Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Kartezjański układ współrzędnych

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: kes


[Red:

  • 1 Uwagi ogólne
  • 2 Starter
  • 3 Wprowadzenie
  • 4 Przykłady
  • 5 Ćwiczenia
  • 6 Sprawdź sam siebie
  • 7 Zastosowania
  • 8 Co masz zapamiętać?
  • 9 Literatura, linki itp.]

1. Prostokątny układ współrzędnych

W miarę rozwoju nauki i techniki człowiek odczuł potrzebę opisywania świata za pomocą map i planów. Masz przed sobą plan Kurowa. Szukanie określonego miejsca można sobie ułatwić sprawdzając na odwrocie planu, w którym kwadracie ono się znajduje.

Plan Kurowa

Nowy Rynek znajduje się w kwadracie 4C. W podobny sposób opisz położenie: Gimnazjum, Placu Targowego, Zakładu Usług Komunalnych, ulicy Żabiej. Przez jakie kwadraty biegnie rzeka Kurówka?

W podobny sposób opisuje się położenie pionów i figur na szachownicy.

Szachy.jpg

Podaj położenie czarnych i białych skoczków (koni).

Często nie wystarcza nam określenie położenia jakiegoś obiektu w terenie określając tylko kwadrat, w którym ów obiekt się znajduje. Bardzo dokładne położenie wyznaczają współrzędne geograficzne. Każdy punkt na Ziemi możemy szybko znaleźć, jeśli znamy jego współrzędne geograficzne.

W matematyce do określenia położenia punktu na płaszczyźnie używamy prostokątnego układu współrzędnych. Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie to dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się wzajemnie w w swoich miejscach zerowych. Punkt przecięcia się tych osi oznaczamy (0,0) i nazywamy początkiem układu współrzędnych.

Osie układów współrzędnych rysuje się najczęściej tak jak na rysunku poniżej.

Uklad1.svg

Za pierwszą oś przyjmuje się oś poziomą i tradycyjnie nazywa się ją osią odciętych. Drugą, pionową oś tradycyjnie nazywa się osią rzędnych. Osie dzielą płaszczyznę na ćwiartki: I, II, III, IV.

Układ współrzędnych na płaszczyźnie nazywamy często kartezjańskim układem współrzędnych na płaszczyźnie. Nazwa pochodzi od nazwiska filozofa Rene Descartesa.

Portret Kartezjusza pędzla Fransa Halsa z 1649

Rene Descartes (nazywany w Polsce Kartezjuszem)urodził się w 1596 r., zmarł w 1650. Wywarł tak wielki wpływ na filozofię i naukę przyszłych stuleci, że uważany jest za prekursora nowożytnej kultury umysłowej. Zajmował się wieloma dziedzinami nauki m. in.: optyką, chemią, mechaniką, anatomią, embriologią, medycyną, astronomią, meteorologią i oczywiście matematyką. Matematyka była dla niego modelem wszelkiej nauki. Uważał, że precyzję i jasność matematycznego rozumowania trzeba wprowadzać do innych dziedzin wiedzy i tym samym budować obraz świata oparty na rozumie. Komponował uniwersalną metodę myślenia opierając się na rozumowaniu i wnioskowaniu matematycznym. Za jedyną pewność uważał fakt myślenia i wyraził to w znanej powszechnie formule "Myślę, więc jestem" ("Cogito ergo sum"). W matematyce chciał powiązać algebrę z geometrią, gdyż sądził, że algebra bez powiązania z geometrią jest trudno zrozumiała. Nie była to całkiem nowa teoria. Algebrę w geometrii stosowali Arabowie i matematyce francuscy np. Viete czy Fermat. Kartezjusz nadał jednak tej idei wyraźny kształt przypisując każdemu punktowi na płaszczyźnie uporządkowaną parę liczb.

2. Zaznaczanie punktów w układzie współrzędnych

Położenie każdego punktu na płaszczyźnie możemy określić jednoznacznie dzięki parze liczb, których kolejność ma znaczenie. Liczby te nazywamy współrzędnymi punktu np. P(x,y), odpowiednio x - odcięta, y - rzędna.

Uklad2.svg

Ćwiczenie 1

Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów (pamiętaj, najpierw odczytujemy współrzędną x, a potem współrzędną y).

Uklad3.svg

Ćwiczenie 2

Przyporządkuj litery podanym współrzędnym i odczytaj hasło.

Uklad4.svg

(4,3)... (-1,-2)... (0,-4)... (-2,3)... (3,0)... (1,1)... (4,-4)... (0,0)... (-4,2)... (-3,-3)...

Ćwiczenie 3 Narysuj układ współrzędnych i zaznacz na nim następujące punkty: A = (2, − 3), B = (3,4), C = ( − 2, − 1), D = ( − 5,2), E = ( − 3, − 2), F = (1, − 6), G = ( − 4, − 1), H = (4, − 1), I = (1,5), K = ( − 2,4), L = (0,2), M = ( − 1,2), N = (3,2), O = ( − 3,0). Pogrupuj punkty według ich położenia w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych: I ............., II............., III............, IV............. . Co możesz powiedzieć o współrzędnych punktów leżących w tej samej ćwiartce? Których punktów nie umieściłeś w żadnej z ćwiartek? Jakie są ich współrzędne? Zapisz swoje spostrzeżenia.

