbę kulek na czarno tak, żeby zgadzała się suma punktów.

Liczby cal dodawanie karta1b.svg
Termometr.svg

3. Na termometrze zaznacz odpowiednimi literami następujące temperatury:

A. Skraplanie powietrza -192 stopnie Celsjusza. B. Najniższa temperatura w atmosferze -143 stopni C. C. Najniższa temperatura na Ziemi -89 stopni C (21 sierpnia 1983 Antarktyda). D. Średnia temperatura na Marsie -57 stopni C. E. Najniższa temperatura w Polsce -40 stopni C (10 lutego 1929 Żywiec). F. Chomik we śnie zimowym 6 stopni C. G. Najwyższa temperatura w Polsce 40 stopni C (Pruszków k. Opola 29 sierpnia 1921).

4.Połącz punkty odcinkami w kolejności od liczby najmniejszej do największej.

Liczby cal dodawanie karta1d.svg

Gra Pionki

W tej grze wygrywa ten, kto zdobędzie najwięcej punktów. Na każdym polu zapisane są punkty, które otrzymujesz przechodząc przez to pole. Punkty są dodatnie i ujemne. Idziesz od Startu do Mety. Pionek musi iść zawsze w kierunku Mety, nie może się cofać, ale ma do wyboru sąsiednie pola położone bliżej Mety.

Liczby cal odej pion1.svg

Strategia

Jeśli chcesz zbadać, jaka droga jest najlepsza, sprawdź, ile możesz zdobyć maksymalnie punktów przechodząc przez dane pole. Wypełnij sobie wszystkie pola i następnie wybierz najlepszą drogę.

Liczby cal odej pion2.svg
Projekt Strefy czasowe

Na rysunku widzisz zegary umieszczone w różnych częściach świata. Gdy w Warszawie jest godzina 13.00 w Tokio jest 21.00, a w Nowym Yorku 7.00 rano.

Liczby cal dodawanie strefy1a.svg

Na następnym rysunku zaznaczyliśmy ile godzin trzeba dodać lub odjąć od godziny, która jest na zegarach w Polsce, żeby dowiedzieć się która godzina jest w danym mieście.

Liczby cal dodawanie strefy1b.svg

1. Idziesz do szkoły na godzinę 8.00. Napisz, która godzina jest wtedy w

  1. Tokio
  2. Pekinie
  3. Paryżu
  4. Londynie
  5. Moskwie
  6. Ottawie
  7. na Alasce.

2.Zaplanuj 5 wycieczek dwudniowych. Będziemy podróżować samolotem ATR 42-500, który osiąga prędkość 550 km/h. W tabelce podajemy odległości między poszczególnymi miastami. Oblicz, o której musimy wsiąść w samolot w Warszawie, żeby w danym miejscu być w sobotę o godzinie 8.00.

Liczby strefy3.jpg
Warszawa Nowy York Ottawa Chicago Londyn Paryż Moskwa Tokio
Warszawa 0 6857 6576 7517 1454 1383 1133 8572
Nowy York 6857 0 546 1158 5585 5851 7533 10879
Ottawa 6576 576 0 1047 5376 5663 7179 10345
Chicago 7517 1158 1047 0 6378 6675 8029 10161
Londyn 1454 5585 5376 6378 0 343 2508 9585
Paryż 1383 5851 5663 6675 343 0 2495 9739
Moskwa 1133 7533 7179 8029 2508 2495 0 7500
Tokio 8572 10879 10345 10161 9585 9739 7500 0

3. Zaplanuj dłuższą wycieczkę, w której zwiedzimy wszystkie wymienione w tabelce miasta. Na zwiedzanie miasta przeznaczamy jeden dzień. Zaplanuj trasę i godzinę odlotu samolotu. Ile dni będziemy podróżować? Postaraj się wyznaczyć jak najkrótszą trasę. 4.Zwiedzając świat poznasz wielu przyjaciół i będziesz chciał złożyć im życzenia noworoczne. Zapisz w tabelce, o której godzinie należy zatelefonować z Polski, żeby w danym miejscu świata właśnie rozpoczynał się Nowy Rok.

Liczby cal strefy4.jpg
Nowy York 24.00 Ottawa 24.00 Chicago 24.00 Londyn 24.00 Paryż 24.00 Moskwa 24.00 Tokio 24.00 Pekin 24.00 Hawana 24.00
Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa ..... Warszawa .....

Mnożenie liczb całkowitych

Chińczycy już od II w. p.n.e. używali kresek czarnych do zaznaczenia “wydatków” i czerwonych do zaznaczenia “wpływów”.

Liczby cal mnozenie1.svg

W Europie dopiero w połowie XVIII w. zaczęto wykonywać działania na liczbach ujemnych, chociaż reguły odkryli już w VII w. p.n.e. Hindusi. W XVI wieku zaczęto posługiwać się osią liczbową, która ułatwiła zrozumienie liczb ujemnych. Jak należy rozumieć działanie 3•(-2) ? Jaki powinien być wynik ? Wyobraź sobie test, w którym uczeń otrzymał z 3 zadań po -2 punkty.

Liczby cal mnozenie2.svg

W sumie uczeń otrzymał minus 6 punktów (-6). Podobnie policzymy 30 • (-2) =-60. Przez 30 dni zjadasz pączka za 2 złote na kredyt. Po miesiącu Twój dług wyniesie -60 złotych. A jak obliczymy (-5 )• 3 ? Jaki powinien być wynik ? Minus 5 może oznaczać operację zabrać 5 razy 3 punkty, czyli zabieramy 15 punktów. (-5)•3=-15 Mnożenie jest przemienne. 3•5=5•3 Powinno być również przemienne mnożenie liczb całkowitych. 3•(-5)=-15 (-5)•3 też powinno się równać -15. Teraz najtrudniejszy przykład (-3)•(-5)=  ? Jaki powinien być wynik ? Zastosujemy pewną sztuczkę:

Liczby cal mnozenie3.svg

Liczba ujemna razy liczba ujemna to liczba dodatnia. Ktoś “zabiera” nam trzy razy minus 5 punktów, to tak jakby dodał 15 punktów. Zasady wykonywania działań na liczbach ujemnych będą bardzo potrzebne w algebrze, której elementy poznasz już za kilka lekcji. Znając je będziesz rozwiązywać trudne zadania posługując się równaniami. Liczby całkowite mnożymy więc w następujący sposób:

Liczby cal mnozenie4.svg

Dzielenie liczb całkowitych

(-10) : 2 = Dług 10 złotych dzielimy między dwie osoby. Każda osoba spłaca 5 złotych.

Liczby cal dzielenie2.svg

Jaki powinien być wynik 10 : (-2) ? Dzielenie jest operacją odwrotną do mnożenia. 10:2=5, ponieważ 5 * 2=10.

Liczby cal dzielenie3.svg

Jaki powinien być wynik (-10) : (-2) ? Każdego dnia wydawałeś 2 złote na kredyt. Uzbierał Ci się dług 10 złotych. Przez ile dni ? Oczywiście prze 5. (-10) :(-2)=5.

Liczby cal dzielenie.svg
Zadania

1.Jeżeli pojutrze jest niedziela, to jaki dzień był przedwczoraj ?

Liczby cal dzielenie z1.svg

2.

