Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Gorąco zachęcam do wypowiedzi na temat nauczania matematyki w gimnazjum. Nasza wspólna praca z pewnością będzie i przyjemniejsza, i skuteczniejsza, jeśli okaże się, że jesteśmy zgodni w najważniejszych sprawach, a kompromisy nie będą zbyt duże.

Nauczanie matematyki w gimnazjum

Specyfika nauki w gimnazjum

Etapy nauczania matematyki podstawówka-gimnazjum-liceum miały się charakteryzować różnym stylem nauczania w każdym etapie. O ile podstawówka miała być okresem doświadczania matematyki, doświadczania wielu różnorodnych matematycznych faktów, dostrzeganiem prostych regularności, to
gimnazjum miało być okresem i poznawania nowego materiału i także nauką syntezy i analizy używających coraz bardziej matematycznego języka. Może jeszcze nienajgłębszych analiz i syntez, ale przynajmniej stwarzaniem ku temu okazji na różnym poziomie trudności. A więc gimnazjum jest okresem, w którym widać już rozwój podstawowych umiejętności matematycznych, co prawda ograniczonych do niezbyt wielkiego zasobu wiedzy. Oczywiście, takie gimnazjum byłoby fundamentem dla liceum, w którym następowałby duży rozwój wiedzy i w którym umiejętności prostszej lub bardziej złożonej analizy i syntezy miały być kluczowe.
Tak więc ten rozwój matematyczny powinien wpisywać się w ogólny rozwój intelektualny człowieka w tym wieku. Wiemy, że z wielu powodów nie zawsze to "wpisywanie" się udaje. Jednym z tych powodów jest fakt, że przy tak niezwykle dynamicznym rozwoju młodzieży w tym wieku poziomy rozwoju poszczególnych uczniów skaczą, a nauczanie rzadko jest dostatecznie zróżnicowane i elastyczne, aby pasować do aktualnego poziomu wszystkich uczniów.TG 13:18, 22 sie 2007 (CEST)

Nauczanie algebry

Wyzwanie, jakie stoi przed nauczycielem i uczniem jest w algebrze dość oczywiste. Uczniowie powinni w coraz większym stopniu używać języka algebry. Powinni zdobywać przekonanie, że dość często algebra pozwala wyrazić precyzyjnie i bardzo ogólnie pewne fakty, że jest niezwykle pożytecznym a jednocześnie precyzyjnym i ogólnym językiem opisu pewnych faktów matematycznych ale także często jest językiem zastosowań matematyki w wielu innych dziedzinach wiedzy. Umiejętność algebraizacji problemów jest jednym z najważniejszych w gimnazjum. Tak więc łańcuch: problem - przetłumaczenie problemu na język algebry - rozwiązanie problemu wewnątrz samej algebry - powrót do wyjściowego problemu powinien już stać się czymś w miarę naturalnym i świadomie stosowanym sposobem atakowania niektórych problemów. Z jednej strony trzeba nauczyć różnych formalnych umiejętności związanych z wyrażeniami algebraicznymi i równaniami (nierównościami), ale też koniecznie trzeba pokazywać zastosowania algebry w różnych kontekstach praktycznych jak i matematycznych. Na przykład w geometrii.

Naukę formalizmów algebraicznych trudno przeprowadzić wywodząc je z paru najprostszych własności. Potrzeba porządku wśród tych formalizmów i samodzielny wybór tych najważniejszych przychodzi do uczniów dopiero wtedy, gdy robi się ich za dużo i w naturalny sposób zadają oni sobie pytanie, które z nich wystarczy zapamiętać. Na początku warto więc opierać się na nieco większej ilości własności niż robią to "rasowi" matematycy. Na przykład rozdzielność mnożenia względem dodawania zawiera w sobie rozdzielność mnożenia względem odejmowanie, ale na początku chyba lepiej podać obie własności jako bliźniacze i nie przejmować się minimalizacją liczby własności. Z drugiej strony uczenie, że w równaniu można przenosić wyrażenie zmieniając znak i że można do obu stron dodawać i odejmować te same wyrażenia trochę źle współistnieją razem. Na dłuższą metę warto opierać się na tym drugim, wynikającym z ogólniejszego faktu, że jak równym wielkościom uczynimy to samo, to rezultaty też będą tym samym. Tak więc formalizmy warto oprzeć na pewnej możliwej do zapamiętania liczbie własności, nie będącej minimalną. No ale na szczegóły będzie miejsce w programie.TG 13:48, 10 sie 2007 (CEST)

Pierwsza przymiarka do dokładniejszego rozkładu materiału algebry przez 3 lata. Rzecz bardzo do dyskusji.

