Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

[Red:

• 1 Uwagi ogólne
  
• 2 Starter
  
• 3 Wprowadzenie
  
• 4 Przykłady
  
• 5 Ćwiczenia
  
• 6 Sprawdź sam siebie
  
• 7 Zastosowania
  
• 8 Co masz zapamiętać?
  
• 9 Literatura, linki itp.]
  

1. Prostokątny układ współrzędnych

W miarę rozwoju nauki i techniki człowiek odczuł potrzebę opisywania świata za pomocą map i planów. Masz przed sobą plan Kurowa. Szukanie określonego miejsca można sobie ułatwić sprawdzając na odwrocie planu, w którym kwadracie ono się znajduje.

Nowy Rynek znajduje się w kwadracie 4C. W podobny sposób opisz położenie: Gimnazjum, Placu Targowego, Zakładu Usług Komunalnych, ulicy Żabiej. Przez jakie kwadraty biegnie rzeka Kurówka?

W podobny sposób opisuje się położenie pionów i figur na szachownicy.

Podaj położenie czarnych i białych skoczków (koni).

Często nie wystarcza nam określenie położenia jakiegoś obiektu w terenie określając tylko kwadrat, w którym ów obiekt się znajduje. Bardzo dokładne położenie wyznaczają współrzędne geograficzne. Każdy punkt na Ziemi możemy szybko znaleźć, jeśli znamy jego współrzędne geograficzne.

W matematyce do określenia położenia punktu na płaszczyźnie używamy prostokątnego układu współrzędnych.
Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie to dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się wzajemnie w w swoich miejscach zerowych. Punkt przecięcia się tych osi oznaczamy (0,0) i nazywamy początkiem układu współrzędnych.

Osie układów współrzędnych rysuje się najczęściej tak jak na rysunku poniżej.

Za pierwszą oś przyjmuje się oś poziomą i tradycyjnie nazywa się ją osią odciętych. Drugą, pionową oś tradycyjnie nazywa się osią rzędnych. Osie dzielą płaszczyznę na ćwiartki: I, II, III, IV.

Układ współrzędnych na płaszczyźnie nazywamy często kartezjańskim układem współrzędnych na płaszczyźnie. Nazwa pochodzi od nazwiska filozofa Rene Descartesa.

Rene Descartes (nazywany w Polsce Kartezjuszem)urodził się w 1596 r., zmarł w 1650. Wywarł tak wielki wpływ na filozofię i naukę przyszłych stuleci, że uważany jest za prekursora nowożytnej kultury umysłowej. Zajmował się wieloma dziedzinami nauki m. in.: optyką, chemią, mechaniką, anatomią, embriologią, medycyną, astronomią, meteorologią i oczywiście matematyką. Matematyka była dla niego modelem wszelkiej nauki. Uważał, że precyzję i jasność matematycznego rozumowania trzeba wprowadzać do innych dziedzin wiedzy i tym samym budować obraz świata oparty na rozumie. Komponował uniwersalną metodę myślenia opierając się na rozumowaniu i wnioskowaniu matematycznym. Za jedyną pewność uważał fakt myślenia i wyraził to w znanej powszechnie formule "Myślę, więc jestem" ("Cogito ergo sum"). W matematyce chciał powiązać algebrę z geometrią, gdyż sądził, że algebra bez powiązania z geometrią jest trudno zrozumiała. Nie była to całkiem nowa teoria. Algebrę w geometrii stosowali Arabowie i matematyce francuscy np. Viete czy Fermat. Kartezjusz nadał jednak tej idei wyraźny kształt przypisując każdemu punktowi na płaszczyźnie uporządkowaną parę liczb.

2. Zaznaczanie punktów w układzie współrzędnych

Położenie każdego punktu na płaszczyźnie możemy określić jednoznacznie dzięki parze liczb, których kolejność ma znaczenie. Liczby te nazywamy współrzędnymi punktu np. P(x,y), odpowiednio x - odcięta, y - rzędna.

Ćwiczenie 1

Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów (pamiętaj, najpierw odczytujemy współrzędną x, a potem współrzędną y).

Ćwiczenie 2

Przyporządkuj litery podanym współrzędnym i odczytaj hasło.

(4,3)... (-1,-2)... (0,-4)... (-2,3)... (3,0)... (1,1)... (4,-4)... (0,0)... (-4,2)... (-3,-3)...

Ćwiczenie 3
Narysuj układ współrzędnych i zaznacz na nim następujące punkty:
A = (2, − 3), B = (3,4), C = ( − 2, − 1), D = ( − 5,2), E = ( − 3, − 2), F = (1, − 6), G = ( − 4, − 1), H = (4, − 1), I = (1,5), K = ( − 2,4), L = (0,2), M = ( − 1,2), N = (3,2), O = ( − 3,0).
Pogrupuj punkty według ich położenia w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych: I ............., II............., III............, IV............. . Co możesz powiedzieć o współrzędnych punktów leżących w tej samej ćwiartce? Których punktów nie umieściłeś w żadnej z ćwiartek? Jakie są ich współrzędne? Zapisz swoje spostrzeżenia.