  1. Jaki dzień tygodnia był 7 dni temu?
  2. Jaki dzień tygodnia był 8 dni temu?
  3. Jaki dzień tygodnia był 21 dni temu?
  4. Jaki dzień tygodnia był 22 dni temu?
  5. Jaki dzień tygodnia był 100 dni temu?
Liczby cal dzielenie z2.svg

3. Matura w liceum rozpocznie się w poniedziałek 5 maja. Kiedy powinna odbyć się studniówka, żeby było dokładnie 100 dni wcześniej. Jaki to będzie dzień tygodnia ? Styczeń - 31 dni, luty - 28 lub 29, marzec -31, kwiecień -30, maj - 31, czerwiec - 30, lipiec - 31, sierpień - 31, wrzesień - 30, październik - 31, grudzień - 30. 4.Albert Einstein urodził się 14 marca 1879 . Było to dokładnie 47 071 dni temu. To zadanie napisaliśmy w poniedziałek 28 stycznia 2008 roku. Jakiego dnia tygodnia urodził się Einstein?

Albert Einstein 1947.jpg

5. 20 lipca 1969 roku amerykańscy kosmonauci wylądowali na Księżycu i umieścili tam tabliczkę z napisem: "W tym miejscu ludzie z planety Ziemia po raz pierwszy postawili stopę na Księżycu. Lipiec 1969. Przybywamy w pokoju dla dobra całej ludzkości." Było to dokładnie 14 071 dni temu. To zadanie napisaliśmy w poniedziałek 28 stycznia 2008 roku. Jakiego dnia tygodnia pierwszy człowiek wylądował na Księżycu?

Aldrin Apollo 11.jpg

6.Zadanie dla matematyka Oblicz, w jaki dzień tygodnia urodziłeś się. Możesz dodać dni, które już przeżyłeś i następnie obliczyć resztę dzielenia sumy dni przez 7. Pamiętaj, że luty w latach przestępnych ma 29 dni. Styczeń - 31 dni, luty - 28 lub 29, marzec -31, kwiecień -30, maj - 31, czerwiec - 30, lipiec - 31, sierpień - 31, wrzesień - 30, październik - 31, grudzień - 30. Możesz również skorzystać z wzoru, który opracował Zeller. (http://pl.wikipedia.org/wiki/Wieczny_kalendarz) 7.Zadanie dla matematyka (Kangur 2007; zadanie za 4 punkty).

Zepsuty kalkulator nie wyświetla cyfry 1. Na przykład, jeśli wpiszemy liczbę 3131, to pokazuje on liczbę 33 bez żadnych odstępów między cyframi. Michał napisał na tym kalkulatorze pewną liczbę sześciocyfrową i na wyświetlaczu kalkulatora pojawiła się liczba 2007. Dla ilu liczb mogło się to zdarzyć?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 Tu znajdziesz podpowiedź.

8. Zadanie dla matematyka(Kangur 2007; zadanie za 5 punktów)

Pięć liczb całkowitych rozmieszczono na okręgu. Okazało się, że dla każdych dwóch sąsiadujących ze sobą liczb, ani ich suma, ani suma pozostałych trzech liczb nie jest podzielna przez 3. Ile wśród tych pięciu liczb jest podzielnych przez 3? A) O B) 1 C) 2 D) 3 E) Nie można tego wyznaczyć. Tu znajdziesz podpowiedź.

Więcej zadań z Kangura znajdziesz na stronie http://spiskangur.webpark.pl/index.htm#. Poziom Kadet jest dla klasy I gimnazjum.

Kolejność wykonywania działań.

Oto bardzo popularna we Francji telewizyjna gra pt. „Cyfry i litery” ( „Des Chiffres et des Lettres„).

Liczby calk kolej przykl.jpg

Z wylosowanych sześciu liczb po wykonaniu dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia należy otrzymać liczbę wybraną losowo. Nie trzeba użyć wszystkich działań. W naszym przykładzie należy uzyskać liczbę 399 wstawiając odpowiednie znaki działań oraz nawiasy między liczby: 2, 3, 5, 6, 9,50. Nie trzeba wykorzystać wszystkich kart. Wygrywa ten zawodnik, który będzie miał wynik najbliższy 399. (50•2+6•5)•3+9= 399 Udało się! Zanim zagracie w tę grę przypomnijmy zasady dotyczące kolejności wykonywania działań. Kolejność wykonywania działań jest następująca:

1. najpierw działania w nawiasach

2. następnie potęgowanie

3. następnie mnożenie i dzielenie

4. następnie dodawanie i odejmowanie.

Przykład: 5 − (3 − 7) = 5 − ( − 4) = 5 + 4 = 9  2 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8

Zadanie 1 Oblicz w pamięci:

  1.  100-90:3=\,
  2.  100 - 5 \cdot 8 : 4 + 10 \cdot 75 =
  3. (12 + 18) \cdot (40 - 39) =
  4.  81:(9-8)-81=\,

Zadanie 2 Jakie proponujesz wykonać działania, żeby otrzymać wynik jak najbliższy wylosowanej liczbie ? Można mnożyć, dzielić, dodawać i odejmować. Można również używać nawiasy.

Liczby calk kolej2.jpg
Liczby calk kolej3.jpg
Liczby calk kolej4.jpg
a) b) c)

Zadanie 3 Oblicz

  1.  10 - ( 10 : 5 ) + 5 \cdot ( 10 - 9 ) =
  2.  2 - ( 2 - ( 2 - ( 2 - 1))) =\,

Nie wiesz od czego zacząć? Wyobraź sobie, źe te nawiasy, to papier, w który zapakowano poszczególne działania. Żeby obliczyć wyrażenie musisz rozpakować wszystkie opakowania i dotrzeć do samego środka.

Liczby cal kolejnosc.svg

Ułamki

Pojęcie ułamka

W wielu sytuacjach posługujemy się liczbami zapisanymi w postaci ułamka. Popatrz na ilustracje:

Ulamki1.jpg
Ulamki 2.jpg
Ulamki 3.jpg
Pizza podzielona na 8 równych kawałków.

Jeden kawałek to jedna ósma. Ułamek jest tu wynikiem dzielenia.

Ktoś tu wypił jedną trzecią mleka.

Ułamek jest miarą.

W tym termosie zmieści się półtora litra

herbaty.Ułamki mogą być większe od 1.

Ulamki 4.jpg
Ulamki 5.jpg
Ulamki 6.jpg
Sześciokąt zbudowaliśmy z klocków

czerwonych i zielonych. Zielone stanowią jedną szóstą, czerwone - pięć szóstych.

Pole małego sześciokąta do pola dużego

wynosi 6 : 24 lub 1 : 4. Pole małego sześciokąta jest czwartą częścią dużego. Ułamek jest stosunkiem dwóch wielkości.

W tym pudełku brakuje trzy dziesiąte jajek,

to prawie jedna trzecia !

Ułamek może również oznaczać pewną czynność - dzielenia na równe części i połączenia kilku z nich. Na przykład możemy wziąć dwie trzecie z całego jabłuszka. Popatrz na rysunek.