Klasa 1

3.1 Wyrażenia algebraiczne 1. Zapisywanie wyrażeń algebraicznych (Wyrażenia o prostej konstrukcji, dotyczące przykładów z życia Przykład: W klasie Ia jest k uczniów, a w klasie Ib m uczniów. Ilu uczniów razem jest w obu klasach pierwszych?)
Tu warto by było na wiele sposobów pokazać, że opłaca się używać liter zamiast pokazać parę przykładów liczbowych, dopowiedzianych zwrotem: i tak samo będzie w innych przypadkach. Na przykład wzór na sumę kolejnych liczb naturalnych, wzór na kolejny wyraz ciągu (na przykład konstrukcji z zapałek), wzór na pole, objętość. Im więcej się poruszy, wydobędzie z pamięci ucznia, tym lepiej. Uczniowie są dość często przestraszeni tym ixem. Co to jest? – pytają.
(Tu myślę, że ważne jest, żeby uczyć uczniów korzystać z różnych liter na oznaczenie tego samego, żeby nie przywiązywali się do oznaczania zawsze np. pola kwadratu jako iloczynu a przez b--Elab 17:24, 28 sie 2007 (CEST))

2. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych (Proste przykłady pod względem rachunkowym, nie wymagające określania dziedziny wyrażenia)
Tutaj dobrze by było zbudować intuicję, że dwa wyrażenia algebraiczne są równe, jeśli po wstawieniu do obu tych samych wielkości otrzymuje się te same wartości. Na przykład a+b=b+a lub 2b=b+b.
Warto podkreślić, że wyrażenie –a wcale nie musi oznaczać liczby ujemnej, tak jak a nie oznacza wcale liczby dodatniej. Warto poddać refleksji -a = (-1) a . To jest trochę subtelne, ale może się uda.

3. Jednomian
o porządkowanie jednomianów
Tutaj dobrze gdyby regułki były poparte przekonaniem, że porządkowanie wielomianów prowadzi do równego wyrażenia. Podobnie przy dalszych punktach . (Porządkowanie jednomianów przypomina dodawanie i odejmowanie wyrażeń jednomianowych (na przykład w metrach), ale też najdawniejsza wiedza: dwa jabłka plus trzy jabłka to 5 jabłek.)
o określanie współczynnika liczbowego jednomianu,
o mnożenie jednomianów,
o jednomiany przeciwne,
o jednomiany podobne.
4. Suma algebraiczna
Tu przypomnienie, że na przykład a-b+c=a+(-b)+c. Czyli że dodawanie i odejmowanie można zawsze przedstawić w postaci tylko sumy odpowiednich wyrażeń.
5. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
6. Mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian
7. Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian
8. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Trzeba uważać z wyłączaniem czynnika liczbowego. Tam nie ma jednoznaczności. Na przykład: (1/2)a+(1/3)b może mieć wyłączone przed nawias i ½ i 1/3 i 1/6. Wszystko ma pewien sens. (i zwrócić na to uwagę--Elab 17:24, 28 sie 2007 (CEST)) Tu zaczynają się równania. O ile do tej pory a+b = b+a oznacza tożsamość (akurat prawdziwą), natomiast a + b = a – b oznacza nieprawdziwą tożsamość, to w rozdziale o równaniach te same napisy oznaczają co innego, nawet jeśli nie jest to wyraźnie powiedziane. A więc teraz napis a+b = b+a oznacza, że a może być dolną liczbą i b może być dowolną liczbą, zaś napis a + b = a – b oznacza, że a może być dowolną liczbą, natomiast b musi być zerem. Nie używa się obecnie różnych znaków na tożsamość (trzy kreski) i równość (dwie kreski). Nie zapisuje się równania jako np. {a, b : a + b = a – b }. Uczniom trzeba wyraźnie mówić, jaki jest kontekst równości.
(Czy tu nie byłoby dobrze wskazać, że wyznaczając b z Twojego przykładu otrzymamy właśnie to 0, to jest juz jakby przygotowanie do przekształcania wzorów. A może stąd przejść do prostego przekształcania?--Elab 17:24, 28 sie 2007 (CEST))

4.1 Zależności między dwiema wielkościami – proporcje (proporcje typu a:b = c:d, podziel 24 na trzy części w stosunku jak 1:2:3, chyba powinny być w dziale arytmetyka, liczby, pomiary.)
Tu raczej wielkości proporcjonalne, współczynnik proporcjonalności. Ponadto rozumienie wyrażeń typu
y jest proporcjonalne do x
y jest odwrotnie proporcjonalne do x
y jest proporcjonalne do pierwiastka z x
y jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu x.

3.2 Przekształcanie wzorów Może tu właśnie sformułować zasadę, że obu stronom równania można uczynić to samo bez utraty informacji zawartej w tym wzorze pod warunkiem, że zmienionemu równaniu można „odczynić” w obu stronach, to co zrobiliśmy wcześniej i powrócić do wyjściowego równania.

