Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Symetria osiowa
Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki
Spis treści |
Symetria osiowa
Drugi piesek jest odbity w lustrze. Takie przekształcenie nazywamy symetrią osiową, a potocznie odbiciem lustrzanym.
Oś symetrii ma wiele przedmiotów w naszym otoczeniu. Architekci projektują budowle, które mają oś symetrii. Podziwiamy symetryczne choinki. Podobają nam się symetryczne samochody. Obejrzyj nasze zdjęcia i postaraj się odnaleźć na nich oś symetrii.
 |  |  |  |  |
| Wieża Eiffla w Paryżu | Zamek Królewski w Warszawie | Katedra Notre Dame w Paryżu | Skrzypce | Tort w cukierni Bliklego w Warszawie |
 |  |  |  |  |
| Stare Miasto w Warszawie | Brama Pałacu Matignon (siedziby premiera
Francji) | Symetryczny żywopłot, Paryż | Bazylika Sacré-Coeur w Paryżu | Symetryczny pałacyk w Warszawie |
Nauczymy się rysować punkt symetryczny do danego punktu względem prostej, która będzie osią symetrii.
Mamy punkt A i prostą l, która jest osią symetrii. Punkt A', który będzie obrazem A leży po drugiej stronie prostej l w tej samej odległości co A. Prosta AA' musi być prostopadła do osi symetrii.
Punkt A' jest obrazem punktu A w symetrii osiowej.
Jeśli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem.
 |  |
| Punkt A' będzie leżał po drugiej stronie
prostej l w tej samej odległości co punkt A. | Prosta AA' musi być prostopadła do osi symetrii. |
 |  |
| Punkt A' jest obrazem punktu A
w symetrii osiowej. | Jeśli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem. |
Definicja
Punkt P’ jest obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej l, gdy punkty P i P’ leżą na prostej prostopadłej do prostej l , są w równych odległościach od prostej l i są po przeciwnych stronach prostej l. Jeżeli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem.
[Red: do tg cwiczenia]
 |  |  |  |
| a) | b) | c) | d) |
Doświadczenie ze szpilkami
Będziemy szukać obrazów punktów w symetrii osiowej za pomocą szpilek.
Punkt
 |  |
| Szpilkę wkłuliśmy w kartkę w punkcie A. | Po drugiej stronie prostej k, w tej samej odległości co punkt A otrzymaliśmy obraz punktu A. Oznaczyliśmy go A’. |
Odcinek
 |  |
| Szpilki wkłuliśmy w punkty z odcinka. Odcinek składa się z nieskończenie wielu punktów. | Otrzymaliśmy obrazy punktów. Również leżały na odcinku.. |
Okrąg
W ten sam sposób zobaczymy jaki będzie obraz punktów, które należą do okręgu.
 |  |
| Złozyliśmy kartę wzdłuż osi symetrii.
Narysowaliśmy okrąg i wożyliśmy kilka szpilek. | Rozłożyliśmy kartę i po drugiej stronie prostej k powstał
drugi okrąg o takim samym promieniu. |
Figura
Figury geometryczne często składają się z nieskończenie wielu punktów. Jak znaleźć obrazy symetryczne tylu punktów ? Czasami figura zbudowana jest tak, że wystarczy tylko kilka punktów przekształcić. Resztę możemy dorysować. Odcinek po odbiciu pozostanie odcinkiem. Wystarczy znaleźć odbicie jego końców.
 |  |
| Złozyliśmy kartę wzdłuż osi symetrii.
Widzimy ślad literki F. Włożyliśmy kilka szpilek. | Rozłożyliśmy kartę i po drugiej stronie prostej k powstała
literka F odbita w osi k. |
Wniosek
Gdy odbijamy symetrycznie względem prostej punkt - otrzymamy punkt odcinek - otrzymamy odcinek okrąg - otrzymamy okrąg o tym samym promieniu. Matematyk powinien to udowodnić. W przyszłości może poznasz dowód. Tymczasem proponujemy, żebyś szukając odbicia symetrycznego figur korzystał z definicji tego przekształcenia oraz pomagał sobie wyobrażając sobie odbicie w lustrze lub szpilkami, które „wkłujesz” w wybrane punkty figury.
Umiesz już rysować obraz punktu, odcinka, koła w symetrii osiowej. Obrazem punktu jest punkt, obrazem odcinka - odcinek o takiej samej długości, obrazem koła - koło o takim samym promieniu. Zwróć uwagę jaką własność ma figura i jej obraz po odbiciu symetrycznym.
Symetria osiowa nie zmieniła wymiarów figury, nie zmieniła jej kątów. Otrzymaliśmy dwie figury przystające jak dwie rękawiczki - lewa i prawa.