Ulamki7.jpg
Ulamki licznik.svg

Zadanie 1 Narysuj: a) 1 jabłko i pół jabłka b) półtora serduszka c) trzy czwarte szklanki mleka d) jedną ósmą pizzy e) 1 : 3 ( np 1 tort podzielony na 3 równe części) f) 3 : 2 ( np 3 pączki podzielone na 2 równe części ) g) 2/3 ( np rękaw przy sukience długości dwie trzecie). h) 5 : 2 ( np wynik sprawiedliwego podzielenia 5 brzoskwiń między 2 osoby).

Zadanie 2 Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej ułamki 1/2, 2/3, 1 i 1/2.

Zadanie 3 Zapisz ułamkiem odpowiedź na pytania: a) Jaką część tygodnia stanowią dni wolne od pracy ? b) Jaką część doby stanowi jedna godzina ? c) Jaką część godziny stanowi jedna minuta ? d) Jaką część minuty stanowi jedna sekunda ? f) Jaką część godziny stanowi jedna sekunda ?

Zadanie 4 Zapisz ułamkiem jaką część doby przesypiają : a) Kot śpi 14 h. b) Żyrafa śpi 2 h. c) Nietoperz śpi 20 h. d) Uczeń gimnazjum śpi średni 9 - 10 godzin ( wynik badań).

Złoty podział

Center

Złoty podział można spotkać w dziełach malarzy, architektów, konstruktorów . Panteon w Rzymie zbudowano zgodnie z zasadą złotych proporcji. Lawrence Alma-Tadema namalował "Róże Heliogabala" w takim właśnie złotym prostokącie. Center

Wiele złotych proporcji można spotkać w przyrodzie. Kolejne liście wyrastają tak, żeby jak najwięcej docierało światła i deszczu do liści położonych niżej. Warunki te są spełnione, gdy zachowany jest złoty podział w odległościach między kolejnymi piętrami. Center

Na fotografii widzisz dwudziestościan foremny. Gdy połączymy jego wierzchołki otrzymamy prostokąty, które mają złote proporcje. Niektórzy konstruktorzy samolotów i samochodów również przestrzegają zasad złotego podziału.

Center Center Center

Zadanie 1 Może również Twoja ręka ma „boskie proporcje”. Sprawdź. Oblicz stosunek długości przedramienia do długości dłoni. Czy otrzymałeś wynik w przybliżeniu równy 1,6 ? Center

Zadanie 2

Złoty prostokąt, to prostokąt, którego boki są w złotym stosunku. Odszukaj na rysunku złoty prostokąt. Podobno taki prostokąt podoba się największej liczbie osób. Oblicz na kalkulatorze, czy stosunek dłuższego boku prostokąta do krótszego wynosi w przybliżeniu 1,6. Center

Zadanie 3

Znani malarze, architekci bardzo często stosowali w swoich pracach złoty podział. Odszukajmy złote proporcje w obrazie Leonarda da Vinci „Mona Lisa”. Center

Może odnajdziesz je również w twarzy bardzo znanej aktorki Audrey Hepburn . Center

Sprawdź. Oblicz stosunek dłuższego boku prostokąta do krótszego boku. Czy wynosi w przybliżeniu 1,6 ? Oblicz i odpowiedz na pytania: a) Czy w obrazie „Mona Lisa” odnalazłeś złote proporcje ?

b) Czy w twarzy Audrey Hepburn również odnalazłeś złote proporcje ? Zadanie 4

Zmierz wymiary kilku swoich zeszytów i książek. Czy ich kształt jest złotym prostokątem ?

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Na urodziny dostałeś piękny tort.

Ulamki rozszerzanie1.svg

Na ile części go podzielisz? Zależy ilu przyjdzie gości. Gdyby były 4 osoby, to każdy może dostać po jednej czwartej tortu. Ale jeśli będzie 8 osób, to tort podzielisz na 8 części i każdy dostanie jedną ósmą. A jeśli przyjdzie cała Twoja klasa ?

Ulamki rozszerzanie2a.svg

Czy jedna druga tortu to tyle samo co dwie czwarte ? Tak, ponieważ w pierwszym przypadku tort podzielono na dwie równe części i zjadłeś jedną część. W drugim przypadku tort podzielono na dwa razy więcej kawałków i zjadłeś dwa razy więcej takich część. W drugim przypadku części były dwa razy mniejsze.

Ulamki rozszerzanie3.svg

Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu jego licznika i mianownika przez taką samą liczbę całkowitą, różną od zera. Wartość ułamka nie zmieni się. Skracanie ułamka polega na podzieleniu jego licznika i mianownika przez taką samą liczbę całkowitą, różną od zera. Wartość ułamka nie zmieni się.

Ulamki rozszerzanie4.svg

Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika polega na takim ich zapisaniu, żeby miały jednakowe mianowniki. Na przykład, żeby porównać ułamki często musimy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Ulamki rozszerzanie zad3.svg

Zadania

1. Wyłącz całości z ułamków.

Ulamki rozszerzanie zad1.svg

a) \frac{8}{4}

b) \frac{44}{11}

c) \frac{300}{6}

d) \frac{5}{2}

e) \frac{14}{5}

f) \frac{90}{7}

2.Zapisz liczby w postaci ułamków.

Ulamki rozszerzanie zad2.svg

a) 2\frac{1}{4}  b)20\frac{1}{20} c)3\frac{1}{100} d)10\frac{1}{1000}

3. Wstaw ułamek między podane ułamki:

Ulamki rozszerzanie5.svg

a) 1/3 < x < 2/3 b) 1/10 < x < 2/10 c) -2/3 < x < -1/3 d) -2/10 < x <-1/10 4) Porównaj ułamki. Wstaw znak “<“, “>“ lub “=“. a) 12/3 ... 5/3 b) 1/10 ...1/ 1 000 000 c) 5/7 ... 6/7 d) 8/5 ... 5/8 e) 2/7 ... 1/5 f) 10/20 ... 1/2 g) 7/5 ... 8/5 5) Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej: 1/2; -1/10; -1/11; -1 1/10; 0; -1/2; -11/2

Ulamki rozszerzanie zad6.svg

Działania na ułamkach

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Ulamki czekol1.jpg

Jedna dziesiąta część czekolady dodać dwie dziesiąte to w sumie trzy dziesiąte części czekolady.

Ulamki jablko1.jpg

Trzy trzecie części jabłka minus jedna trzecia część jabłka to dwie trzecie części jabłka. Kiedy ułamki mają jednakowe mianowniki, wystarczy dodać lub odjąć ich liczniki. Jeśli mianowniki są różne, to wcześniej musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Ulamki pomar cal.jpg

Pół pomarańczy dodać dwie ósme części pomarańczy. Wspólnym mianownikiem może być osiem. Zamieniamy jedną drugą na cztery ósme i dodajemy dwie ósme. W sumie mamy sześć ósmych pomarańczy.