5.1 Równanie liniowe z jedną niewiadomą, 1. zapisywanie treści zadań za pomocą równań
2. rozwiązanie równania. Liczby spełniające równanie
3. metody rozwiązywania równań. Równania równoważne
4. równania tożsamościowe, sprzeczne
5. zastosowanie do rozwiązywania zadań tekstowych

5.2 Pojęcie nierówności, liczby spełniające nierówność 1. rozwiązywanie prostych nierówności liniowych
2. zaznaczanie na osi liczbowej zbioru rozwiązań nierówności
3. zastosowanie do rozwiązywania zadań tekstowych
5.3 Równanie I stopnia z dwiema niewiadomymi Tu chyba wystarczy zapisanie równania i sprawdzanie, które pary liczb sprawdzają to równanie, a które – nie. Warto pozostawić ucznia w przekonaniu, że takie równanie ma nieskończenie rozwiązań i że pary liczb będące rozwiązaniami po interpretowaniu ich na płaszczyźnie kartezjańskiej układają się wzdłuż pewnej prostej. Wystarcza więc znaleźć dwie istotnie różna pary rozwiązań i przeprowadzić przez nie prostą.
Być może „zmieściłoby się” tutaj wyprowadzanie zależności jednej zmiennej (niewiadomej) od drugiej. (Jeśli wcześniej będzie przekształcanie wzorów to wręcz musi się zmieścić--Elab 17:24, 28 sie 2007 (CEST)')' Zapisywanie zbioru rozwiązań jako zbioru par liczb. Na przykład równanie 2x+3y=5 można zapisać y=-(2/3)x+5/3, a zbiór rozwiązań jako zbiór wszystkich par liczb postaci
(x; -(2/3)x+5/3), gdzie x jest dowolną liczbą. (Można podmienić odpowiedź na np.
(t ; -(2/3)t+5/3). Można też pójść inną drogą: x=-1,5y+2,5, a rozwiązania to pary postaci
(-1,5y+2,5 ; y). Wstawienie tego tematu tutaj ma sens przygotowania do układów równań liniowych w drugiej klasie.

Klasa 2

3.1 Wzory skróconego mnożenia 1. Mnożenie sum algebraicznych
2. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń
3. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
4. Iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń
Dla chcących rozumieć lepiej warto skonfrontować dwa sposoby wyprowadzania tych wzorów. Jeden – na polach odpowiednich prostokątów, drugi bazujący na prostszych własnościach algebraicznych:
0. a+b=b+a
1. ab=ba,
2. a(b+c)=ab+ac,
3. -a=(-1)a,
Na przykład (a+b)(c+d)=[2](a+b)c+(a+b)d=[1] c(a+b)+d(a+b)=[2]ca+cb+da+db=[0,1]ac+ad+bc+bd
A więc regułka każdy składnik z pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej sumy (skuteczna w działaniu) pochodzi od prostszych praw algebry. Dowody geometryczne wymagały dodatnich zmiennych, algebraiczne metody tego nie wymagają. To jest silny argument za algebrą. To jest chyba pierwszy moment, gdy algebra pomaga stworzyć i udowodnić coś nowego. A więc algebra to nie jest tylko notacja z literkami, ale także narzędzie do odkrywania nowych prawd matematycznych.
Tym mniej zaangażowanych w matematykę można podać tylko regułkę.
W którymś momencie trzeba pokazać potęgę podstawiania. Na przykład znając już wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń można rozwinąć kwadrat a+b+c do sumy algebraicznej.TuTaj warto też wskazać jak łatwo rozwinąć ( − 2 + 5x)²oraz( − k − 3w)²>--Elab 17:24, 28 sie 2007 (CEST))

3.2 Wyrażenia algebraiczne 1. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia
o przekształcanie wyrażenia algebraicznego do najprostszej postaci
o przekształcanie sumy algebraicznej na iloczyn
o usuwanie niewymierności z mianownika
4.1 Przykłady funkcji (również nieliczbowych) 1. sposoby przedstawiania funkcji

2. wskazywanie przyporządkowań będących funkcjami
4.2 Odczytywanie własności funkcji z wykresu 4.3 Funkcja liniowa i jej własności 1. wykres funkcji liniowej, miejsce zerowe
2. zależność wykresu od współczynników a i b
3. wyznaczanie wzoru funkcji liniowej
5.1 Równania z jedną niewiadomą 1. Rozwiązywanie równań z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia

5.2 Rozwiązywanie nierówności i układów nierówności 1. zastosowanie nierówności w zadaniach
5.3 Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 1. rozwiązywanie układów równań metoda podstawiania
2. rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
3. rozwiązywanie układów równań metoda graficzną
4. układy oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne
5. zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych

Klasa 3

W klasie III powtarzamy wiadomości z klasy I i II. Więcej uwagi poświęcamy przekształcaniu wzorów.
Mam wrażenie, że nad algebrą w klasie 3 trzeba jeszcze popracować.