Ćwiczenie 4 Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = ( − 1,2;0), B = (0,2;1,2), C = (1; − 1,4), D = (0,2,;0), E = ( − 0,8; − 0,4), F = (0,6; − 0,4) i połącz je w takiej kolejności: ABCDAEFC. Pamiętaj o odpowiednim dobraniu jednostki. Ćwiczenie 5 W układzie współrzędnych zaznacz wielokąty o wierzchołkach leżących w podanych współrzędnych. Nazwij te wielokąty i oblicz ich pola. a) (-2,-1), (2,-1), (3,0), b) (-5,-2), (3,-2), (3,2), (-5,2), c) (0,4), (-4,0), (4,0), (0,-4). Ćwiczenie 6 Podaj przykłady par punktów, których: a) pierwsze współrzędne są takie same, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi, b) pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi, a drugie współrzędne są takie same, c) pierwsze i drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi. Jak położone są punkty o tak określonych współrzędnych? Ćwiczenie 7 W układzie współrzędnych dane są punkty: A = ( − 2,3) i B = (1,3). Wyznacz taki punkt C, aby trójkąt ABC był: a) trójkątem równoramiennym, b) trójkątem prostokątnym, c) trójkątem prostokątnym i równoramiennym. Rozważ czy istnieje tylko jeden taki punkt. Ćwiczenie 8 Punkty (-3,2) i (-3,-1) są wierzchołkami pewnego kwadratu. Znajdź współrzędne pozostałych boków tego kwadratu, gdy te punkty są: a) sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, b) naprzeciwległymi wierzchołkami tego kwadratu.

Ćwiczenie 9 Jaką długość mają odcinki narysowane w układzie współrzędnych, których końcami są punkty: a) A = ( − 3,2) i B = ( − 3, − 5), b) C = (2, − 1) i D = ( − 4, − 1), c) E = ( − 1,5; − 3,2) i F = ( − 1,5;2,8). Pamiętaj, że tę długość wyrażasz w jednostce układu współrzędnych. Ćwiczenie 10 Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = ( − 6,0), B = ( − 4,3), C = (3,3). a) Połącz je i oblicz pole powstałego trójkąta. (Wskazówka: dorysuj wysokość tego trójkąta.) b) Znajdź współrzędne wierzchołka D tak, aby powstała figura była równoległobokiem i oblicz jego pole. c) Znajdź współrzędne wierzchołka D tak, aby powstała figura była trapezem prostokątnym i oblicz jego pole. d) Znajdź współrzędne wierzchołka D tak, aby powstała figura była trapezem równoramiennym i oblicz jego pole.

Ćwiczenie 11 W układzie współrzędnych jest punkt A = (4,2), który jest wierzchołkiem pewnego kwadratu. Narysuj ten kwadrat, jeśli jego pole to 25 jednostek kwadratowych. Ile takich kwadratów można narysować?

Ćwiczenie 12 Jeśli podstawą trójkąta jest odcinek o końcach: A = ( − 3, − 2) i B = (5, − 2) i jego pole to 24 jednostki kwadratowe, to jakie współrzędne miałby trzeci wierzchołek tego trójkąta? Czy może nim być tylko jeden punkt? Gdyby powyższy odcinek był bokiem równoległoboku o takim samym polu, to gdzie mogłyby leżeć pozostałe jego wierzchołki?

Ćwiczenie 13

Oblicz pole i obwód kwadratu, którego przekątną jest odcinek KM, gdy K = (2,2) i M = ( − 3, − 2).

Ćwiczenie 14 Wypisz współrzędne 4 punktów znajdujących się na prostych umieszczonych w każdym z układów współrzędnych:


Ćwiczenie 15 W układzie współrzędnych zaznacz 10 punktów, których: a) x = 3, y jest dowolne. Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria? b) x jest dowolne, y = − 2.Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria? c) x jest dowolne, y jest dwa razy większe niż x. Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria? d) x jest dowolne y = 0. Gdzie leżą punkty spełniające te kryteria? e) x jest połową y. Czy możesz zaznaczyć wszystkie punkty spełniające te kryteria? Jaką figurę tworzą wszystkie punkty o podanych kryteriach w każdym z podpunktów tego ćwiczenia?

Ćwiczenie 16 Zaznacz w układzie współrzędnych pięć punktów spełniających warunki: a) odcięta jest większa od -1, a rzędna jest dowolna, b) odcięta jest dowolna, a rzędna jest mniejsza od 3, c) odcięta jest większa od -2, a rzędna jest mniejsza od 4, d) odcięta jest mniejsza od 5, a rzędna jest większa od -3.

Ćwiczenie 17 Jakie warunki spełniają współrzędne punktów leżących w zaznaczonym na rysunku obszarze?

3. Sprawdź się!

Zapamiętaj

kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie , to dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się wzajemnie w swoich miejscach zerowych. Ten punkt przecięcia nazywamy początkiem układu współrzędnych i zaznaczamy go (0,0). Każdemu punktowi na płaszczyźnie możemy przypisać dwie liczby określające jednoznacznie jego położenie: P = (x,y). Oś X nazywamy osią odciętych, oś Y nazywamy osią rzędnych; współrzędna x punktu P = (x,y) to odcięta, współrzędna y tego punktu to rzędna.