Symetria osiowa i układ współrzędnych
Przypomnijmy sobie jak odczytujemy współrzędne punktu w układzie współrzędnych. Podajemy dwie współrzędne: x, y. Współrzędna x określa jak daleko na prawo lub na lewo od zera jest prosta pionowa, na której dany punkt się znajduje. Współrzędna y określa “jak wysoko” leży dany punkt. Kwiatek ma współrzędne (-1,3). Świeczka ma współrzędne (2,1). Książka ma współrzędne (-2,-2).
Figury osiowosymetryczne
Marek gra w grę “Odbicia”. Z pomocą dwóch kafelków oraz lusterka trzeba ułożyć figurę narysowaną na kartce.
 |  |  |
| Jak ułożyć te kafelki ? | Udało się ! | Marek pokazuje nam ołówkiem figurę, którą ułożył. |
Wykonaj sobie takie dwa kafelki i zagraj.
 |  |
| Kafelki po stronie prawej. | Kafelki po stronie lewej. |
Oto wzory figur, które trzeba ułożyć korzystając z dwóch kafelków oraz lusterka.
 |  |
Definicja
Figurę nazywamy osiowosymetryczną, jeśli istnieje taka prosta, że obrazem figury w symetrii względem tej prostej jest ta sama figura. Prosta ta nazywa się osią symetrii figury.
Zadania
Złożyła kolorowy papier na pół i jeszcze raz na pół, i jeszcze raz na pół. Następnie wycięła wzorek nożyczkami. Ile osi symetrii ma serwetka Asi ? Który rysunek przedstawia fragment tej serwetki ?
Na egzaminie gimnazjalnym z matematyki zwykle jest zadanie, w którym trzeba policzyć ile osi symetrii
ma dana figura. Zróbmy dwa zadania, w których tę umiejętność poćwiczymy.
 |  |
 |  |
Przykład
Mamy sprawdzić czy prosta wyznaczona przez przekątna prostokąta jest jego osią symetrii.
Nie mamy lusterka, nie będziemy składać kartki i używać szpilek. Gdybyśmy ustawili lusterko wzdłuż prostej k, to obrazem punktu - będzie na pewno punkt. Obrazem odcinka - odcinek. Ale jak te odcinki się ułożą ? Czy powstanie prostokąt ? Zaznaczymy końce odcinków, znajdziemy ich obrazy w symetrii względem prostej k. Czy pamiętasz jak można znaleźć szybko obraz odcinka w symetrii osiowej ?
 |  |
| 1.Chcemy odbić symetrycznie odcinek AB w osi k. | 2.Znajdziemy obrazy końców AB odcinka. |
 |  |
| 3.Punkt A’ będzie na prostej prostopadłej do k. Odległość A od prostej k będzie taka jak odległość A’ od prostej k. | 4.Punkt B’ leży na osi k B=B’. Obrazem odcinka AB będzie odcinek A’B’. |
Narysowaliśmy odbicie symetryczne odcinka AB w prostej k. Powstał odcinek A’B’. Podobnie zrobimy z pozostałymi odcinkami.
 |  |
Po odbiciu wszystkich odcinków i całego prostokąta powstał inny prostokąt. Wobec tego prosta k nie jest osią symetrii tego prostokąta.
Trójkąty
Czy dowolny trójkąt jest osiowosymetryczny? Narysuj przykład.
Równoległoboki
| 1. Równoległobok. | 2. Romb. |
Czy dowolny równoległobok jest osiowosymetryczny? Narysuj przykład. Wracaj
Trapezy
| 1. Trapez.Składamy wzdłuż przekatnej. | 2.Trapez równoramienny. | 3.Trapez |
Czy dowolny trapez jest osiowosymetryczny? Narysuj przykład.
Wracaj
Deltoidy
Czy deltoid jest osiowosymetryczny ? Narysuj przykład. Wracaj
Symetria w Kangurze
11. (Kangur 2007 Kadet zad 20) Jaką najmniejszą liczbę małych kwadracików należy zacieniować na rysunku obok, aby powstała figura miała oś symetrii? A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3
Projekt "Kalejdoskop"
Czy bawiłeś się kiedyś kalejdoskopem? Zaprojektował go fizyk angielski Dawid Brewster w 1816 roku. Możecie sami wykonać kalejdoskop. Wystarczą 3 lusterka lub tapeta, która wygląda jak lustro. Na dno wrzucimy kilka kolorowych kamyków lub małe kafelki wycięte np. z kolorowych pudełek.
 |  |  |
| 1.Oto nasz kalejdoskop.Zrobiliśmy go z kartonu. | 2.Na dnie jest kilka kawałków kolorowych płytek wyciętych z pudełek. Płytki te są przykryte przezroczystym trójkątem. | 3.Wewnętrzne ścianki kalejdoskopu są oklejone tapetą, która wygląda jak lustro. |
Po poruszeniu kalejdoskopu obrazki zmieniają się.
 |  |  |
 |  |  |
W lustrach odbijają się nie tylko kafelki ułożone na dnie kalejdoskopu, ale również obrazy powstałe w sąsiednich lustrach.
 |  |
1.Wykonaj swój kalejdoskop. Zrób zdjęcia obrazków z Twojego kalejdoskopu. 2.Popatrz na rysunek umieszczony niżej i dopasuj brakujące obrazki do obrazu z kajedoskopu.