3.1 Zapisywanie wyrażeń algebraicznych oraz obliczanie ich wartości liczbowych; tutaj robimy także zadania z przybliżeń (2) oraz wzorów skróconego mnożenia (3)

4.1 Przykłady funkcji : kwadratowej y=ax² i proporcjonalności odwrotnej
1. wykresy funkcji
2. odczytywanie własności z wykresu funkcji
3. oblicza wartość funkcji dla danego argumentu
4. obliczanie argumentu z danej wartości
5. wykresy i wzory funkcji, których wykres powstał przez przesunięcie o wektor [a,0] lub [0,b] (w prawo o a bądź w lewo o b – jeśli wektory traktujemy nadobowiązkowo).
4.2 Odczytywanie własności funkcji z wykresu 5.1 Równania z jedną niewiadomą Powtarzamy wiadomości z klasy I i II. Rozwiązujemy układy równań o bardziej złożonej budowie niż w klasie II.

Nauczanie geometrii

Geometria w gimnazjum jest łatwa. Niestety dość często (to zależy od programu) nie ma na nią dużo czasu. Wydaje się, że już uzgodniliśmy, ze przekształcenia będą w niej ważne. Ale czy chcemy mieć symetrię z poślizgiem? Czy podobieństwo trójkątów to cechy, czy przekształcenie? Czy na pewno jest dobrze w pierwszej klasie mieć graniastosłupy, w drugiej ostrosłupy, w trzeciej bryły obrotowe? Przecież te kształty to dzieci powinny już znać w podstawówce. Mam tu wątpliwości. Jakie jest Wasze zdanie?
Bardzo nalegam, żeby nie zaniedbywać konstrukcji. Może nie tak dokładnie robionych jak to kiedyś bywało, gdy opis konstrukcji był bardzo szczegółowy. Konstrukcje bardzo rozwijają. Sprawdzałem to w różnych klasach. Gdy robiłem konstrukcje, których z resztą nie było w programie, to i inne niż geometria działy też szły lepiej. TG 23:52, 9 sie 2007 (CEST)

W naszym spisie treści już są graniastosłupy i ostrosłupy w klasie 1 jako powtórka, w 2- poszerzone o zadania z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa a w 3 - bryły obrotowe. Można by bryły obrotowe dać już w klasie 2, ale chyba zacznie nam się to rozrastać nadto, a dla słabych uczniów może to spowodować nadmiar nowych wiadomości i stać się nie do ogarnięcia.
Przekształceń mamy chyba dość, choć zauważyłam brak hasła składanie przekształceń.
Tak na przyszłość pewne konstrukcje powinny być już w podstawówce dość znacznie podkreślone np. konstrukcje trójkątów, czworokątów, symetralnej....Wtedy w gimnazjum będzie łatwiej z innymi. Z opisów nie rezygnowałabym tak całkiem, bo one tworzą algorytm, co uczniom słabszym daje większe szanse na osiągnięcie sukcesu, nawet małego.
Pozostaje tu jednak jedno dość ważne pytanie: czy wprowadzamy pojęcie funkcji trygonometrycznych, czy pozostajemy przy związkach miedzy kątami i bokami w trójkątach prostokątnych ( połówce równobocznego i połówce kwadratu) bez nazywania tego związku funkcjami trygonometrycznymi? Za przemawiałby fakt przydatności w dalszym kształceniu nie tylko matematyki, ale i fizyki. Przeciw, fakt zapotrzebowania na godziny na właściwą realizację tego tematu.--Elab 12:15, 10 sie 2007 (CEST)