Zadania

Zadanie 1

Ulamki dodawanie kanapka.jpg

Oblicz a) \frac{1}{2} +\frac{1}{2}  ,    b) \frac{1}{4} +\frac{1}{4}  ,    c)\frac{1}{2} +\frac{1}{4} ,    d) 1 -\frac{1}{2}  ,   
e) \frac{3}{2} +\frac{3}{2} ,    f)3-\frac{1}{2} ,    g) \frac{1}{2}-\frac{1}{4} ,    h) \frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}
Zadanie 2

Ulamki dodawanie klocki.jpg

Oblicz: a) \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} ,    b) \frac{1}{2} +\frac{1}{6}  ,    c) \frac{1}{2} -\frac{1}{6}  ,    d) \frac{1}{2} -\frac{1}{3}  ,    e) 2 -\frac{1}{6}  ,    f) 2 \frac{1}{3} -\frac{1}{2}  ,   
Zadanie 3

Ulamki dodawanie termometr.jpg

Gdy o dziewiątej rano wyruszaliśmy w góry, temperatura wynosiła 5 stopni. Nasz przewodnik powiedział, żeby zabrać ciepłą kurtkę, ponieważ będzie bardzo zimno. Autobusem jechaliśmy godzinę i około godziny dziesiątej rozpoczęła się nasza wspinaczka. Zabraliśmy termometr i co godzinę sprawdzaliśmy temperaturę. Okazało się, że temperatura spadała o dwa i pół stopnia co godzinę. Dokończ wypełnianie tabelki.

Godzina 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00
Temperatura 5 stopni C ..... ..... ..... ..... ..... .....

Mnożenie ułamków.

Ulamki ser2.jpg

Siedem razy po jednej ósmej to siedem ósmych. Mnożymy przez liczbę 7 tylko licznik ułamka, mamy siedem razy więcej ósmych części. Wyobraź sobie, że nasz rysunek przedstawia jedną czwartą tabliczki czekolady. Jedną trzecią z tej jednej czwartej całej tabliczki dostał Jacek. Jaką część całej czekolady dostał Jacek ? Jak to obliczyć ? Trzeba obliczyć ile wynosi jedna trzecia z jednej czwartej, czyli pomnożyć jedną trzecią przez jedną czwartą.

Ulamki mnozenie1.svg

Z czwartej części czekolady Jacek dostał trzecią część, czyli dwunastą część całej czekolady. Teraz dajmy Jackowi trochę więcej czekolady. Z czwartej części czekolady Jacek dostanie dwie trzecie.

Ulamki mnozenie2.svg

Dwie trzecie z jednej czwartej to będą dwie dwunaste. Dwa razy więcej niż poprzednio. Ułamki mnożymy w ten sposób, że licznik mnożymy przez licznik, a mianownik przez mianownik.

Dzielenie ułamków.

Mamy siedem ósmych litra soku i chcemy podzielić ten sok na trzy równe części. Ile soku będzie w jednej szklance ?

Ulamki dzielenie1.svg

W każdej szklance będzie siedem dwudziestych czwartych soku. Teraz zadanie trudniejsze: \frac{3}{5}   :\frac{7}{8}  = ?

Ulamki dzielenie2.svg

Na przykład chcielibyśmy się dowiedzieć jaką część tego napoju stanowi sok malinowy. Napój wykonaliśmy w ten sposób, że do wody wlaliśmy 3/5 litra soku malinowego. Otrzymaliśmy 7/8 litra napoju. Jaką część stanowi sok ? Obliczymy to podobnie jak liczymy jaką część spośród 3 osób stanowią 2 osoby: 2: 3=2/3 Wracamy do soku malinowego. Sok: 3/5. Cały napój: 7/8. Żeby obliczyć, jaką część stanowi sok, wykonamy dzielenie.

Ulamki dzielenie3.svg

W podobny sposób poradzimy sobie z podzieleniem liczby całkowitej przez ułamek. Mamy 2 litry napoju. W szklance zmieści się jedna piąta litra. Do ilu szklanek możemy rozlać ten napój ?

Ulamki dzielenie5.svg

Zadania

1Oblicz a) 20 :\frac{1}{2}  ,    b) 20 .\frac{1}{2}  ,   c) \frac{1}{2}  : 20 ,   d) \frac{6}{5}  : 2,    e) \frac{3}{5}  \frac{4}{5}  ,    f)1\frac{1}{2} \frac{3}{4}  ,    g) 2\frac{1}{2}  : \frac{3}{4}  ,    h) 1 :\frac{17}{18}  ,    2 Pięćset kartek papieru waży 1,5 kg. Ile waży jedna kartka ?
3 3/5 masy śliwek stanowi woda. Mama suszy 2 kg śliwek. a) Ile otrzyma suszonych owoców ? b) Ile powinna ususzyć śliwek, żeby otrzymać 1 kg suszonych śliwek ?
4 W klasie I a) jest 28 uczniów. Połowa to dziewczynki. 2/7 dziewczynek potrafi usmażyć naleśniki. Ile dziewczynek w tej klasie potrafi usmażyć naleśniki ?
5 W klasie I d) jest 32 uczniów. Dzisiaj jest obecnych 7/8 liczby wszystkich uczniów. Ilu uczniów jest nieobecnych ?
6 Oto kostka Rubika.

Ulamki dzielenie zad1.svg

Przyjrzyj się jej dokładnie i odpowiedz na pytania: a) Jaką część stanowią sześciany, które mają jedną ściankę pomalowaną ? b) Jaką część stanowią sześciany, które mają dwie ścianki pomalowane ? c) Jaką część stanowią sześciany, które mają trzy ściany pomalowane ? d) Jaką część stanowią sześciany, które znajdują się w środku kostki nie mają pomalowanych ścianek ?
7 Mama potrzebuje 2 litry śmietany. W sklepie śmietana jest w pojemnikach o pojemności 1/5 litra. Ile pojemników musi kupić ?
8 Konkurs “Kangur” trwa 5/4 godziny. Ile to minut ?
9 Tata sprawdził, że od godziny 17.00 do 9.00 rano następnego dnia spaliliśmy 7 metrów sześciennych gazu. Ile gazu spalimy przez dobę ?
10 Samochód spala 5 litrów na 100 kilometrów. Ile benzyny spali z Warszawy do Łodzi ( ok. 130 km) ? A ile spali z Warszawy do Paryża ( ok. 1440 km) ?
11 Metr kwadratowy wykładziny kosztuje 20 zł. Ile zapłacimy za dywanik o długości 1,5 m i szerokości 2 m ?
12 Sześciu uczniów, czyli 1/6 klasy, je obiady w szkole . Ilu uczniów jest w tej klasie ?
13 W styczniu słońce wschodzi około ósmej rano, a zachodzi około trzeciej po południu. Jaka to część doby ? W czerwcu słońce wschodzi około trzecie rano i zachodzi około ósmej wieczorem. Jaka to część doby ?
14 Kasia przeczytała w przepisie na pierogi leniwe, że potrzeba 1 kg twarogu i 4 jajka. Kasia ma 3 jajka. Ile twarogu musi dodać ?
15 Jaką częścią 3/5 jest 1/2 ?
16 Komputer kosztował 1800 zł. Jego cenę obniżono o 1/5. Ile teraz kosztuje ?
17 W akcji “Góra złota” uczniowie zebrali 220 monet o wartości 1/10 zł, 120 monet o wartości 1/2 zł i 448 monet o wartości 1/5 złotego. Ile pieniędzy zebrali ?
18 9 litrów miodu rozlano do słoiczków o pojemności 2/5 litra. Ile słoiczków wykorzystano ?
19 Oblicz pole prostokąta o rozmiarach: długość 3/4 metra, szerokość 1/2 metra.
20 Do przedszkola kupiono kolorowe piłeczki: 3/5 czerwonych i 2/5 niebieskich. Ile razy więcej kupiono piłeczek czerwonych?

