Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Kąty

Matematyka: Kąty

Komentarze Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Skocz do: nawigacji, wyszukiwanie

Modułem opiekuje się: TG

[Red: #przykłady formułowania definicji pojęć

rodzaje kątów
kreślenie kątów o zadanej mierze
konstrukcja kąta równego narysowanemu
kąt jako figura i kąt jako miara obrotu dookoła punktu
Azymut]

Spis treści

1 Kąt jako figura geometryczna

Kąt jako figura geometryczna

Dwie różne półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę, na której leżą, na dwie części. Każda z tych części wraz z tymi półprostymi jest kątem. Każda z nich bez półprostych jest wnętrzem kąta.
Łukiem zaznaczamy ten kąt, który wybieramy. Patrz rysunek.

Jedna część płaszczyzny jest zielona, druga - żółta. Na drugim rysunku zaznaczona jest ta zielona, na trzecim ta żółta.
W obu przypadkach obie półproste nazywamy ramionami kąta, a wspólny początek obu półprostych nazywamy wierzchołkiem kąta.
Tak więc na trzech rysunkach widzimy dwa kąty o wspólnych ramionach i wspólnym wierzchołku.Kąt zaznaczony na drugim rysunku (na zielono) jest wypukły, a ten na trzecim rysunku (żółty) jest wklęsły.

Dwa kąty są równe, gdy jeden można nałożyć na drugi. Dokładniej, gdy są przystające. Na rysunku poniżej ten najbardziej z lewej strony jest równy temu najbardziej z prawej.

Jeden kąt jest większy niż drugi, gdy po przesunięciu ich do wspólnego wierzchołka można je tak ustawić, że ten drugi jest zawarty w tym pierwszym, ale nie jest mu równy. Na rysunku "żółty" kąt jest mniejszy niż "zielony".

Kąty można dodawać.

Na rysunku przedstawione jest symbolicznie dodawanie dwóch kątów. Kąt żółty razem z kątem zielonym daje kąt jasnozielony.
Skoro można dodawać kąty, to i można je odejmować. Symbolicznie na rysunku: kąt jasnozielony minus kąt zielony daje kąt żółty.
Można więc kąty dzielić, na przykład na dwa równe kąty i można je też mnożyć, na przykład mnożenie prze 3 to jest dodanie trzech egzemplarzy tego samego kąta.
Uwaga. Nie zawsze możliwe jest dodanie do siebie dwóch kątów.

Przyłożenie ich do siebie ramieniem, tak aby nie zachodził na siebie może być niemożliwe. Dopiero kąty jako miary obrotu mogą być dodawane bez ograniczeń, ale o tym w części "Kąt jako obrót".

Do dotychczas określonych kątów dodamy jeszcze dwa: kąt zerowy i kąt pełny. Patrz pierwszy i drugi rysunek poniżej.

Kąt, w którym jedno ramię jest przedłużeniem drugiego nazywa się półpełny. W nazwie ukryte jest dzielenie kąta pełnego przez dwa.
Kąt prosty to jest połowa kąta półpełnego. Na czwartym rysunku wyróżniony jest tylko jeden kąt prosty powstały z podziału kąta półpełnego na dwa równe kąty.

Kąt półpełny jest wypukły.
Każdy kąt mniejszy od półpełnego też jest wypukły.
Każdy kąt większy od półpełnego jest wklęsły.

Kąt pełny jest równy dwóm kątom półpełnym.
Kąt półpełny równy jest dwóm kątom prostym.

Zaznaczanie i nazywanie kątów

Na rysunkach powtórzone są wykresy tych samych półprostych OA i OB o wspólnym początku w punkcie O. Na pierwszym rysunku łukiem zaznaczono kąt wypukły AOB, na prawym kąt wklęsły AOB. Zamiast mówić słowo kąt używamy symbolu $\angle$ . Tak więc nasze kąty to wypukły $\angle AOB$ i wklęsły $\angle AOC$ . Napis $\angle AOB$ bez dodatkowych objaśnień ani bez żadnego kontekstu oznacza ten wypukły kąt.
Uwaga. $\angle AOB=\angle BOA$ . Gdy patrzymy na kąt jako figurę geometryczną, to kolejność wskazania ramion nie jest ważna. Dopiero gdy kąt rozumiany jest jak obrót, kolejność wymieniania ramion ma znaczenie.

Przykład

Na rysunku powyżej w całym "gąszczu" punktów i linii łukiem zaznaczony jest jeden kąt. Jest nim $\angle BDC$ . Zgodnie z umową możemy, ale nie musimy dodawać, że jest on wypukły.
$\angle EGF$ (odnajdźcie ten kąt!) może być nazwany $\angle AGF$ lub $\angle AGB$ lub na przykład $\angle DGE$ .