Po kolei.
Bryły:To, że mamy w tym rozkładzie graniastosłupy i ostrosłupy razem w pierwszej klasie, to bardzo dobrze. Podoba mi się. To, co chciałem powiedzieć, to to, że można by już w pierwszej klasie zrobić galerię brył i zapowiedzieć, którymi zajmiemy się najpierw, a którymi później, a którymi zajmą się tylko zainteresowani.
Przekształcenia: Gdybyśmy mieli przesunięcia, obroty, symetrie (osiowe)i symetrie z poślizgiem, to przystawanie byłoby można wrazić przez te przekształcenia. Trójkąty (i cokolwiek innego) są przystające, jeśli jeden z nich jest obrazem drugiego w jednym z tych przekształceń.
Jeśli byśmy mieli składanie przekształceń, co jest na prawdę pojęciem bardzo naturalnym, to byśmy mogli powiedzieć, że figury przystające, to takie, że jedna z nich daje się otrzymać jako pewne złożenie obrotów. przesunięć i symetrii (osiowych) z drugiej.
Cechy przystawania są z zupełnie innej bajki. One są bardziej związane z konstrukcjami. One mówią, że istnieje tylko jeden trójkąt mający daną cechę, bo dwa wycięte z papieru o tych samych parametrach liczbowych według którejkolwiek cechy dają się na siebie nałożyć. Wtedy ukrywa się cały język przekształceń. Ale prowadzi to do wpadki choćby z czworokątami. Jakie muszą być te cechy czworokątów? Ślepa uliczka. Można się ratować triangulacją, ale następny kłopot. Jak striangulować koło? Warto by było te dwa podejścia skonfrontować. Warto, żeby uczniowie poznali tę prawdę, że o jednej rzeczy można mówić różnymi językami. Nie jestem do końca przekonany, że mamy za mało czasu. Bo co z tego, że zdążymy wszystko zrobić po jednym razie, kiedy na końcu większość uczniów i tak bardzo mało umie. (To jest sprawa spiralności programu, o której trzeba jeszcze osobno).
Trygonometria czy nie: To jest temat, którego nie ma na teście. Bardzo by było dobrze, gdyby spotkanie z funkcjami trygonometrycznymi w liceum było już drugim, a nie pierwszym spotkaniem. Warto chyba usłyszeć więcej głosów. Ja jestem "za" a nawet nie przeciw. Raczej w trójkącie prostokątnym. Co prawda sam nauczałem bardzo szybko po trójkącie prostokątnym na kole trygonometrycznym i nawet zrobiłem takie wydruki na kalce przy pomocy których uczniowie mogli odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych prawie tak dokładnie jak w tablicach wartości sinusów, cosinusów i tangensów i na odwrót z wartości funkcji odczytywali kąty z dokładnością do pół stopnia i bardzo dobrze im szło dopóty, dopóki nie pomagali im korepetytorzy, którzy tego nie rozumieli.
Wektory: Jeśli wektorom mówi się "tak", to muszą pojawić się przynajmniej w trzech odsłonach co rok. Bardzo się ucieszyłem, że Ela zaproponowała wektory razem z translacją. Co pierwsze: translacja czy wektory? Oto jest pytanie (Hamlet).TG 21:55, 11 sie 2007 (CEST)

Nauczanie statystyki i elementów probabilistyki

To jest ten dział matematyki, który coraz szerzej jest reprezentowany w naszych szkołach i to od coraz młodszych lat. W "starych" czasach pojawiło się prawdopodobieństwo w przedostatniej klasie liceum i przelatywało co rok przez kolejne roczniki uczniów z bardzo różnym skutkiem, dość często z zerowym.
Byłoby ideałem, gdybyśmy mogli budować intuicje probabilistyczne na podstawie wielu stochastycznych eksperymentów przeprowadzonych przez uczniów. Jest to ważne, bo nasze powszechne intuicje w tej dziedzinie są bardzo kiepskie. Z tych eksperymentów i rozbudowanych intuicji powinno wyrosnąć matematyczne już pojęcie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwanej, miary rozrzutu danych powinny przygotowywać do przyswojenia w odpowiednim czasie np. pojęcia standardowego odchylenia. Statystyka opisowa służy do opisywania, prezentacji danych, a też do wzbogacania intuicji probabilistycznych. Czy uda nam się zrealizować ten postulat, że od eksperymentów poprzez statystykę opisową dochodzimy do intuicji uzasadniających potrzebę stworzenia pojęć rachunku prawdopodobieństwa? Z braku czasu pewnie nie całkiem, ale próbować warto.
A więc na przykład od danych poprzez częstości i częstości względne do prawdopodobieństwa. Warto jednocześnie budować to przeświadczenie, że im więcej razy powtarzamy ten sam eksperyment, tym bardziej częstości względne wyników zbliżają się do prawdopodobieństw tych wyników. Ale też w pewnym sensie i na odwrót. W przypadku teoretycznego określenia jakiegoś prawdopodobieństwa, na przykład że wyrzucenie 6 na kostce ma prawdopodobieństwo 1/6, warto prowokować do sprawdzenia tego idealnego modelu empirycznie.
Z samego aparatu statystyki opisowej uważam że warto zakończyć na poprawnie(!) zdefiniowanym histogramie (przy różnej szerokości klas) i wykresie skumulowanych częstości. Jest to pełna analogia wykresu prędkości w czasie i drogi w czasie. A z tych wykresów geometrycznie szacować wartości średnie (raczej z histogramów) i kwartyle (raczej z wykresów skumulowanych częstości). To samo powinno się umieć zrobić z danych w tabeli.
Wcześniej powinny być najprzeróżniejsze sposoby graficznej prezentacji danych, a w tym prostsze od histogramów wykresy słupkowe, kołowe, pudełkowe i wiele im pokrewnych.
Z interpretacji (obróbki) danych warto podkreślić różnice pomiędzy średnią a medianą. Moda powinna pojawić się i przy danych surowych i przy wykresach słupkowych i przy histogramach. Przy grupowaniu danych w klasy warto pokazać zalety grupowania, jak i wady, polegające na powstawaniu dużych błędów przy szacowaniu mody, mediany, czy średniej.
Budowaniu statystycznej, częstościowej koncepcji prawdopodobieństwa powinno towarzyszyć równoległe budowanie tego pojęcia na zasadzie równych szans. Jednak nie powinno to prowadzić do kombinatoryki. W przypadku podejścia do prawdopodobieństwa na zasadzie równych szans, te wszystkie zdarzenia o równych szansach powinny dać się wypisać w stosunkowo krótkim czasie. Na wszystkie silnie i "Newtony" przyjdzie jeszcze czas.
No i drzewka. Warto przy wprowadzaniu drzewek nawiązać do częstościowej istoty prawdopodobieństwa. O ile wierzy się w tę częstościową zasadę, to już musi się uwierzyć w zasadę mnożenia prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi drzewka i w zasadę dodawania prawdopodobieństw różnych dróg. A może pójść do grafów ogólniejszych niż drzewka?
Wszystko, co tu napisałem nie jest dokładnym rozpisaniem materiału na klasy, raczej mówię o pewnym następstwie jednych rzeczy po drugich. Warto by było wszystkie nowe rzeczy z tego działu skończyć już w 2 klasie, żeby nie było już niczego nowego w 3 klasie przed egzaminem, ale pewnie się tak nie da.TG 15:28, 14 sie 2007 (CEST)