Liczby dziesiętne

Dziesietne waga.jpg
Dziesietne wzrost.jpg

Piesek na zdjęciu ma 8 tygodni, waży 300 gram, czyli 0,3 kg i ma wzrost 7,3 cm. Należy do najmniejszej rasy piesków chihuahua. Bardzo często ułamki o mianownikach 10, 100, 1000 ... zapisujemy w postaci dziesiętnej. \frac{3}{10} =0,3

\frac{3}{100} =0,03

\frac{55}{1000} =0,055

Liczby dziesiet 1.svg
Liczby dziesiet 2.svg

Gdy czytamy liczbę zapisaną w postaci dziesiętnej, patrzymy w jakim rzędzie znajduje się cyfra zapisana jako ostatnia. Popatrz na przykłady:

Liczby dziesiet 3.svg

Zadanie 1 Przeczytaj głośno: a) Normalna temperatura człowieka wynosi 37,9 stopnia Celsjusza. b) Jeden grosz z roku 1938 waży 1,5 grama, a jeden grosz z roku 1621 waży 0,921 grama. c) Pierwszy komputer Eniac z roku 1945 ważył 30 ton, a laptop firmy Samsung z roku 2008 waży 1,89 kg. d) Gazomierz wskazał 1770,258 metrów sześciennych zużytego gazu. Zadanie 2

Zapisz w postaci liczby dziesiętnej: a) jedna dziesiąta b) trzy całe i 3 setne c) pięć tysięcznych d) trzysta trzydzieści pięć dziesięciotysięcznych.

Dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych

Działania na liczbach dziesiętnych jest o wiele łatwiej wykonywać niż na zwykłych ułamkach. Są one już “sprowadzone do wspólnego mianownika” i wystarczy pamiętać o dokładnym zapisaniu rzędów. Przecinek musi być pod przecinkiem. Oto kilka przykładów.

Liczby dziesiet 5.svg

Podobnie jak w przy dodawaniu liczb całkowitych, gdy w rzędzie mamy więcej niż 9 jednostek - przenosimy dziesiątkę do rzędu wyższego.

Liczby dziesiet 6.svg

Odejmowanie:

Liczby dziesiet 7.svg

Zadanie 3

Oblicz i odczytaj zaszyfrowane słowo. a) 2+0,77=...     b) 0,7+0,3=...     c) 0,12+0,08=...    d) 1,01+0,1=...     e) 1,01+0,1=...     f) 0,253+0,56=...    h) 1,81+0,09=...

A=0,2     B=0,27     C=0,303     D=0,44     E=0     K=1     L=1,009    M=1,013     N=1,11     0=1,88     P=1,89     R=1,9     S=2,77     T=3

Zadanie 4

Oblicz i odczytaj zaszyfrowane słowo. a) 30- 9,92     b) 72,001-27,25     c) 108,2 - 55,35 d) 1000-954,58     e) 100,01 - 75,001     f) 45,009-0,08

A=20,08     B=25,009     C= 34,76     D= 43,751     I=44,929 J= 45,03     K=45,003     O=45,42     R= 52,85     S= 53

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych

Liczby laptop.JPG

Laptop, który dzisiaj widziałam w sklepie, kosztuje dokładnie 1899 zł., czyli około 1900 zł. Po zaokrągleniu otrzymujemy cenę mniej dokładną, ale łatwiejszą do zapamiętania. W Polsce w 2008 roku liczba ludności wynosiła 38 518 241. Zaokrąglijmy tę liczbę z dokładnością do milionów:

Zaokraglanie1.svg

Liczba π (czytaj pi), którą potrzebujemy np. obliczając obwód koła, wynosi około 3, 141 592 Zaokrąglimy π z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku: 3, 14.

Ważne

Zaokrąglamy według następującej zasady: Gdy pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, wtedy nie zmieniamy ostatniej cyfry w przybliżanej liczbie. Gdy pierwsza z odrzuconych cyfr jest 5 lub więcej , wtedy do ostatnie cyfry dodajemy 1.

Zadanie 1 Ile wynosiła w 2007 roku liczba mieszkańców podanych krajów z dokładnością do milionów ? Anglia ..... 50 714 000 Chiny ..... 1 319 175 346 Francja ..... 64 102 140 Japonia ..... 127 434 000 Rosja ..... 141 377 752 Stany Zjednoczone .... 301 139 947 Włochy ..... 59 545 000 Zadanie 2

π ≈ 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 ... Podaj wartość liczby pi z dokładnością do dziesięciu miejsc po przecinku. Zadanie 3

Liczby sklep.jpg

Podaj ceny wymienionych na rachunku produktów z dokładnością do jedności: Mleko ..... 2,19 zł Wafle ..... 1,89 zł Bułka zwykła ..... 0,42 zł Bułka słodka ..... 0,35 zł Pomidor ..... 0,87 zł Następnie oblicz przybliżoną sumę pieniędzy, potrzebnych na te zakupy. Zadanie 4

Wymień trzy liczby, których przybliżenie z dokładnością do setek wynosi 1000.

Zadanie 5

Wymień trzy liczby, których przybliżenie z dokładnością do setnych wynosi 0,1.

Zadanie 6

Przeczytaj liczby z dokładnością do tysięcy:

- Obwód Ziemi wynosi 40 041 km. - Największe góry świata Himalaje mają wysokość 8 848 m - Najdłuższa rzeka świata Amazonka ma długość 7 025 km.

Przeczytaj liczbę z dokładnością do milionów: -Prędkość rozchodzenia się światła wynosi 299 792 458 metrów na sekundę.

Zadanie 7

Wkomp.jpg
Komp skala.jpg

Ile waży ten laptop ? Odczytaj wagę z dokładnością do 1 kg.

Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000 ...

1. Oblicz na kalkulatorze:

45 :10 = 4,5:10= 0,45 :10 = 0,045:10 =

Nie musisz wpisywać wszystkich przykładów. Twój kalkulator powtórzy działanie, jeśli naciśniesz klawisz “=“.

Kalk1a.jpg
Kalk1c.jpg

Chyba nie dziwi Cię ten wynik. Liczymy w układzie dziesiątkowym, w którym jednostka w kolejnym, wyższym rzędzie jest 10 razy większa.

Liczby liczydlo2.jpg
Liczby lalka.jpg
Liczby baton.jpg
Lalka kosztuje 12 zł. Baton kosztuje 1,2 zł

Lalka kosztuje 12 zł, a baton 1,2 zł. Baton kosztuje 10 razy mniej.

Liczby pieski.jpg

Dog waży 80 kg, a najmniejszy piesek świata chihuahua waży 0,8 kg, czyli 100 razy mniej.