Ćwiczenie 4
Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = ( − 1,2;0), B = (0,2;1,2), C = (1; − 1,4), D = (0,2,;0), E = ( − 0,8; − 0,4), F = (0,6; − 0,4) i połącz je w takiej kolejności: A − B − C − D − A − E − F − C. Pamiętaj o odpowiednim dobraniu jednostki.
Ćwiczenie 5
W układzie współrzędnych zaznacz wielokąty o wierzchołkach leżących w podanych współrzędnych. Nazwij te wielokąty i oblicz ich pola.
a) (-2,-1), (2,-1), (3,0),
b) (-5,-2), (3,-2), (3,2), (-5,2),
c) (0,4), (-4,0), (4,0), (0,-4).
Ćwiczenie 6
Podaj przykłady par punktów, których:
a) pierwsze współrzędne są takie same, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi,
b) pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi, a drugie współrzędne są takie same,
c) pierwsze i drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi.
Jak położone są punkty o tak określonych współrzędnych?
Ćwiczenie 7
W układzie współrzędnych dane są punkty: A = ( − 2,3) i B = (1,3). Wyznacz taki punkt C, aby trójkąt ABC był:
a) trójkątem równoramiennym,
b) trójkątem prostokątnym,
c) trójkątem prostokątnym i równoramiennym.
Rozważ czy istnieje tylko jeden taki punkt.
Ćwiczenie 8
Punkty (-3,2) i (-3,-1) są wierzchołkami pewnego kwadratu. Znajdź współrzędne pozostałych boków tego kwadratu, gdy te punkty są:
a) sąsiednimi wierzchołkami kwadratu,
b) naprzeciwległymi wierzchołkami tego kwadratu.

Ćwiczenie 9
Jaką długość mają odcinki narysowane w układzie współrzędnych, których końcami są punkty:
a) A = ( − 3,2) i B = ( − 3, − 5),
b) C = (2, − 1) i D = ( − 4, − 1),
c) E = ( − 1,5; − 3,2) i F = ( − 1,5;2,8).
Pamiętaj, że tę długość wyrażasz w jednostce układu współrzędnych.
Ćwiczenie 10
Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = ( − 6,0), B = ( − 4,3), C = (3,3).
a) Połącz je i oblicz pole powstałego trójkąta. (Wskazówka: dorysuj wysokość tego trójkąta.)
b) Znajdź współrzędne wierzchołka D tak, aby powstała figura była równoległobokiem i oblicz jego pole.
c) Znajdź współrzędne wierzchołka D tak, aby powstała figura była trapezem prostokątnym i oblicz jego pole.
d) Znajdź współrzędne wierzchołka D tak, aby powstała figura była trapezem równoramiennym i oblicz jego pole.

Ćwiczenie 11
W układzie współrzędnych jest punkt A = (4,2), który jest wierzchołkiem pewnego kwadratu. Narysuj ten kwadrat, jeśli jego pole to 25 jednostek kwadratowych. Ile takich kwadratów można narysować?

Ćwiczenie 12
Jeśli podstawą trójkąta jest odcinek o końcach: A = ( − 3, − 2) i B = (5, − 2) i jego pole to 24 jednostki kwadratowe, to jakie współrzędne miałby trzeci wierzchołek tego trójkąta? Czy może nim być tylko jeden punkt? Gdyby powyższy odcinek był bokiem równoległoboku o takim samym polu, to gdzie mogłyby leżeć pozostałe jego wierzchołki?

Ćwiczenie 13

Oblicz pole i obwód kwadratu, którego przekątną jest odcinek KM, gdy K = (2,2) i M = ( − 3, − 2).

Ćwiczenie 14
Wypisz współrzędne 4 punktów znajdujących się na prostych umieszczonych w każdym z układów współrzędnych:

Ćwiczenie 15
W układzie współrzędnych zaznacz 10 punktów, których:
a) x = 3, y jest dowolne. Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria?
b) x jest dowolne, y = − 2.Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria?
c) x jest dowolne, y jest dwa razy większe niż x. Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria?
d) x jest dowolne y = 0. Gdzie leżą punkty spełniające te kryteria?
e) x jest połową y. Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria?
Jaką figurę tworzą wszystkie punkty o podanych kryteriach w każdym z podpunktów tego ćwiczenia?

Ćwiczenie 16
Zaznacz w układzie współrzędnych pięć punktów spełniających warunki:
a) odcięta jest większa od -1, a rzędna jest dowolna,
b) odcięta jest dowolna, a rzędna jest mniejsza od 3,
c) odcięta jest większa od -2, a rzędna jest mniejsza od 4,
d) odcięta jest mniejsza od 5, a rzędna jest większa od -3.

Ćwiczenie 17
Jakie warunki spełniają współrzędne punktów leżących w zaznaczonym na rysunku obszarze?

3. Sprawdź się!