Strona główna > Matematyka > Gimnazjum > Kąt środkowy i kąt wpisany

Matematyka: Kąt środkowy i kąt wpisany

Komentarze Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Skocz do: nawigacji, wyszukiwanie

Modułem opiekuje się: Elab

Spis treści

1 Koło i okrąg.Elementy koła i okręgu.
2 Kąt wpisany
3 Kąt środkowy
4 Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opartym na tym samym łuku
5 Sprawdź sam siebie

Koło i okrąg.Elementy koła i okręgu.

Koza pasie się na łące przywiązana do palika. Długośc szurka na planie łąki to 7 cm. Wskaż miejsca, w których koza może wyskubać trawę.
[Red: nie umiem narysowac kozy w inscape]

Do wymyślonej przez siebie zabawy chłopcy chcą na szkolnym boisku narysować okrąg promieniu 3 metry. Jak mogą to zrobić?

Ważne

Kołem o środku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów, których odległość od punktu S jest mniejsza lub równa promieniowi r. $P \in K(S,r) \Leftrightarrow |PS| \leq r$

Ważne

Okręgiem o srodku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów, których odległość od punktu S jest mniejsza lub równa promieniowi r. $P \in O(S,r) \Leftrightarrow |PS| = r$

Okrąg inaczej możemy nazwać brzegiem koła.

Elementy koła i okręgu.

Łuk oznaczamy podając nazwy trzech punktów: początek łuku, punkt należący do łuku i koniec łuku.

Dwa punkty na okręgu wyznaczają dwa różne łuki, np.: punkty R i S dzielą okrąg na dwa łuki jeden RTS i drugi RWS

Dwa niepokrywające się promienie dzielą koło na dwa wycinki koła. Na rysunku powyżej jeden z nich jest zaznaczony niebieskim kolorem, drugi jest zaznaczony białym kolorem.

Cięciwa dzieli koło na dwie części, które nazywamy odcinkami kołowymi. Na rysunku powyżej jeden z nich jest pomalowany na czerwono, a drugi na żółto.

Karta pracy

1. Które punkty na rysunkach należą odpowiednio do koła i okręgu?

Punktami koła są punkty ......................... Punktami okręgu są punkty .....................................
2. Uzupełnij zdania:
Promień koła (okręgu) to odcinek, którego jednym z końców jest ......................., a drugim ..............................
Średnica koła (okręgu) to odcinek, która łączy ................................................................................
Średnica koła (okręgu) jest ...................................................., niż promień koła(okręgu)
Cięciwa koła (okręgu) to odcinek, którego jednym z końców jest ......................., a drugim ..............................
Łuk jest to ...................................................................................................................
Odcinek kołowy jest to .................................... wycięta przez.......................................................
Wycinek kołowy jest to .................................... wycięta przez .....................................................

Kąt wpisany

Ważne

Kątem wpisanym w okrąg O(S,r) nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu,a ramionami są półproste, które zawierają cięciwy.

1. Wskaż na rysunku kąty oparte na łukach:

I. BCD
II. IEF
III. JKL
IV, TOP
V. WZL
VI. CMK

2. Wskaż łuk, na którym oparte są dane kąty wpisane.

3. Narysuj trzy okręgi o różnych promieniach i wykreśl w każdym z nich kąty wpisane oparte na:
a. $\frac{1}{2}$ okręgu

b. $\frac{1}{4}$ okręgu

c. $\frac{1}{3}$ okręgu

d. $\frac{1}{6}$ okręgu

e. $\frac{1}{8}$ okręgu

Zmierz otrzymane kąty w okręgach o różnych promieniach.

4. Które z kątów na rysunku nie są kątami wpisanymi w okrąg? słowa nie są powinny być podkreślone

5. Spróbuj narysować różne kąty wpisane w dowolnym okręgu:
a. ostry
b. prosty
c. rozwarty
d. półpełny
e. wklęsły
f. pełny
g. zerowy
Na jakich łukach są one oparte? Czy każdy z kątów udało Ci się narysować?

Przyjrzyj się rysunkowi kąty: BCA, BDA, BEA, BFA są oparte na tym samym łuku AKB ( zaznaczonym na niebiesko) Porównaj ich miary.
[Red: kąt na rysunku nie musi mieć dokładnie miary 47°]

Spróbuj sformułować wniosek wynikający z rysunku.

6. Suma czterech kątów wpisanych opartych na tym samym łuku jest równa 208°. Ile wynosi miara takiego jednego kąta?

Ważne

Miara kąta wpisanego w okrąg opartego na ustalonej części okręgu nie zależy od promienia okręgu.
Kąty wpisane w okrąg O(S,r) oparte na tym samym łuku mają taką samą miarę.

Dla matematyka

Miara pewnego kąta wpisanego i kąta wpisanego opartego na łuku o połowę krótszym wynosi 240°. Jaka jest miara tych kątów?

7.Kolejny rysunek przedstawia różne kąty wpisane oparte na półkolu.
Jakie są ich miary?