Liczby dziesietne1.svg
Liczby dziesietne2.svg

Liczba 12 została podzielona przez 10. Zamiast jednej dziesiątki - otrzymaliśmy jedną jedność, zamiast dwóch jedności - otrzymaliśmy dwie dziesiąte. W tabelce liczba “przesunęła się” o jeden rząd w prawo. Przecinkiem oddzieliliśmy jedności od części dziesiątych. W drugiej tabelce pomnożono liczbę przez 100. Cyfra 8 przesunęła się o dwa rzędy w lewo. Z 8 dziesiątych otrzymaliśmy 8 dziesiątek. Podzielmy teraz przez tysiąc. 1 000 = 10 *10*10 Musimy sześć razy podzielić naszą liczbę przez 10. 3,14: 10 = 0,314 0,314 :10=0,0314 0,0314:10=0,00314 Zwykle, gdy wykonujemy dzielenie lub mnożenie liczby przez 10, 100, 1000... nie rysujemy sobie pomocniczej tabelki z rzędami. Pamiętamy, że dzielenie przez 10 spowoduje przesunięcie przecinka o jedno miejsce w prawo. Natomiast mnożenie przez 10 spowoduje przesunięcie przecinka o jedno miejsce w lewo. Często musimy dopisać zera, żeby zapisać cyfrę w odpowiednim rzędzie. Gdy pomnożymy liczbę dziesiętną przez 100 000 000 000, przesuniemy przecinek o 11 miejsc w prawo, ponieważ mnożymy przez jedenastą potęgę 10, jedenaście razy musimy pomnożyć liczbę przez 10. 0,001234567891 * 100 000 000 000=123456789,1 Gdy podzielimy liczbę dziesiętną przez 100 000 000 000, przesuniemy przecinek o 11 miejsc w lewo, ponieważ dzielimy przez jedenastą potęgę 10, jedenaście razy musimy podzielić liczbę przez 10. 0,001234567891 : 100 000 000 000=0,00000000000001234567891 2. Oblicz: 0,0045 * 10 = 0,045 * 10= 0,45*10= 4,5 * 10= 0,0045 : 10 = 0,045 : 10= 0,45:10= 4,5 : 10=

3. Oblicz: 123,4567 * 100 = 123,4567 * 1000 = 123,4567 * 10000 = 123,4567 : 100 = 123,4567 : 1000 = 123,4567 : 10000 =

4. Oblicz 12345, 6789 *10 000 000 000 000 000 = 12345, 6789 : 10 000 000 000 000 000 =

Karta pracy

Imię ......................... Nazwisko.............Data....... Klasa....... Zadanie 1 Umebluj pokój. Meble narysuj na planie pokoju w odpowiedniej skali ( tylko rzut prostopadły). Nie musisz wykorzystać wszystkich mebli. W katalogu zapisz wymiary mebli w metrach.

Liczby dziesietne karta2.svg

Zadanie 2

Oblicz bez kalkulatora i wpisz w okienka krzyżówki.

Liczby dziesietne karta2b.svg

Zamiany jednostek

Jednostki długości

Ostatnia definicja metra pochodzi z roku 1983. Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/299 792 458 sekundy. Poprzednia definicja metra z roku 1889 określiła metr jako odległość między odpowiednimi kreskami na wzorcu, który był przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres pod Paryżem.

Liczby dziesietne metr.jpg

Architekt francuski Jean Chalgrin (1739 -1811) na jednej z ulic Paryża zamieścił „pomnik metra”:

Liczby dziesietne metr2.jpg
1 metr=100 centymetrów 1 m=100 cm
1 centymetr=10 milimetrów 1 cm=10 mm
1 decymetr=10 centymetrów 1 dm=10 cm
1 kilometr=1 000 metrów 1 km=1 000 m

Zadanie 1 Wypisz zamieszczone na zdjęciach zwierzęta od najmniejszych do największych oraz podaj ich rozmiary. W tym celu najpierw wybierz jednostkę miary i wszystkie dane zapisz w tej samej jednostce, np w metrach.

Liczby zyrafa.jpg
Liczby gekon.jpg
Liczby motyl.jpg
Liczby slon.jpg
Żyrafa

Rekordowe wynosiły 587 cm wysokości, 2000 kg masy ciała.

Gekon - z rodziny jaszczurek;

najmniejszy gekon ma długość 35 mm, waży tylko 2 g.

Motyl Modraszkowaty -

najmniejszy ma rozpiętość skrzydeł 15 mm.

Słoń -

największy ma 35 decymetrów.

Liczby wieloryb.jpg
Liczby rybka.jpg
Liczby rekin.jpg
Liczby lew.jpg
Wieloryb -

największy ma 350 cm, waży 150 ton.

Rybka Paedocypris -

najmniejsza ma 7,9 mm długości.

Rekin -

płetwal błękitny ma więcej niż 1 800 cm długości.

Lew -

największy ma 250 cm długości, 120 cm wysokości.

Zadanie 2

Zamień na kilometry wysokość największych łańcuchów górskich:

Himalaje - 8848 m = ...... km Karakorum - 8611 m= .... km Hindukusz - 7690 m = ..... Tien-szan - 7439 m = Andy - 6960 m = Kordyliery - 6194 m = Kaukaz_- 5642 m = Góry Ellswortha - 5140 m = Alpy - 4807 m = Atlas - 4165 m =

Jednostki powierzchni
Liczby metr.jpg

Ten dywanik ma 1 metr kwadratowy. Metr kwadratowy to powierzchnia kwadratu o boku jednego metra.

Liczby bus.jpg

Ar to powierzchnia kwadratu, który ma bok równy 10 metrów. Autobus ma długość około 10 metrów.

Liczby boisko.svg

Hektar to powierzchnia kwadratu, który ma bok równy 100 metrów. Boisko ma długość około 100 metrów.

Zadanie 3

Ile metrów kwadratowych ma dywanik na fotografii ?

Liczby zad dywan.jpg

Zadanie 4

Akr jest to jednostka powierzchni gruntów używana w krajach anglosaskich. Był to obszar, który mógł zostać zaorany przez woły w ciągu jednego dnia. 1 akr = 4046,8564224 metrów kwadratowych

Ogród Wersalski ma powierzchnię 250 akrów.

Ogród w Wersalu pod Paryżem



















Zaznaczyliśmy Łazienki Królewskie w Warszawie na mapie satelitarnej. Oblicz ile akrów mają Łazienek Królewskich w Warszawie.

Łazienki Królewskie w Warszawie























Zadanie 5

Miejsce na parkingu powinno mieć minimalne wymiary 230 cm na 500 cm . Ile to arów ?

Liczby parking.jpg
Jednostki objętości
Liczby mleko.jpg

Litr to jednostka objętości równa jednemu decymetrowi sześciennemu. Decymetr to oczywiście 10 centymetrów. 1 decymetr sześcienny = 1000 centymetrów sześciennych. 1 metr sześcienny = 1000 decymetrów sześciennych

Liczby kropla.gif

Jeden mililitr to 1/1000 litra. Kropla wody to około 0,1 mililitra. 1 ml = 1/1000 l

Zadanie 6

Pan Marek policzył, że z jego zepsutego kranu kapie 6 kropelek na minutę. - Muszę szybko ten kran zreperować. Tyle wody się marnuje !

Liczby kran.gif

Jeśli nie widzisz jak kapie woda i rysuje się wykres - zobacz powiększenie obrazka ( kliknij myszką). Jedna kropla to około 0,1 mililitra. Ile wody się zmarnuje w ciągu jednego dnia ? Szklanka to około 250 mililitrów wody. Ile szklanek wody nakapie w ciągu jednej doby ?