Jak uczyć działu: arytmetyka, liczby, obliczenia

Wyodrębniliśmy jako dział coś pod nazwą "Arytmetyka, liczby, obliczenia", bo nie jest to jeszcze algebra, ale część rzeczy w tym dziale używa technik algebry, bardzo mocno łączy się z zastosowaniami, ale także "trąca" o bardzo teoretyczną naturę liczb. Liczby wymierne i niewymierne są tak abstrakcyjne, że to na pewno nie są rzeczy, o których gimnazjaliści dyskutują na wakacjach. Z drugiej strony liczby otrzymywane z pomiarów zawsze są tylko przybliżonymi wartościami, a użyte w różnych dalszych obliczeniach robią się jeszcze bardziej odległe od dokładnych wartości i to też jest bardzo ważne w tym dziale, choć z zupełnie innych powodów niż liczby wymierne a niewymierne. Jedno ma znaczenie teoretyczne, często poza zasięgiem gimnazjalnych zainteresowań, drugie - ma znaczenie praktycznie wszędzie, począwszy od kupowania odpowiedniej ilości farby na malowanie sufitu a skończywszy na każdej pracy inżynierskiej. Rola cyfr znaczących i/lub dokładności do iluśtam cyfr po przecinku ma dziś szczególne znaczenie, gdy nasze najtańsze kalkulatory produkują nam wyniki dziesięciocyfrowe, z czego praktyczne znaczenie najczęściej ma tylko parę cyfr.
Wprowadzane potęgowanie i pierwiastkowanie zbliża uczniów do pojęć analizy matematycznej (funkcji), ale tradycyjnie nie wprowadza się potęgowania w ramach funkcji. To potem z potęgowania robią się funkcje potęgowe lub wykładnicze w zależności od tego, co się "rusza". Ten dział jest najbardziej niespójny metodologicznie.TG 20:12, 17 sie 2007 (CEST)

Próba uszczegółowienia spisu treści w tym zakresie przez trzy lata. Ten dział bardzo mocno przeplata się z innymi. Ćwiczenia utrwalające będą się pojawiać w różnych kontekstach. Szkic do dyskusji.