8. Znajdź środek okręgu posługując się tylko ekierką.

Kąt środkowy

Wskazówki zegara tworzą kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła(tarczy zegara)każda ze wskazówek zawiera się w prostej do której należy pewna cięciwa koła. Taki kąt nazywamy kątem środkowym.

Ważne

Kątem środkowym okręgu $O (s, r)$ nazywamy taki kąt, którego wierzchołek pokrywa się ze środkiem S okręgu, a ramiona zawierają promienie okręgu.

Karta pracy

1.Wskaż kąty środkowe w danym okręgu. Na jakich łukach są one oparte?
2.Narysuj wszystkie możliwe kąty środkowe oparte na zaznaczonym łuku. Ile udało Ci się ich narysować?
3.Ile istnieje kątów środkowych opartych na tym samym łuku?
4.Czy mogą istnieć różne kąty środkowe oparte na średnicy koła?
5. Jaką część łuku okręgu wycina kąt środkowy o mierze 60°, 90°, 45°, 120°, 150°?

9.Suma trzech kątów środkowych o jednakowej mierze wynosi 330°. Jaka jest miara jednego kąta?

10.Suma dwóch kątów środkowych, z których jeden ma miarę trzy razy większą niż drugi, wynosi 180°. Jaka miarę ma każdy z tych kątów?

11.Suma trzech kątów środkowych, z których każdy następny jest dwa razy większy od poprzedniego, wynosi 210°. Jaka miarę ma każdy z tych kątów?

12.Suma dwóch kątów środkowych, z których jeden ma miarę o 40° większą od drugiego, wynosi 190°. Jakie miary maja te kąty?

13. Iloraz miar dwóch kątów środkowych wynosi $\frac{1}{3}$ .Suma miar tych kątów wynosi 240°. Jakie miary maja te kąty?

14.Wskazówki zegara tworzą kąt środkowy o mierze:
a.60°,
b.90°,
c.45°,
d.120°,
e.150°
Jaką częścią okręgu jest łuk, na którym oparte są te kąty?

Zobacz też http://matma.spdobczyn.pl/mat/car_kolo.htm

Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opartym na tym samym łuku

15. Dla każdego z danych kątów wpisanych dorysuj kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

16. Do narysowanych kątów środkowych dorysuj kąty wpisane oparte na tym samym łuku

17.Narysuj pięć dowolnych okręgów, Zaznacz w nich łuk równy
a/ $\frac{1}{2} \textrm{\ okregu}$

b/ $\frac{1}{4}$ okręgu.

c/ $\frac{1}{6}$ okręgu.

d/ $\frac{3}{4}$ okręgu.

e/ $\frac{5}{6}$ okręgu.

18.Narysuj dowolny kąt wpisany i kąt środkowy oparty na zaznaczonym łuku. Przy pomocy kątomierza zmierz każdy z kątów i uzupełnij tabelkę


długośc łuku	miara kąta wpisanego	miara kąta środkowego
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{5}{6}$

19.Narysuj teraz trzy dowolne okręgi i zaznacz w nich dowolny łuk. Narysuj dowolny kąt wpisany i kąt środkowy oparty na zaznaczonym łuku. Przy pomocy kątomierza zmierz je i porównaj.
Jakie wnioski nasuwają się z dwóch ostatnich ćwiczeń?
Wskazówka: przypatrz się kolejnym rysunkom.

Zobacz także http://www.geogebra.org/en/upload/files/Polish/ROSE/srodk_wpis.html

Ważne

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kata wpisanego opartego na tym samym łuku

Dla matematyka

Nawet jeśli zostałaś/zostałeś przekonany, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, to jednak prawdziwy matematyk chciałby poznać rozumowanie, które dotyczy wszystkich możliwych przypadków, a nie tylko tych, które sprawdziliśmy dotychczas.
Zacznijmy jednak od małego przypomnienia dwóch faktów.
Pierwszy. (Pojedyncze kreseczki na dwu bokach trójkąta oznaczają, ze te boki są równe.) Czy poznajesz to to twierdzenie?

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
A teraz drugi fakt.

W dowolnym trójkącie kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch nieprzyległych do niego kątów wewnętrznych.
A teraz do dowodu. Zaczniemy od sytuacji, gdy środek okręgu leży na jednym z ramion kąta wpisanego. Pokażemy, że dla takiego kąta wpisanego kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy. Oto dowód.

Czy zauważyłaś/zauważyłeś, w którym miejscu skorzystaliśmy z dwóch faktów wymienionych przed chwilą?
Jeśli środek okręgu nie leży na ramionach kąta wpisanego, to możliwe są dwa przypadki. Albo ten środek leży wewnątrz kąta, albo na zewnątrz.
Zacznijmy od przypadku, gdy środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego. Taki kąt daje się przedstawić jako suma dwóch kątów wpisanych, z których każdy ma środek okręgu na swoim ramieniu.

A teraz przypadek, gdy środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego. Wtedy taki kąt daje się przedstawić jako różnica dwóch kątów, z których każdy ma środek okręgu na swoim ramieniu.

[Red: oczywiście, niektórzy będą woleli bardzie formalny dowód oparty na rysunu poniżej, ale jestem za pozostawienie dowodu "obrazkowego".]