Mnożenie liczb dziesiętnych

Ile trzeba zapłacić za 3 batony po 1,2 zł ?

Liczby baton.jpg

Zapiszmy liczbę dziesiętną 1,2 w postaci ułamka zwykłego i wykonajmy mnożenie:

Liczby dziesietne4.svg

Wystarczy pomnożyć 3 przez 12, a następnie podzielić przez 10.

Obliczmy, ile trzeba zapłacić za 3 jogurty po 0,95 zł.

Liczby jogurt.jpg

Mnożenie liczb dziesiętnych możemy wykonać tak, jak mnożymy zwykłe ułamki. Zawsze można zamienić liczbę dziesiętną na ułamek zwykły.

Liczby dziesietne8.svg

Zwróć uwagę, że licznik wyniku powstaje z pomnożenia liczb “bez przecinków”. Natomiast mianownik to liczba 1 z tyloma zerami, ile miejsc oddziela przecinek w liczbie dziesiętnej, którą chcemy pomnożyć . Algorytm mnożenia możemy podzielić na następujące kroki:

Liczby dziesietne9.svg

Pomnożymy teraz dwie liczby dziesiętne “z przecinkiem”.

Liczby dziesietne10.svg

Wygodniej jest wykonać mnożenie zapisując liczby jedna pod drugą. Algorytm mnożenia liczb dziesiętnych możemy podzielić na następujące etapy:

Liczby dziesietne11.svg

Mnożenie liczb dziesiętnych jest prawie takie samo jak pisemne mnożenie liczb naturalnych. Trzeba tylko nauczyć się, w którym miejscu należy postawić przecinek. Liczba miejsc po przecinku w liczbie dziesiętnej to liczba zer w mianowniku tej liczby, zapisanej w postaci zwykłego ułamka. Mnożenie dziesiątek jest łatwe. 10*10=100 1000 * 10 = 10000 100*10000=1000000 Wystarczy napisać 1 i tyle zer ile było w sumie w obu liczbach. Gdy mnożymy liczby dziesiętne, to mnożymy je najpierw pomijając przecinek. Następnie liczymy ile w pierwszej liczbie było miejsc po przecinku. Liczymy ile miejsc po przecinku było w drugiej liczbie. Dodajemy te dwie liczby i wyniku oddzielamy przecinkiem tyle właśnie miejsc.

Karta pracy

Imię ......................... Nazwisko.............Data....... Klasa.......

Liczby dziesietne karta2x.svg
Liczby dziesietne karta2y.svg

Zadanie 1

W tabelce podajemy ceny niektórych produktów w Londynie w sierpniu 2008.Ile to kosztuje w złotówkach ?

Rogalik

francuski 1,45 Ł

Rogalik z

czekoladą 1,35 Ł

Bułka

0,60 Ł

Kajzerka

50 Ł

Chleb

2,95 Ł

Ciastko

1,60 Ł

Mleko 1l

0,71 Ł

Napój

owocowy 1,95 Ł

Cola 2l

0,44 Ł

Pizza

1,78 Ł

Jabłka 1kg

2,63 Ł

Banany

(5 szt.) 0,98 Ł

.....zł ..... zł ..... zł ..... zł ..... zł .....zł .....zł .....zł .....zł .....zł .....zł .....zł

1 Ł = 1 funt szterling (GBP) = 4,0637 zł. Zaokrąglij podaną wartość funta do setnych złotówki. Jeśli możesz - odszukaj aktualny kurs funta i wykorzystaj w obliczeniach.

Liczby funty.jpg

Dzielenie liczb dziesiętnych

Agatka dostała na imieniny komórkę oraz kartę za 25 złotych. - Ta karta musi mi wystarczyć na miesiąc.

Liczby komorka.jpg

Obliczmy na ile SMS-ów wystarczy karta za 25 złotych. Wysłanie SMS-a kosztuje 0,22 zł.

25:0,22=

Liczby dzielenie1.svg

Dzielenie możemy zapisać w postaci ułamka. Licznik i mianownik pomnożyliśmy przez 100, żeby nie było przecinka. Teraz mamy już zwykłe dzielenie. Można wysłać 113 SMS_ów. Obliczmy ile rozmów możemy wykonać. Rozmowa, która trwa jedną minutę kosztuje 0,77 zł.

Liczby dzielenie3.svg

Gdy wykonujemy dzielenie pisemne liczb dziesiętnych, to wygodnie jest pomnożyć dzielną i dzielnik przez tyle dziesiątek, żeby pozbyć się liczb z przecinkiem.

25 : 0,1= 250 :1 = 0,25 : 12 = 25 : 1200 Zadanie 1

Kupujesz kartę telefoniczną za 25 złotych na miesiąc ( 30 dni). Ile “średnio’ możesz wydać dziennie ? Za jedną minutę rozmowy płacisz 0,77 zł, a za jednego SMS-a - 0,22 zł. Wypełnij tabelkę, w której zapiszesz ile rozmów i ile SMS_ów możesz dziennie wykonać, aby nie przekroczyć 25 zł w ciągu miesiąca. Podaj przynajmniej 5 innych rozwiązań.


Koszt rozmów Koszt SMS-ów Całkowity koszt Wynik
32 x 0,77 ≈ 24,64 1 x 0,22 = 0,22 24,82 32 rozmowy + 1 SMS

Zadanie 2

Jaką grubość ma jedna kartka ?

Dzielenie kartka.jpg

Marysia zmierzyła 500 kartek i otrzymała wynik 5,2 cm. Jaką grubość ma jedna kartka?

Zadanie 3 Jedziemy na wycieczkę za 100 złotych. Na benzynę, w obydwie strony, możemy wydać najwyżej 100 złotych. Nasz samochód potrzebuje benzyny ES 95. Do jakiego miasta możemy pojechać ?

Dzielenie auto.jpg
Dzielenie benzyna.jpg

Odległości z Warszawy do miast: Białystok 188 km Gdańsk 439 km Kielce 181 km Katowice 297 km Kraków 295 km Lublin 161 km Łódź 134 km Opole 319 km Olsztyn 213 km Poznań 310 km Szczecin 524 km Toruń 209 km Wrocław 344 km Zielona Góra 413 km


Zadanie 4

Dzielenie woda.jpg

Ania postanowiła zbadać ile kosztuje latem podlewanie jej ogrodu. W tym celu odkręciła kran od węża i zmierzyła ile wody naleci do konewki w ciągu 1 minuty. W konewce mieści się 10 litrów wody. Na zdjęciu zaznaczyliśmy przerywaną linią poziom wody, która napłynęła w ciągu 1 minuty. Jeden metr sześcienny wody kosztuje 2,89 zł. Dla uproszczenia obliczeń Ania przyjęła, że ogród jest podlewany przez 3 miesiące, średnio 1 godzina dziennie. Gdy pada deszcz - nie jest podlewany, ale gdy jest upał jest podlewany przez 1,5 - 2 godziny. Ile metrów sześciennych wody jest zużywanych na podlanie ogrodu Ani ? Ile ta woda kosztuje ?

Zadanie 5

W naszym gimnazjum w Dzień Dziecka nie ma lekcji. Uczniowie przygotowują wspólnie ciekawe prezentacje, modele, scenki. Asia i Tereska wykonały model Pałacu Kultury w Warszawie.