arytmetyka, liczby, obliczenia
Klasa 1
1.1 Liczby wymierne i działania na nich, przykłady wykorzystania kalkulatora;
1. działania na ułamkach zwykłych
Powtórzenie porządkujące : 4 działania na liczbach całkowitych, ułamkach i liczbach mieszanych. Syntetyczniej niż w klasach poprzednich, bo nie ma czasu, ale nie całkiem „podająco”. Dodawanie i odejmowanie:
W dodawaniu i odejmowaniu ułamków warto przypomnieć ideę wspólnego mianownika (a nie tylko „podać”). Proponuję już tu podsumowywać własności dodawania „literkami”. Niech najpierw powstanie na tyle dużo wyrażeń algebraicznych, żeby w algebrze było wiadomo, że nie mówi się o rzeczach bez desygnatów.
W dodawaniu i odejmowaniu liczb wymiernych niekoniecznie dodatnich warto zrobić przykłady typu 5-7+8 = 5+(-7)+8 i być może skorzystać z przemienności (i łączności) dodawania. Zrobić na osi liczbowej. Uogólnić jako np. a-b+c=a+(-b)+c=a+c+(-b)=a+c-b albo cd. …=a+(c-b) albo …=a-(b-c). Być może w ćwiczeniu dla lubiących rozumieć, ale warto, bo potem w algebrze manipulacje są czarna magią.
Zilustrować dodawania i odejmowania na osi liczbowej (np. idź -3 w lewo znaczy idź 3 w prawo).
Mnożenie i dzielenie:
Mnożenie. Krótkie nawiązanie do intuicyjnego rozumienia mnożenia ułamka i liczby naturalnej, Odwołanie się do warstwy językowej przy mnożeniu, np. ile jest 1/5 z 7, ile jest 1/5 z 1/3? Ile jest 2/5 z 1/3? Przetłumaczenie tego „z” na mnożenie i dopiero na końcu przypomnienie regułki mnożenia ułamków. (Powinno się zmieścić w czasie. Warto nie gubić intuicji.)
W którymś miejscu tutaj: Jak zmieni się iloczyn, gdy jeden z czynników zwiększymy (zmniejszymy) ileś razy? To warto zrobić tutaj, żeby przesuwanie przecinka w czynnikach iloczynu ułamków dziesiętnych było szczególnym przypadkiem tego właśnie.
2. Dzielenie. Dzielenie ułamków. Z intuicji na temat ułamków, a nie z regułki. Na przykład żonglowanie dzieleniem na równe części i mieszczeniem.
3/5 : 3 = 1/5 (dzielenie na równe części)
3/5 : 1/5 = 3 (ile razy się mieści?)
1/5 : 3 = 1/15 (podział na równe części)
2/5 : 3 = 2/15 (podział na równe części)
1 : 1/3 = 3 (ile razy się mieści?)
5 : 1/3 = 15 (ile razy się mieści?)

1/5 : 1/3 = 3/5 (ile razy się mieści w 5 razy mniejszym od 1?)
2/5 : 1/3 = 6/5
5/7 : 9/11 = 5/7 : 9 : 1/11 = 5/63 : 1/11 = 55/63
We wszystkich przypadkach sprawdzenie przez mnożenie, np 5/7 : 9/11 = 55/63, bo 55/63 x 9/11 = 5/7

Inne umieszczenie w języku potocznym buduje inne intuicje. Np. 3 m materiału kosztuje a złotych. A więc 1 m materiału kosztuje a : 3 zł. Jeśli 3/5 m materiału kosztuje a złotych, to 1m materiału kosztuje a : 3/5. Ale z poprzedniego 1/5m materiału kosztują a:3 złotych, a więc 1m materiału kosztuje a:3x5, czyli a x 5/3 złotych. Inaczej mówiąc a : 3/5 to jest a x 5/3.

Jeszcze inne intuicje związane z dzieleniem: Co się dzieje, gdy zwiększymy (zmniejszymy) ileś razy dzielną? A dzielnik? Jeśli zmienimy taką samą ilość razy i dzielną i dzielnik? Czy można sprowadzić dzielenie ułamków do dzielenia liczb całkowitych?

Intuicje są trochę subiektywne, Trudniejsze do przekazania niż regułki. Za to bardzo trwałe i „ośmielające”. Dodające wiary we własne siły. Dla tych, którzy nie mają intuicji regułka. Głównie słownie. Dla rozumiejących głębiej „literówka”. Szczytem marzeń by było ( a więc dla lubiących rozumieć więcej):
a/b : c/d = a/b x d/c, bo (a/b x d/c) x c/d = a/b x (d/c x c/d) = a/b

Liczby odwrotne. Uczniowie powinni dobrze rozumieć, że 1 : a to odwrotność liczby a i że ab=1 oznacza również, że b jest odwrotnością liczby a. Powinni też automatycznie wiedzieć , że odwrotnością ułamka a/b jest b/a a nie męczyć się z dzieleniem lub mnożeniem).
3. działania na ułamkach dziesiętnych Krótko dodawanie i odejmowanie. Również pisemnie. To jest powtórzenie.
Krótko mnożenie. Mnożenie pisemne. Jak przesuwanie przecinka w czynnikach zmienia iloczyn.
Dzielenie. Dzielenie pisemne (odpowiednie manipulacje przecinkami).
1.2 Porównywanie liczb wymiernych;
1. porównywanie ułamków zwykłych
W prostszych sytuacjach porównywanie przez zwiększenie mianownika lub licznika. W trudniejszych sprowadzanie do wspólnego mianownika. Tu przydałoby się porównywanie za pomocą mnożenia (dzielenia) obydwu przez tę samą liczbę dodatnią, odejmowania tego samego (na przykład części całkowitej takiej samej w obu ułamkach). Czyli takie rozumowania zbliżone do rozwiązywania nierówności. Warto by było pojęcie równoważności w języku potocznym.
2. porównywanie ułamków dziesiętnych
Krótko, bo to powtórzenie.

3. zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie
Tu można pokazać, jakie ułamki mają skończone rozwinięcia dziesiętne, a jakie mają nieskończone. Warto pokazać, że nieskończone rozwinięcia dziesiętne ułamków są okresowe. Dodatkowo: Zamiana rozwinięć dziesiętnych okresowych na ułamki. To jest rzecz, którą łapie bardzo mało uczniów w tym wieku.(ale chyba warto to robić --Elab 16:21, 27 sie 2007 (CEST))
4. działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych
Rozbójnik. W nim także proste potęgowanie i nawiasy. Priorytety działań. To jest przypomnienie.
2.1 Przybliżenia dziesiętne ułamków zwykłych;

1.3 Procenty
1. zamiana procentów na ułamki dziesiętne i zwykłe
2. obliczanie procentu liczby,
3. obliczanie liczby z procentu,
4. obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga,
5. procent składany
1.4 Potęga o wykładniku naturalnym; własności potęgowania
1. obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających potęgi
2. twierdzenia o iloczynie i ilorazie potęg
Już tu wykładnik zerowy. ( myślę, że wykładnik zerowy powinien być w ogóle wtedy gdy zaczynamy mówić o potęgach, wyjdzie nam to samo bo i tak znajdą się uczniowie którzy spytają a co jeśli wykładnik jest 1 lub 0--Elab 16:21, 27 sie 2007 (CEST))
3. twierdzenie o potęgowaniu potęgi
1.5 Przykłady pierwiastków i ich podstawowe własności. np. obliczając bok kwadratu z pola, krawędź sześcianu z objętości; przykłady liczb niewymiernych.
Klasa 2
1.1 Liczby rzeczywiste i działania na nich, przykłady wykorzystania kalkulatora;
1.2 Porównywanie liczb rzeczywistych;
Bardzo potrzebne jest pojęcie dokładności do np. dwóch miejsc dziesiętnych i pojęcie cyfr znaczących, a także analiza jakie cyfry są znaczące w sumie, różnicy, iloczynie i ilorazie dwóch liczb przybliżonych. Potrzebne jest wyrobienie pewnych intuicji na temat zaokrąglania wyników, na przykład tych, otrzymywanych na kalkulatorzeú. To może być zrobione dość krótko, byle było zastosowane w innych działach przy obliczeniach.
1.4 Potęga o wykładniku całkowitym; własności potęgowania;
Liczby olbrzymie i liczby karłowate: Naukowa notacja liczb.
1.5 Pierwiastki i ich podstawowe własności.
Klasa 3
1.1 Liczby rzeczywiste i działania na nich, przykłady wykorzystania kalkulatora; tutaj robimy także zadania z zastosowaniem przybliżeń (2).
1. działania złożone z zastosowaniem potęg i pierwiastków
Także wyliczanie poszczególnych zmiennych we wzorach. (Coś, co i tak się robi w fizyce.TG 10:11, 27 sie 2007 (CEST) (przekształcanie wzorów mamy już w klasie 1 w algebrze, tu myśę że możemy to kontynuować, w trudniejszych przypadkach--Elab 16:21, 27 sie 2007 (CEST))

Rola zastosowań i kontekstualizacji matematyki

Ocenianie wspierające i sumujące

Rola testu państwowego pod koniec gimnazjum

Nie można się dać zwariować testem. Trzeba uczyć, a nie uczyć pod egzamin. Jakiś czas przed testem trzeba jednak przerobić parę poprzednich testów w warunkach zbliżonych do egzaminacyjnych. Jest zupełnie bezsensowne, żeby na to poświęcać więcej czasu niż 2-3 tygodnie, ale nacisk rodziców i lęk uczniów czasem powoduje, że musimy na to poświęcać więcej czasu. Podręcznik powinien też mieć fragment, aby w odpowiednim momencie zacząć powtarzać.
Zaś po teście też coś musi się dziać. W tym roku miałem kochaną klasę, która znosiła wszystkie moje wybryki matematyczne po teście i nawet nieźle pracowali. Jak jest u Was? TG 15:42, 14 sie 2007 (CEST)

Żeby zlikwidować naciski rodziców i uczniów daję im coś co nazywam "praca długoterminową" a jest to właściwie rodzaj testu tyle że czasu na to jest więcej. No i ten test nie może wykraczać poza to czego już się nauczyli. Jak zaczną robić go dostatecznie wcześnie, to mają czas nawet na skonsultowanie odpowiedzi:)--Elab 16:29, 27 sie 2007 (CEST)

Archiwum dyskusji z 7 lipca 2007