Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Graniastosłupy 1

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: TG

[Red: Wielościany a graniastosłupy

  1. rozpoznawanie i rysowanie rzutów równoległych graniastosłupów (na jedną płaszczyznę bez perspektywy)
  2. siatki graniastosłupów
  3. obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości prostopadłościanów
  4. obliczanie pól powierzchni i objętości graniastosłupów

Uwaga na wysokość.]

Spis treści

Wielościany

Illusion 7 or 5.svg

Przyjrzyj się uważnie tym sześcianom. Czy widzisz ich 7, czy 5? Czy 7 sześcianów stoi na ziemi, czy jest 5 zawieszonych na suficie w rogu pokoju? Czy potrafisz tak przestawić swoje patrzenie, żeby zobaczyć to, co wolisz? Spróbuj. Zawsze gdy rysujemy trójwymiarowe obiekty na płaskim papierze, istnieje obawa nieporozumień. Nie ma na to sposobu. Ale pewnie dlatego, że jesteśmy wszyscy ludźmi, potrafimy się porozumieć. W tym module będzie wiele trójwymiarowych rysunków. Mamy nadzieję, że się będziemy rozumieć.

Oto przed Wami wielościan. Ma on 15 ścian. Niektóre są trójkątami. Jest też czworokąt i pięciokąt. Każde dwie ściany albo są rozłączne, albo stykają się jednym wierzchołkiem albo jedną krawędzią. Każda krawędź jest bokiem dokładnie dwóch wielokątów będących ścianami. Ściany tworzą pewną zamkniętą spójną powierzchnię, która dzieli przestrzeń na dwie części: jedną zamkniętą ścianami i ograniczoną, drugą nieograniczoną.

Wieloscian a.svg

Ten wielościan powstał z sześcianu, od którego odcięto 8 ostrosłupów.

Plik:S cuboid.svg


Trunkatedcube a.svg

Stella octangula, to gwiazda ośmioramienna. Ma coś wspólnego z sześcianem, w który można ją włożyć, ale...

Stella oct a.svg

też z ośmiościanem foremnym, który jest w niej schowany (gdyby uciąć jej 8 ostrosłupów stanowiących o jej gwiaździstości).

Octahedron a.svg

Ten ośmiościan foremny łatwo narysować, gdy wyobrazi się go sobie w sześcianie w taki sposób, żeby jego wierzchołki leżały na środkach ścian sześcianu.

Dwudziestościan foremny ma wszystkie ściany trójkątne i równoboczne. Nie wygląda na to, ale bardzo wiele ma z sześcianem. Czy widzicie, że można go tak umieścić w sześcianie, żeby pionowe i poziome krawędzie leżały na ścianach sześcianu?

Icosahedron a.svg

A to jest dwunastościan rombowy gwiaździsty. Nie tak trudno go narysować, gdy widzi się wokół niego sześcian.

RhombicStar b.svg


To oczywiście była tylko mała próbka wielościanów z nieskończonej ich rodziny. Na razie zajmiemy się tylko bardzo specjalnymi wielościanami - graniastosłupami.

Graniastosłupy

Graniastosłupy to są takie wielościany, które mają dwie przystające ściany leżące w dwóch różnych równoległych płaszczyznach. Ściany te nazywa się podstawami. Wszystkie krawędzie graniastosłupa niebędące bokami podstaw są równe i równoległe.

Prisms 00.svg

Szczególnie ważnym pojęciem związanym z graniastosłupami jest wysokość.

Prisms h 00.svg

Kształt podstawy dodaje się na ogól do nazwy graniastosłupa.

Prisms 01.svg

Graniastosłupy dzielą się na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, w pochyłych - nie są.

Szczególną kategorią graniastosłupów są graniastosłupy foremne. Poniżej graniastosłup foremny siedmiokątny.

Prisms r 07.svg

A ten wielościan nie jest graniastosłupem. Ma, co prawda, dwie przystające ściany równoległe, ale nie wszystkie krawędzie niebędące bokami podstaw są równoległe.

NotPrism 00.svg

Ściany boczne graniastosłupów są równoległobokami, a w graniastosłupach prostych są nawet prostokątami. Ten wielościan powyżej może na prawdę pasować do nieprecyzyjnej definicji graniastosłupa. Jego ściany boczne są równoległobokami, a nie jest on graniastosłupem. Trzeba bardzo uważać przy definiowaniu pojęć matematycznych.


Uwaga. Jest tylko jeden typ graniastosłupa, w którym ściana boczna też może być podstawą. Jest to graniastosłup czworokątny o podstawie, która jest równoległobokiem. Taki graniastosłup nazywa się równoległościanem.

Parallelopiped.svg

Siatki graniastosłupów

Przykład 1

Robiliście już zapewne siatki różnych brył po to, żeby kleić ich modele. Siatka poniżej nie ma jednak takich typowych elementów, które smaruje się klejem. Na razie będziemy wykorzystywać pewne matematyczne właściwości siatek i będziemy sobie wyobrażali, jak możne je złożyć, aby powstał wielościan. Przypomnijmy najłatwiejszą siatkę najłatwiejszego wielościanu - prostopadłościanu.

S cuboid01.svg

Narysowaliśmy dwie różne siatki. Można zrobić więcej różnych siatek dla tego samego wielościanu. Wymiary tego prostopadłościanu to a, b i c. Przy takim ustawieniu jak na rysunku a i b są wymiarami podstawy, natomiast c jest wysokością.