Kąty można też nazwać krócej - zwłaszcza gdy rysunek ułatwia rozszyfrowanie tych nazw. Na przykład kąty w trójkącie dość często nazywane są greckimi literami.

Przykład. Kąty wewnętrzne w trójkącie

W trójkącie dość często kąty wewnętrzne nazywa się małymi greckimi odpowiednikami nazw ich wierzchołków. Dość często boki nazywa się małymi odpowiednikami dużych liter będących nazwami naprzeciwległych wierzchołków. Patrz rysunek powyżej.

Przykład. Kąty zewnętrzne w trójkącie

Kąty zewnętrzne w trójkącie ABC to $α'$ , $β'$ i $γ'$ .
Zauważcie, że suma kąta wewnętrznego i zewnętrznego przy każdym wierzchołku trójkąta to kąt półpełny.

Konstrukcje kątów

Przeniesienie kąta

Mamy zadany kąt $α$ i półprostą BC. Patrz rysunek. Skonstruować kąt równy kątowi $α$ o wierzchołku w punkcie B, tak aby jednym z jego ramion była półprosta BC.

Kreślimy dwa okręgi o tym samym promieniu: jeden w punkcie A, drugi w B.

Pierwszy okrąg przecina ramiona kąta $α$ w dwóch punktach. Nazwijmy je D i E. Drugi okrąg przecina półprostą w punkcie, który nazwaliśmy D' .
Z punktu D' zataczamy okrąg o promieniu |DE|. (Okrąg o środku w D i promieniu DE nie musi być kreślony.)

Okrąg o środku w D' Przecina okrąg o środku w B w dwóch punktach - nazwijmy je E' i E". Wybieramy jeden z tych punktów, na przykład E' i kreślimy półprostą BE' .

Kąt CBE' jest równy kątowi $α$ .

Porównanie dwóch kątów

Mamy dwa kąty. Kąt $α$ o wierzchołku w punkcie A i kąt $β$ o wierzchołku w B. Rozpatrzmy przypadek obu kątów wypukłych. Patrz rysunek.

Kreślimy dookoła punktów A i B okręgi o tych samych promieniach.

Okręgi te przecinają ramiona obu kątów: kąta $α$ w punktach C i D, a kąta $β$ w punktach C' i D' . Teraz wystarczy już porównać długości odcinków CD i C'D' . Kreślimy w C' okrąg o promieniu |CD|. (Okrąg w punkcie C o promieniu |CD| jest też narysowany, choć jego wykreślenie tylko uwidacznia istotę konstrukcji - nie jest konieczne.)

Ponieważ punkt D' znalazł się na zewnątrz narysowanego koła w punkcie C' , więc kąt $α < β$ .

Dzielenie kąta na dwie równe części

Zacznijmy od kąta wypukłego. Poniżej mamy kąt $α$ z wierzchołkiem w punkcie A.

Kreślimy okrąg w punkcie A. Potrzebne nam są tylko dwa łuki przecinające ramiona kąta $α$ . Punkty przecięcia nazywamy B i C.

Tym samym promieniem kreślimy jeszcze dwa okręgi: o środku w punkcie B i w punkcie C. Te dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach. Jednym z nich jest punkt A. Ten drugi punkt nazywamy D. (Do przeprowadzenia konstrukcji wystarczą łuki przecinające się w punkcie D.)

Półprosta AD dzieli kąt $α$ na połowy.

Zapamiętaj

Półprosta, która dzieli kąt na dwie równe części nazywa się dwusieczną.

Ćwiczenie

Podział kąta na trzy równe części?

Zadanie polegało na podzieleniu kąta BAC na trzy równe kąty. Odcinki AB i AC są równej długości, bo są promieniami tego samego okręgu. Odcinek BC został podzielony na trzy równe odcinki: CD, DE i EB. Trzy zaznaczone małe okręgi mają równe średnice. Kąt BAC został podzielony na trzy kąty: CAD, DAE i EAB. Pokaż, że te trzy kąty nie są równe.

Mierzenie kątów

Porównywać kąty można też poprzez ich mierzenie. Najpopularniejszą jednostką miary kąta jest kąt powstały z podziału kąta pełnego na 360 równych kątów.

O każdym z tych 360 kątów mówimy, że ma miarę 1 stopnia. Jeden stopień zapisujemy 1°. Oto on

Przypuszczalnie jest to najdłużej używana jednostka w naszej historii. Być może ponad 2500 lat!

W astronomii i nawigacji używa się również mniejszej jednostki. Jest to jedna minuta, czyli $\frac{1}{60}$ stopnia. Jedną minutę zapisujemy 1'. Ta z kolei dzieli się na 60 równych części, które nazywają się sekundy, a jedna sekunda zapisuje się 1".

W innych pomiarach używa się dziesiętnych i setnych części stopni. Takie wyniki podawane są przez zdecydowaną większość kalkulatorów i tak też będziemy robili w naszym podręczniku.