Dzielenie pkin.jpg

Paweł i Piotr mają wykonać model wieży Eiffla w takiej samej skali.

Dzielenie eiffel.JPG

Wieża Eiffela ma wysokość 324 m. a) Przerysuj do zeszytu szkic wieży Eiffla razem z kratką, którą narysowaliśmy na zdjęciu. b) Jakiej wysokości powinna być wieża Eiffla na modelu Pawła i Piotra ? c) Do poziomu pierwszego i drugiego można dojść schodami, a do poziomu trzeciego można tylko dojechać windą. Na jakiej wysokości znajdują się te trzy poziomy ? Obliczenia wykonaj korzystając z naszej fotografii.

Zadanie 6

Mirek i Marek wykonali model Barbakanu w Warszawie. Iwonka i Justynka chcą zrobić model muru chińskiego. Jakiej długości powinna być makieta muru chińskiego, żeby była w tej samej skali co model Barbakanu ?

Dzielenie barbakan.jpg
Dzielenie barbakan2.jpg
Model Barbakanu. Barbakan w Warszawie zbudowano w 1548 roku w pasie murów obronnych.

Wysokość muru wynosi około 8,5 metra, a długość około 2 km.

Dzielenie mur.jpg

Wielki Mur Chinski ma 6 700 km Budowa muru trwała ok. 17 wieków. Ogłoszono go jednym z siedmiu cudów świata.

Zadanie 7


Adam i Michał wykonali model Pałacu Prezydenckiego w Warszawie.

Dzielenie palac prez.jpg

Chcieliby wykonać również model Białego Domu. Wysokość pałacu oraz wysokość Białego Domu wynoszą około 20 metrów.


Dzielenie palac.jpg
Dzielenie bialy dom.jpg
Pałac Prezydencki w Warszawie Biały Dom w Waszyngtonie

a) Jakiej długości powinni wykonać model Białego Domu, żeby był w tej samej skali co model Pałacu Prezydenckiego w Warszawie ? Zmierz na fotografiach potrzebne wymiary. b) Na mapie satelitarnej zaznaczyliśmy Pałac Prezydencki w Warszawie i Biały Dom w Waszyngtonie. Skale na obydwu zdjęciach są różne. Narysuj w zeszycie kontur obydwu budynków w takiej samej skali.

Dzielenie mapapal.jpg
Dzielenie mapa bialy.jpg
Zdjęcie z satelity

Pałacu Prezydenckiego w Warszawie

Zdjęcie z satelity

Białego Domu w Waszyngronie

Projekt “Wycieczka do Paryża”

Twoim zadaniem będzie zaplanowanie wyjazdu do Paryża i obliczenie kosztów tygodniowej wycieczki dla następujących osób: 1. Maja - studentka Akademii Sztuk Pięknych 2. Krzyś, uczeń gimnazjum i jego tata. Koszt wycieczek podaj w złotówkach. 1 euro = 3,2 zł. Postaraj się uwzględnić wszystkie życzenia. Jeśli potrafisz - wykonaj obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym. Możesz również uaktualnić ceny, szukając odpowiednich stron w Internecie. Oczywiście wszyscy chcą wydać jak najmniej pieniędzy na wycieczkę. Zaplanuj każdy dzień, zapisz ile pieniędzy trzeba będzie wydać oraz oblicz całkowity koszt wycieczki Maii oraz Krzysia i jego taty. Maja: - Chciałabym zwiedzić w Paryżu muzea, zobaczyć Wersal. Spróbować francuskiej kuchni. Tata Krzysia: - Chciałbym pokazać synowi słynne muzeum techniki Cité des sciences et de l'industrie (Muzeum nauki i przemysłu)w Parc de la Villette . Oczywiście musimy zajrzeć do Disneylandu oraz zobaczyć Luwr i kilka innych znanych muzeów w Paryżu.

Liczby lot.JPG
Liczby lotnisko.JPG
Liczby metro.jpg
Liczby pociag.JPG
Liczby kolejka.jpg
Tanie linie.

Odlot z Warszawy w niedzielę godz. 18.00, przylot do Paryża godz. 20.20. Lotnisko Beauvais ( 80 km od Paryża). Powrót - odlot z Paryża w piątek 18.00. Koszt: 606 zł.

Autobus z lotniska Beauvais

do centrum Paryża 13 euro. Z lotniska Orly i Charles de Gaull przejazd z biletem 5-dniowym Paris Visit Pass.

Paris Visit Pass

bilet 5-dniowy - metro, autobusy, pociągi w obrębie Paryża 47 euro. Uwaga - metro linii 14 jest całkowicie zautomatyzowane, jeździ bez kierowcy.

Z Paris Visit Pass można

jechać również podmiejskim pociągiem SNCF...

... a nawet taką naziemną kolejką

na Montmartre.

Liczby hotel.JPG
Liczby obiad.JPG
Liczby obiad2.JPG
Liczby paris-macdo.jpg
Liczby pizza.JPG
Hotel - 4 km od

centrum - 36 euro doba. W hotelu można zjeść śniadanie za 4,80 euro.

Na obiad w restauracji

trzeba wydać co najmniej 10,50 euro.

Do wyboru jest kilka zup,np cebulowa, kilka potraw mięsnych, np 1/4 kurczaka z gryla z frytkami i różne desery, np sery. W McDonald’s zestaw kosztuje około 9 euro.

Big Mac 1,50 euro. Cheeseburger 0,95 euro.

Francuska zapiekanka - 2,60 euro.
Liczby senat.JPG
Liczby rynek.jpg
Liczby lato.jpg
Liczby eiffel.jpg
Liczby luwr.JPG
Coś do przekąszenia w Ogrodzie Luksemburskim -

czekolada ( 3 tabliczki) 1,80 euro paczka herbatników 1,30 euro coca-cola 1,5 l - 1,55 euro woda minerala (6 butelek) 1,65 euro.

Owoce ?

Banany 1 kg 3,13 euro. Brzoskwinie 1 kg 3,10 euro Pomidory 1 kg 3,90 euro. Pomarańcze 1kg 2,95 euro.

Akcja „Lato w mieście” nad Sekwaną.

Coś na drugie śniadanie - 4 bagietki (długie bułki) - 2,05 euro serki topione (24 porcje) - 1,80 euro bułeczka z czekoladą - 1,30 euro mleko 1 litr - 1,30 euro. napój owocowy 1,5 l - 1,15 euro.

Wjazd na wieżę Eiffla 12 euro. Do muzeum najlepiej iść z kartą „PARIS MUZEUM PASS”, która umożliwia wstęp do ponad 60 muzeów w Paryżu.

2 dni : 30 euro 4 dni : 45 euro 6 dni : 60 euro.

Liczby villette.jpg
Liczby villette2.jpg
Liczby disneyland.jpg
Liczby disneyland2.jpg
Liczby disneyland3.jpg
Parc de la Villette -

Bilet wstępu 16 euro. Jest tu największe w Europie muzeum nauki.

Dojazd do Parc de la Villette z biletem Paris Visit Pass. Disneyland Paris -

bilet wstępu 59 euro.

Dojazd do Disneylandu z biletem Paris Visit Pass. Kraina Fantazji w Disneyland.