Przykład 2

S pentagonprism.svg

A to jest siatka graniastosłupa pięciokątnego. Ściany boczne są prostokątami, a więc jest to graniastosłup prosty, w dodatku pięciokąty będące podstawami są foremna. Jest to graniastosłup pięciokątny foremny.

Przykład 3

Koła posłużyły do narysowania siatki prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego. Podstawy są zaznaczone na żółto, a ściany boczne - na szaroniebiesko.

S 6 prism.svg

Przykład 4

A jak przygotować siatkę graniastosłupa skośnego? Nie jest to takie łatwe, ale gdy będziecie pilnować paru zasad, to ściany siatki powinny się po odpowiednich zgięciach schodzić z innymi ścianami, tak jak zaplanowaliście. Zaczniemy od graniastosłupa trójkątnego. Podstawa jest dowolnym trójkątem, a trzy ściany boczne już nie muszą być prostokątami. Oto przykład.

S 3 prism a.svg

Trzeba pilnować zasady pierwszej: krawędzie boczne w graniastosłupie są równe. Ta siatka spełnia ten warunek. Trzy okręgi: zielony o środku w A, czerwony o środku w B i zielony o środku w C mają równe promienie. To jednak nie gwarantuje, że po zgięciu równoległoboków wzdłuż boków trójkąta ABC ich równe boki zejdą się tak, żeby je można było ze sobą skleić. Przyjrzyjmy się najpierw ścianie przyległej do boku AB podstawy, czyli ścianie ABB'A" . W czasie zginania jej wzdłuż linii AB rzut wierzchołka B' na płaszczyznę ABC utworzy prostą prostopadłą do AB (!). Na rysunku jest to czerwona prosta przechodząca przez punkt B'. Zacznijmy teraz rysować drugą ścianę, powiedzmy tę przystającą do boku BC. Na razie obowiązuje nas tylko jedna zasada, że ma to być równoległobok, którego dwa równoległe boki nierównoległe do BC są równe już narysowanym bokom AA" i BB'. I taki właśnie jest równoległobok BCC'B". Czy po odpowiednich zgięciach ściany ABB'A" i BCC'B" spotkają się, tak aby boki BB' i BB" utworzyły wspólną krawędź? Gdy będziemy zginać równoległobok BCC'B" wzdłuż BC, to ślad rzutu prostopadłego punktu B" na płaszczyznę ABC będzie poruszał się wzdłuż linii przechodzącej przez B' i prostopadłej do BC. (Na rysunku druga czerwona linia.) Otóż punkty B' i B" spotkają się nad przecięciem dwóch czerwonych linii. Ten punkt zaznaczono B*. Teraz wiemy już, jak będzie wyglądał rzut górnej podstawy na płaszczyznę ABC. Na rysunku jest to trójkąt A*B*C*. Powstał on z przesunięcia trójkąta ABC z zachowaniem równoległości boków, tak aby punkt A przeszedł na A*. Siatka trzeciej ściany już jest wyznaczona jednoznacznie. Po pierwsze mamy już punkty na płaszczyźnie ABC nad którymi muszą się spotkać wierzchołki A' i A" oraz C' i C". Punkt C" powstaje z przecięcia linii przechodzącej przez C* prostopadłej do AC oraz wykreślonego już okręgu o środku w C, a punkt A' jest punktem przecięcia prostej przechodzącej przez A* i prostopadłej do AC.

S 3 prism b.svg


Trzeba jeszcze narysować na siatce górną podstawę.

S 3 prism c.svg


Oto trójwymiarowe rysunki naszego trójkątnego graniastosłupa. Ten po lewej stronie to widok z góry, a po prawej - z przodu i lekko z góry.

S 3 prism d.svg

Pole powierzchni i objętość prostopadłościanów

Pole powierzchni prostopadłościanu liczy się łatwo i na siatce i na trójwymiarowym modelu. Patrz rysunek poniżej. Są dwie ściany o polu ab (podstawy), dwie o polu ac (przednia i tylna) i dwie o polu bc (boczne) i stąd wzór na pole powierzchni P prostopadłościanu

Cuboid02.svg

P = 2(ab + ac + bc)

Uwaga na jednostki! Wymiary prostopadłościanu powinny być wyrażone w tych samych jednostkach liniowych jak metry, milimetry, kilometry itp. Wtedy rachować można na liczbach i na koniec, w odpowiedzi zapisać odpowiednie jednostki powierzchni jak odpowiednio metry kwadratowe, milimetry kwadratowe, kilometry kwadratowe...

Przykład 1. Pudełko herbaty jest prostopadłościanem o wymiarach podstawy 5 cm na 8 cm i wysokości 6 cm. Jaką powierzchnię ma to pudełko? P=2(5\cdot8+5\cdot6+8\cdot6= 2(40+30+48=118 Odpowiedź: Pudełko ma powierzchnię 118 cm2.

Przykład 2. Drut o przekroju 2 mm na 3 mm o długości 120 m został polakierowany warstwą ochronną przeciw rdzy. Na jaką powierzchnię zamówić lakier, jeśli trzeba polakierować 1000 takich drutów. Nie zmieniamy jednostek ale zachowujemy je we wzorze na pole P=1000 \cdot 2 \cdot (2 mm \cdot 3 mm + 2 mm \cdot 120 m + 3 mm \cdot 120 m)=

=1000 \cdot 2 (6 mm^2+240 mm \cdot m+360 mm \cdot m)=

1000 \cdot 2(6 mm^2 +600 mm \cdot m)=120000mm^2+1200000 mm \cdot m=120mm \cdot 1000mm+1200m \cdot m=0,12m \cdot m+1200m^2=1200,12m^2