Karta pracy
Imię ........................................ Nazwisko...............................Data................................. Klasa........................................ Karta pracy do tematu: Symetria osiowa 1. Narysuj obrazy punktów zaznaczonych na rysunku w symetrii osiowej.
2. Narysuj odbicie symetryczne trójkąta ABC w symetrii osiowej względem prostej k.
3. Ile osi symetrii ma figura na rysunku? Narysuj wszystkie osie symetrii.
4. Punkt A o współrzędnych (-2,-4) odbito symetrycznie w osi Y. Jakie współrzędne ma punkt A’, który jest obrazem A ? 5. Ile osi symetrii ma romb ? Wykonaj rysunek.
6. Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny ? Wykonaj rysunek.
7. Odbij symetrycznie w osi k figurę przedstawioną na rysunku.
8. Zamaluj jak najmniej kwadracików, żeby otrzymana figura była osiowosymetryczna.
Test
Czytaj uważnie tekst. Wykonaj na kartce pomocnicze rysunki. Sprawdź różne przypadki. Wybierz odpowiedź. Komputer sprawdzi i wystawi Ci ocenę.
Zadanie 1 ( 1 punkt)
Które z poniższych zdań są prawdziwe ?
- A. Dwa kwadraty mogą mieć zero osi symetrii.
- B. Dwa kwadraty mogą mieć jedną oś symetrii.
- C. Dwa kwadraty mogą mieć dwie osie symetrii .
- D. Dwa kwadraty mogą mieć trzy osie symetrii.
- E. Dwa kwadraty mogą mieć cztery osie symetrii.
1.tylko A 2.tylko A i B 3. A, B, D 4. A, B, C i E 5. Inna odpowiedź
Zadanie 2 ( 2 punkty)
Które z poniższych zdań są prawdziwe
- A. Odcinek ma dokładnie jedną oś symetrii.
- B. Żaden trójkąt nie ma dwóch osi symetrii.
- C. Każdy romb ma dwie osie symetrii.
- D. W prostokącie, który nie jest kwadratem, przeciwległe wierzchołki są symetryczne względem jego jednej przekątnej,
- E. Trapez równoramienny ma dwie osie symetrii.
1. A 2. B i C 3. wszystkie 4. A, B i C 5. Inna odpowiedź.
Zadanie 3 ( 2 punkty)
W układzie współrzędnych narysowano trójkąt ABC. A=(-4,1) B=(-1,1) C=(1,5). Trójkąt ABC odbito symetrycznie w osi Y i otrzymano trójkąt A’B’C’. Ile wynosi najmniejsza współrzędna x wierzchołków trójkąta A’B’C’ ?
A) 1 B) -4 C) -1 D) -5 E) 0 Wracaj
Symetralna odcinka
Zagadka
W którym miejscu powinni spotkać się harcerze, żeby drużyna Odważnych miała tak samo daleko jak drużyna Dowcipnych? Nie mogą się spotkać na środku jeziorka. Którą odpowiedź wybierasz ? a) Straszny Dwór b) Wysoka Góra c) Ciemny Las
Punkty, które są w jednakowej odległości od końców odcinka leżą na jednej z osi symetrii tego odcinka. Jest to oś prostopadła do odcinka i nazywa się symetralną odcinka.
Gdy wybierzemy dowolny punkt na symetralnej odcinka, powstaną trójkąty, które są przystające. Mają dwa boki równej długości i kąty między nimi równej miary. Dlatego trzeci bok też musi być równej długości. Symetralna odcinka jest zbiorem punktów, które są w jednakowej odległości od końców odcinka. Można udowodnić, że symetralna jest zbiorem wszystkich punktów, które są w jednakowej odległości od końców odcinka. Dowód poznasz w starszych klasach. Jest to ważna własność, z której często korzystamy w różnych zadaniach z geometrii.
Definicja
Symetralna odcinka jest to prosta prostopadła do odcinka, która przechodzi przez jego środek. Symetralna odcinka jest jedną z jego osi symetrii.
Twierdzenie
Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od jego końców. Wracaj
Konstrukcja symetralnej odcinka
Nauczymy się rysować symetralną odcinka za pomocą cyrkla. Cyrklem można kreślić koła, łuki, odmierzać równe odcinki.
Rysując za pomocą cyrkla symetralną odcinka będziemy kreślić okręgi.