20. Wyznacz miary zaznaczonego kąta na rysunkach:

21. Jaką część łuku okręgu wycina kąt wpisany o mierze 60°, 90°, 45°, 120°, 150°?

22. Suma miar kąta wpisanego i środkowego, które są oparte na tym samym łuku, jest równa 180°. Ile wynoszą miary tych kątów?
23. Wyznacz miary wszystkich kątów na rysunkach:

Sprawdź sam siebie

zobacz też http://www.mojamatma.neostrada.pl/test_car_kolo.htm i http://mierzenie.pedagogika.net/index/zadania/luka/kwkole.htm

Wskaż kąty wpisane i odpowiadające im kąty środkowe na rysunku

Jaką miarę mają kąt wpisany i środkowy oparte na a/ $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$ okręgu b/ $\begin{matrix}\frac{1}{3}\end{matrix}$ okręgu c/ $\begin{matrix}\frac{1}{6}\end{matrix}$ okręgu d/ $\begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix}$ okręgu
uzupełnij tabelkę

Zależności między długością łuku, kątami wpisanym i środkowym opartymi na tym łuku
Długość łuku	Kąt wpisany	Kąt środkowy
$\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}$
	45°
$\begin{matrix} \frac{3}{8} \end{matrix}$
		270°
	30°
		120°
$\begin{matrix} \frac{5}{6} \end{matrix}$
	60°
		180°

4. Wyznacz pozostałe kąty na rysunkach

Test Uwaga w teście może być więcej niż jedna prawidłowa odpowiedź

Czy stwierdzenia w zadaniach 1-5 są prawdziwe:

Środek okręgu należy do tego okręgu T N
Punkt, którego odległość od środka koła jest większa od promienia, należy do koła. T N
Istnieje kąt wpisany w okrąg o mierze 120° T N
Kąt wpisany oparty na średnicy koła ma miarę $450$ T N
W którym podpunkcie wymienione są tylko punkty zewnętrzne koła A/ $K, O, T$ B/ $K, O, S$ C/ $K, O, D$ D/ $K, O, L, A$
Odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu to: A/ łuk B/ promień C/ cięciwa C/ średnica
Kąt środkowy oparty na łuku, który jest $\begin{matrix} \frac{1}{8} \end{matrix}$ okręgu ma miarę: A/ $450$ B/ $22,5 0$ C/ $900$ D/ $300$
Jeśli kąty wpisany i środkowy oparte są na tym samym łuku to A/ kąt środkowy jest dwa razy mniejszy niż wpisany B/ kąt wpisany jest dwa razy mniejszy niż środkowy C/ obydwa kąty są równe D/ suma kąta środkowego i wpisanego równa jest potrojonej mierze kąta wpisanego
Miara kata $K L N$ na rysunku wynosi A/ $300$ B/ $450$ C/ $1800$ D/ $900$
Suma trzech kątów wpisanych opartych na różnych lukach o długości $\begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}$ okręgu wynosi A/ $1200$ B/ $600$ C/ $1800$ D/ $3600$

Zastosowania 1. Narysuj siedmiokąt foremny
2. Narysuj, bez użycia kątomierza, trójkąt równoramienny o kącie między ramionami a/15° b/ 22,5° c/ prostokątny d/ 120°
3. Narysuj, bez użycia kątomierza, trapez równoramienny o kącie rozwartym 120°. Czy taki trapez jest tylko jeden?
4. Oblicz sumę kątów wewnętrznych pięciokąta foremnego.
5, Każdy z kątów wewnętrznych wielokąta foremnego ma miarę 150°. Ile boków ma ten wielokąt?

Ważne

Wielokąt foremny to taki wielokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe.

Zapamiętaj

Koło o ustalonym środku w punkcie O i promieniu r to zbiór punktów, których odległość od punktu O jest mniejsza bądź równa r.
okrąg o ustalonym środku w punkcie O i promieniu r to zbiór punktów, których odległość od punktu O jest równa długości r.
Okrąg to brzeg koła.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają taką samą miarę.
Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę 90°.
Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Literatura, linki itp.
Leon Gulgowski "Matematyka. Testy wyboru", Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 1998.
Praca zbiorowa pod redakcją I.Dziubińskiego i T. Świątkowskiego "Poradnik matematyczny", PWN, Warszawa 1982.
Mały słownik matematyczny, WP, Warszawa, 1974.
http://matma.spdobczyn.pl/mat/car_kolo.htm

http://www.mojamatma.neostrada.pl/test_car_kolo.htm [Red: sprawdzić czy działa dobrze]

http://mierzenie.pedagogika.net/index/zadania/luka/kwkole.htm [Red: sprawdzić czy działa dobrze]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Omega_Seamaster_Professional_Chronometer.jpg

http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Vrba_ura.jpg

http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Kuckucksuhr.JPG

http://www.geogebra.org/en/upload/files/Polish/ROSE/srodk_wpis.html Terminy (słowniczek)

Źródło: "http://wiki.wolnepodreczniki.pl/Matematyka:Gimnazjum/K%C4%85t_%C5%9Brodkowy_i_k%C4%85t_wpisany"