Zapamiętaj

Kąt pełny ma 360°.
Kąt półpełny ma 180°.
Kąt prosty ma 90°.

Karta pracy

1. Dodaj do siebie dwa zadane kąty za pomocą linijki i cyrkla, tak aby ramieniem sumy była narysowana półprosta. Sprawdź kątomierzem, czy suma miar dodawanych kątów jest równa mierze skonstruowanej przez Ciebie sumie kątów.

2. Skonstruuj dwusieczną wypukłego kąta $α$ .

3. Skonstruuj dwusieczną wklęsłego kąta $β$ .

4. Skonstruuj kąt prosty, którego jednym z ramion jest narysowana półprosta o początku w punkcie C.

Wskazówka. Przedłuż półprostą do kąta półpełnego, a potem przeprowadź konstrukcję dwusiecznej kąta półpełnego.

5. Skonstruuj kąt 60°, którego jednym z ramion jest narysowana półprosta o początku w punkcie D.

Wskazówka. Skonstruuj odpowiedni trójkąt równoboczny.

[Red: kąty z zadania 1 mają dokładnie 21 i 37 stopni.]

Droga kątowa i obrót

Na tym rysunku punkt P przeszedł pewną drogę. Gdyby w punkcie O stał obserwator, który by patrzył na punkt P, ale nie widział, jak daleko od niego jest ten punkt, to powiedziałby tak: Gdy patrzyłem na punkt P obróciłem się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt pełny, czyli o 360°. My byśmy powiedzieli tak: Punkt P przebył drogę kątową wokół punktu O równą kątowi pełnemu.
To samo można powiedzieć używając stopni:
Droga kątowa punktu P wokół punktu O jest równa 360°.

Ale punkt Q też przebył drogę kątową równą 360°. A jednak ta droga zasadniczo różni się od drogi punktu P. Punkt Q był podczas całej drogi w tej samej odległości od punktu O. Punkt Q obrócił się wokół punktu O o kąt pełny.

Droga kątowa punktu P wokół punktu O jest równa 0°.
Nie możemy jednak powiedzieć, że punkt P się obrócił o 0° wokół O. Odległość od punku O się zmieniła!

Na tym rysunku kierunek drogi jest inny niż na pierwszym rysunku. Ten kierunek jest w matematyce ujemny.
Punkt P przebył drogę kątową równą minus kątowi prostemu, czyli -90°.
To samo dotyczy punktu Q.
Droga kątowa punktu Q wokół punktu O to minus kąt prosty, czyli -90°. Punkt Q na swej drodze nie zmieniał odległości od punktu O, dlatego możemy powiedzieć, że punkt Q obrócił się wokół punktu O o -90°.

Zapamiętaj

Niech $α$ będzie dowolną liczbą i niech dane będą dwa różne punkty O i P. Powiemy, że punkt P obrócił się dookoła punku O o kąt $\alpha^\circ$ , jeśli przebył drogę kątową równą $\alpha^\circ$ i i jego odległość od punktu O była podczas tej drogi stała.
Obrót punktu O wokół samego siebie o kąt $\alpha^\circ$ daje ten sam punkt O.
Powiemy, że figura obróciła się wokół punktu O o kąt $\alpha^\circ$ , jeśli każdy punkt tej figury obrócił się wokół O o $\alpha^\circ$ .

Zapamiętaj

W matematyce droga kątowa i obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest drogą i obrotem dodatnim.

W matematyce droga kątowa i obrót w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest drogą i obrotem ujemnym.

Miarą w stopniach kąta jako figury geometrycznej może być dowolną liczbą począwszy od 0 a skończywszy na 360.
Droga kątowa mierzona w stopniach może być dowolną liczbą dodatnią, ujemną lub zerem. Podobnie obrót może wyrażać się dowolną liczbą stopni.

Przykład

Drogi kątowe punktów P i Q są te same. W obu przypadkach jest to 120°.

Dla obserwatora w punkcie O odcinek PQ widziany jest tak samo na początku i na końcu drogi, kiedy staje się odcinkiem P'Q'. Dla nas odcinek PQ zmienił się. P'Q' jest dłuższy niż PQ. Obrót nie może zmienić długości odcinka. Końce odcinka przebyły równe drogi kątowe,a jednak odcinek nie został obrócony!

Poniżej punkty P i Q zostały obrócone o ten sam kąt 120° wokół punktu O.

I dla obserwatora w punkcie O i dla nas jest to ten sam odcinek. Odcinek PQ rzeczywiście został obrócony o 120° wokół punktu Oi powstał odcinek P'Q' .