Za pomocą cyrkla nauczymy się konstruować symetralną odcinka.
| Ustawiliśmy nóżkę cyrkla w jednym końcu odcinka i narysowaliśmy okrąg. | Następnie z drugiego końca odcinka narysowaliśmy znów okrąg o takim samym promieniu jak pierwszy. Punkty przecięcia okręgów wyznaczyły symetralną. |
Konstrukcja
Konstruując symetralną odcinka za pomocą cyrkla nie rysujemy całych okręgów. Zaznaczamy tylko niewielkie łuki. Obejrzyj ilustrację.
| 1.Rysujemy łuki o promieniu większym niż połowa odcinka. | 2. Rysujemy łuki o takim samym promieniu z drugiego końca odcinka. | 3. Rysujemy prostą, która zawiera punkty przecięcia łuków.
Jest to symetralna odcinka. |
Zadania
1. Narysuj odcinek AB i za pomocą cyrkla narysuj jego symetralną. Zaznacz środek odcinka. 2. Popatrz uważnie na obrazki. Zwróć uwagę na punkt przecięcia symetralnych boków figury. Odpowiedz na pytania.
| a) W ilu punktach przecięły się symetralne w trójkącie prostokątnym ? | b)W ilu punktach przecięły się symetralne w trójkącie równoramiennym ? | c)W ilu punktach przecięły się symetralne w trójkącie rozwartokątnym ? |
Czy nasuwa Ci się jakiś ciekawy wniosek ? Może potrafisz go uzasadnić ? 3. Narysuj trójkąt, który nie jest ani równoramienny, ani prostokątny. W trójkącie narysuj z pomocą cyrkla symetralne jego wszystkich boków. W ilu punktach przecięły się symetralne ? Popatrz na rysunki kolegów. 4. Narysowaliśmy trapez i symetralne jego boków. Przecięły się w jednym punkcie ?
Czy można narysować taki trapez, w którym symetralne przetną się w jednym punkcie ? Jeśli tak - narysuj. 5.Popatrz na mapkę i odpowiedz na pytania:
a) Gdzie należy zbudować most na rzeczce, żeby odległość od A do B przez most była jak najmniejsza ? b) Gdzie należy zbudować most na rzeczce, żeby odległość od A do mostu była taka sama jak odległość od B do mostu ? Podaj współrzędne mostu. Odpowiedź uzasadnij.
Dwusieczna kąta
Definicja
Dwusieczna kąta jest to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta i dzieląca go na dwie równe części.
Konstrukcja dwusiecznej kąta
Jak narysować dwusieczną kąta ? Wyznacza ona oś symetrii kąta. Zrobimy to za pomocą cyrkla i linijki.
Cyrklem zakreśliliśmy łuk. Powstał trójkąt równoramienny ABC. Oś symetrii kąta CAB będzie również jedną z osi symetrii trójkąta ABC oraz boku BC. Potrafimy już za pomocą cyrkla i linijki narysować symetralną odcinka BC. Opis konstrukcji dwusiecznej kąta.
| 1. Kreślimy łuk z wierzchołka kąta. | 2. Kreślimy łuki o jednakowym promieniu i środkach w punktach zaznaczonych na ramionach kąta. | 3.Rysujemy półprostą, która zawiera punkt przecięcia łuków oraz wierzchołek kąta.
Jest to dwusieczna kąta. |
Eksperyment pt. ”Zegarek, południe i dwusieczna”
Nauczymy się wyznaczać kierunek południowy za pomocą zegarka. Harcerze pewnie znają tę metodę. Najpierw popatrz uważnie na naszą animację. Widzisz tu zegarek i Słońce. Słońce wzeszło około 6.00 i zaszło około 18.00. Zwróć uwagę, że w tym czasie godzinowa wskazówka zegara obróciła się o dwa razy większy kąt niż Słońce. Wskazówka godzinowa obraca się dwa razy szybciej.
Na obrazku następnym wskazówka godzinowa zegara ustawiona jest w kierunku Słońca. Jest godzina 13.00. Kierunek południowy nie wyznacza linia, która przechodzi przez godzinę 12.00, tylko dwusieczna między 12.00 a 13.00. Słońce obraca się dwa razy wolniej niż wskazówka godzinowa.
Wypróbuj powyższą metodę. Wyznacz kierunek południowy w swojej klasie oraz w domu. Jeśli masz zegarek elektroniczny, na którym nie obracają się wskazówki - narysuj sobie zegar ze wskazówkami. Wskazówkę godzinową narysuj zgodnie z tym co pokazuje Twój zegarek. Ustaw zegarek tak, żeby wskazówka godzinowa pokazywała Słońce. Dwusieczna między godziną 12.00 a wskazówką godzinową pokaże gdzie jest południe. Wracaj