Przykład

Potraktujmy kąty zewnętrzne w trójkącie jako obroty wokół swoich wierzchołków w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Prosta AC obrócona o kąt $α'$ dookoła punktu A staje się prostą AB. Prosta AB obrócona o kąt $β'$ dookoła punktu B staje się prostą BC. Wreszcie prosta BC obrócona o kąt $γ'$ wokół punktu C staje się prostą AC. Prosta AC dokonała pełnego obrotu, czyli

$\alpha ' + \beta ' + \gamma ' = 360^\circ$

Ale

$\alpha ' =180^\circ -\alpha$

$\beta ' =180^\circ -\beta$

$γ' = 180 c i r c - γ$

Po wstawieniu tych trzech równań do pierwszego eliminujemy kąty zewnętrzne i otrzymujemy

$(180^\circ -\alpha )+(180^\circ -\beta )+(180^\circ -\gamma )=360^\circ$

Po usunięciu nawiasów i przeniesieniu stopni na lewą stronę, a liter na prawą otrzymujemy znaną już wcześniej równość

$180^\circ =\alpha +\beta +\gamma$

że suma wewnętrznych kątów w trójkącie daje 180°.

Karta pracy

Oto przykłady dróg kątowych.
1.
Droga kątowa punktu P wokół punktu O wynosi .......°.
2.
Droga kątowa punktu P wokół punktu O jest równa .......°.
3.
Droga kątowa punktu P wokół punktu A to .......°.
Droga kątowa punktu P wokół punktu B to .......°.
Droga kątowa punktu P wokół punktu C to .......°.
Droga kątowa punktu P wokół punktu D to .......°.
4. Powtórz rozumowanie z ostatniego przykładu dla dowolnego czworokąta, aby otrzymać wzór na sumę kątów wewnętrznych czworokąta. Czy rozumowanie jest skuteczne również w przypadku czworokąta niewypukłego?
5. Powtórz rozumowanie z ostatniego przykładu dla dowolnego pięciokąta, aby otrzymać wzór na sumę kątów wewnętrznych pięciokąta. *Spróbuj uogólnić tę metodę dla dowolnego n-kąta.

Azymut

Azymut jest to pojęcie związane z nawigacją, geodezją, wytyczaniem trasy wędrówki według mapy itp. Dotyczy ono kąta pomiędzy kierunkiem północy a kierunkiem podróży, kierunkiem, w którym znajduje się obiekt, który widzimy. Kąt ten zawsze liczymy zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Azymut podajemy w stopniach. Azymut zawsze jest większy lub równy od zera a mniejszy od 360. Jeśli wystarczy nam dokładność do jednego stopnia, to azymut zapisujemy podając zawsze trzy cyfry, nawet wtedy, gdy kąt jest mniejszy od 100°. Na przykład, jeśli kąt pomiędzy północą a kierunkiem, w którym widać drzewo jest pięć stopni, licząc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to zapisujemy 005°, jeśli ten kąt byłby równy 5 stopniom w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to zapisalibyśmy azymut 355°.

Przykład

Kierunek północny oznaczony jest literą N.

Azymutem punktu B widzianego z punktu A jest 027°.

Azymutem punktu C widzianego z punktu A jest 130°.

Azymutem punktu D widzianego z punktu A jest 220°.

Azymutem punktu E widzianego z punktu A jest 310°.

{{Karta pracy|
Do zadań 1 i 2 użyj zwyczajnej fizycznej mapy Polski z atlasu do geografii.

1. Jaki jest azymut
a) Krakowa w Warszawie
b) Warszawy w Krakowie

2. Gdyby podróż mogła odbywać się po linii prostej, na przykład samolotem, podaj instrukcję pilotowi, który miałby lecieć z Warszawy do Białegostoku, a potem do Krakowa
a) Z Warszawy przeleć ..... km na azymut .......°.
b) Potem przeleć ...... km na azymut .......°.

3. Podróżnik przeszedł z miejscowości A na azymut 180° 3 km. Potem poszedł 3 km na azymut 270°. Następnie poszedł 3 km na azymut 000°.
a) Podaj mu odległość i azymut drogi, aby wrócił do punktu, z którego wyszedł.
b) Czy podróżnik startujący z bieguna Północnego mógłby wykonać taką podróż?

4. Na poniższym rysunku widać drogę od punktu A poprzez B, C i D z powrotem do A. Na zielono masz zaznaczone różne linie pomocnicze, które ułatwią pomiar kątów. Za pomocą kątomierza i linijki pomierz odpowiednie odległości i azymuty. (Strzałka z napisem N wyznacza kierunek północny.) Wolno Ci użyć tylko linijki i kątomierza. Podaj swoje azymuty i odległości drugiej osobie i poproś o narysowanie tej drogi. Druga osoba też musi mieś kątomierz i linijkę. Jeśli droga wykreślona przez drugą osobę skończy się w kole o promieniu 5 mm wokół punktu A, to jest sukces. Im bliżej punktu A, tym większy sukces.